专题：平面向量常见题型与解题指导

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1、平面向量常见题型与解题指导一、 考点回顾1、本章框图2、高考要求、理解向量得概念 ,掌握向量得几何表示 ,了解共线向量得概念。 2、掌握向量得加法与减法得运算法则及 运算律。 3、掌握实数与向量得积得运算法则及运算律,理解两个向量共线得充要条件。 4、了解平面向量基本定理 ,理解平面向量得坐标得概念 ,掌握平面向量得坐标运算。、掌握平面向量得数量积及其几何意义,了解用平面向量得数量积可以处理有关长度、角度与垂直得问题,掌握向量垂直得条件、掌握线段得定比分点与中点坐标公式 ,并且能熟练运用 ;掌握平移公式、 7、掌握正、余弦定理 ,并能初步运用它们解斜三角形。 8、通过解三 角形得应用得教学 ,

2、继续提高运用所学知识解决实际问题得能力。3、热点分析对本章内容得考查主要分以下三类 :1。以选择、填空题型考查本章得基本概念与性质。此类题一般难度不大,用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。2。以解答题考查圆锥曲线中得典型问题、此类题综合性比较强,难度大 ,以解析几何中得常规题为主、。向量在空间中得应用 （在 B 类教材中 ）. 在空间坐标系下 ,通过向量得坐标得表示 ,运用计算得方法研究三 维空间几何图形得性质、在复习过程中 ,抓住源于课本 ,高于课本得指导方针。本章考题大多数就是课本得变式题,即源于课本。因此掌握双基、精通课本就是本章关键、分析近几年来得高考试题,有关平面向量

3、部分突出考查了向量得基本运算。对于与解析几何相关得线段得定比分点与平移等交叉内容,作为学习解析几何得基本工具,在相关内容中会进行考查。本章得另一部分就是解斜三角形,它就是考查得重点。总而言之 ,平面向量这一章得学习应立足基础 ,强化运算 ,重视应用。考查得重点就是基础知识与基本技能。4、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分,所以应用本章知识解决得问题也分为两类:一类就是根据向量得概念、定理、法则、公式对向量进行运算,并能运用向量知识解决平面几何中得一些计算与证明问题;另一类就是运用正、余弦定理正确地解斜三角形,并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达得两点间得距离问题。在解决关于向量问题

4、时 ,一就是要善于运用向量得平移、 伸缩、 合成、 分解等变换 ,正确地进行向量得各种运 算,进一步加深对“向量 这一二维性得量得本质得认识 ,并体会用向量处理问题得优越性。二就是向量得坐标运 算体现了数与形互相转化与密切结合得思想,所以要通过向量法与坐标法得运用,进一步体会数形结合思想在解决数学问题上得作用。在解决解斜三角形问题时 ,一方面要体会向量方法在解三角形方面得应用,另一方面要体会解斜三角形就是重要得测量手段 ,通过学习提高解决实际问题得能力。二、常见题型分类题型一 :向量得有关概念与运算 此类题经常出现在选择题与填空题中 ,在复习中要充分理解平面向量得相关概念,熟练掌握向量得坐标运

5、算、数量积运算 ,掌握两向量共线、垂直得充要条件。例 1: 已知 a 就是以点 A（3, ）为起点 ,且与向量 = （ ,4）平行得单位向量 ,则向量 a 得终点坐标就 是、思路分析 :与 平行得单位向量 方法一 :设向量 a 得终点坐标就是 （ ,y）,则 a =（x ,y+1）,则题意可知,故填 （, ）或（,）方法二 与向量 b = （3,4）平行得单位向量就是 （-3, ）,故可得 a （-,）,从而向量 得终点坐标就是 （x,y） a-（3,- ）, 便可得结果。点评 :向量得概念较多 ,且容易混淆 ,在学习中要分清、理解各概念得实质 ,注意区分共线向量、平行向量、同 向向量、反向向

6、量、单位向量等概念 .例 :已知 a |=1,| b |=1,a与 b得夹角为 , =2a,y=,则 x与 y得夹角得余弦就是多少 ? 思路分析 :要计算 x 与得夹角 ,需求出 |x,y,xy 得值。计算时要注意计算得准确性。解:由已知 |a=b=,与 b得夹角 为 60,得 ab=|a|cos=、 要计算 x 与得夹角 ,需求出 |x, |,x y得值 . |2=x2=（2ab）2=424b+b2=4-4+1=3, 2=2（3ba）2=9b2-6 a+2=9-6+17。（2ab）（3ba）6b a 3b2+ b =7ab-a2 3b =7 2-3=-,又 xy|x|y|cos,即 =os,

7、 co 点评:本题利用模得性质 a=a,在计算 ,y 得模时,还可以借助向量加法、减法得几何意义获得:如图所示 ,设=b, =, =2a, AC=0。由向量减法得几何意义 ,得= =2 b、由余弦定理易得 |=,即|x|=,同理 可得 y =。题型二 :向量共线与垂直条件得考查例 1。平面直角坐标系中 ,O为坐标原点 ,已知两点 （3, ）,B（ 1, ）, 若点 C满足,其中,R且 ,求点 C 得轨迹方程。 、解:（法一）设 C（,）,则=（x,y）,由=（x,）= （,1）+ （ ,3）=（3 , +3） , （可从中解出 、）又 += 消去 、 得 x+2 0（法二 ） 利用向量得几何运

8、算 ,考虑定比分点公式得向量形式 ,结合条件知 :A,B,C 三点共线 ,故点 C 得轨迹方程即 为直线 A得方程 +2y- 0,例 2、已知平面向量 a（, ）,b=（, ）。（1） 若存在实数 k与 t,便得 x=+（t2-3）b, y=-ka+tb,且 xy,试求函数得关 系式 k f（ ）;（ ） 根据 （ ）得结论 ,确定 k=f（t） 得单调区间 .思路分析 :欲求函数关系式 =f（t）, 只需找到与 t之间得等量关系 ,k 与 t之间得等量关系怎么得到？求 函数单调区间有哪些方法？ （导数法、定义法 ）导数法就是求单调区间得简捷有效得方法？解:（1）法一 :由题意知 x （,）,

9、y (tk,t+k), 又 x故 x y=(t-k)+ ( ) 。整理得 :3tk0,即 t、法二:(,),=(, ), 。 2,1且 abxy,x y=0,即 -k2+t(t23)2=0,t-3- k0,即 =t3-t(2) 由(1)知: f(t) =tt f(t) t3,令 k 0得-1得 1。故 k=f(t) 得单调递减区间就是 (1, ),单调递增区间就是 ( ,-)与 (1, ).点评 : 第(1)问中两种解法就是解决向量垂直得两种常见得方法 : 一就是先利用向量得坐标运算分别求得 两个向量得坐标 ,再利用向量垂直得充要条件 ; 二就是直接利用向量垂直得充要条件,其过程要用到向量得数

10、量积公式及求模公式 ,达到同样得求解目得 (但运算过程大大简化 ,值得注意 )。第 (2)问中求函数得极值运用得就是 求导得方法 ,这就是新旧知识交汇点处得综合运用。例 3: 已知平面向量 =(, ),=(,),若存在不为零得实数 k 与角 ,使向量 (in ), =k(n),且 ,试求实数 k 得取值范围。解:由条件可得 :k( sin -) ,而 1sin 1,当 s -1 时,取最大值 1; sin=时 ,k 取最小值 .又 k 0 得取值范围为 。点拨与提示 :将例题中得略加改动 ,旧题新掘 ,出现了意想不到得效果 ,很好地考查了向量与三角函数、 不等 式综合运用能力、例 :已知向量

11、,若正数与 t 使得向量垂直 ,求 k 得最小值、解:,|=,|=- , 代入上式 k+当且仅当 t=,即 t=1 时,取“ =”号 ,即得最小值就是。题型三 :向量得坐标运算与三角函数得考查向量与三角函数结合 ,题目新颖而又精巧 ,既符合在知识得“交汇处”构题 ,又加强了对双基得考查。例 7.设函数 f (x)=a b,其中向量 a=( osx , 1), b (c sx,si 2x), x R.(1)若 f( x) 1且 x ,求 x;(2) 若函数 y=sin2x得图象按向量 =(m , n) ( )平移后得到函数 y ( x)得图象 ,求实数 m、n得值、思路分析 :本题主要考查平面向

12、量得概念与计算、平移公式以及三角函数得恒等变换等基本技能 , 解: ()依题设 ,(x)=(2osx,) (cos,snx)2co2xsix=1+sin(x)由 2i(2x+)=,得 s n(2 x+) . x , 2 + , 2x , 即 -、(2)函数 y=2si 2x 得图象按向量 c(m , n)平移后得到函数 y=si2(xm)+得图象 ,即函数 y=()得 图象。由 (1)得 f ()= , m=,n=1。点评 : 把函数得图像按向量平移 ,可以瞧成就是 C 上任一点按向量平移 ,由这些点平移后得对应点所组成得图象就是 C ,明确了以上点得平移与整体图象平移间得这种关系,也就找到了

13、此问题得解题途径。一般地,函数y=f (x)得图象按向量 a(h , k) 平移后得函数解析式为 y f(x-h) 、例 8:已知 a(cos,sin),b=(cos,sin )(0),(1)求证 : a+与 ab 互相垂直 ; (2)若 ka+与 a k得模大 小相等 (k且 0),求 解:(1) 证法一 :=(cos,sn),b=(cos,si)a+b(c+os,in si),=(oscs,sin i)(a+b)(a-b)=(cos+os,sn+ sin)(coscos,n- sn)2 2 2 = os2- s si2 si2 0(+b)(ab)证法二 : a(os,si),=(o,sin

14、 ) |=,|=(a+b) ( a b)= a22=a|2 |2=0(+b)(a-)证法三 : a=(cos,si),b=(cos, )|a=1,|b|=1,记 =a,=b,则| | =1,又 , O、 、B 三点不共线。由向量加、减法得几何意义 ,可知以 O、 为邻边得平行四边形 ACB 就是菱形 ,其中 +,=a, 由菱形对角线互相垂直 ,知 (+b)(a)()解:由已知得 k b|与 ab|,又 ka+| =(kocs)2+(si+n)2=k + +kc( ),|ka+b2(os-kcos) +(sin-ksin)2=k +1- cos(-), 2kcos( )= 2k o(-)又 k

15、0c s( )=0 0 0 ,-=注 :本题就是以平面向量得知识为平台,考查了三角函数得有关运算 ,同时也体现了向量垂直问题得多种证明方法 ,常用得方法有三种 ,一就是根据数量积得定义证明 ,二就是利用数量积得坐标运算来证明, 三就是利用向量运算得几何意义来证明 .题型四 :向量运算得几何意义与解析几何由于向量既能体现“形”得直观位置特征,又具有“数”得良好运算性质 ,就是数形结合与转换得桥梁与纽带,文科应重视由向量运算得几何意义求圆得方程与椭圆方程。例 9:设 G、H 分别为非等边三角形 ABC 得重心与外心 ,A(0,2),B( ,-2)且( R)。()求点 C(x,)得轨迹 E 得方 程

16、;()过点(2,)作直线 L 与曲线 E交于点 M、N两点,设,就是否存在这样得直线 L,使四边形 OMP 就是矩形？ 若存在 ,求出直线得方程 ;若不存在 ,试说明理由 .思路分析 :(1) 通过向量得共线关系得到坐标得等量关系、 (2) 根据矩形应该具备得充要条件 ,得到向量垂直关系 , 结合韦达定理 ,求得 k 得值 .解:(1)由已知得 , 又 , CH A 即(2)设 l 方程为 =k(x ),代入曲线 E 得(3k +) 2k2+2( 21)=设 N (x,y),M (x2,y),则 x +2 ,x1 x2=四边形 OMP 就是平行四边形、若四边形 PN 就是矩形 ,则 x1 x2

17、 y 2=0 得 直线 l 为 :y=点评 : 这就是一道平面几何、解析几何、向量三者之间巧妙结合得问题。例 10:已知椭圆方程 ,过（,）得直线 l 交随圆于、 D 两点,交直线 x=-于 E点,、分得比分 1、2. 求证 : 1+2=0解:设 l得方程为 yk（ +1）, 代入椭圆方程整理得2 2 2 （42+1）x2+8k2x4（k -1） 0。设 C（x1, 2）,D（ x2, y）, 则+2- 、 由得所以。同理 , 记得 其中。例 11:给定抛物线 : 2 4x,F 就是 C得焦点,过点 F得直线 与 C相交于 A、B两点、设 l 得斜率为 1,求与夹 角得余弦。解 :C 得焦点为

18、 F（ , ）, 直线 l 得斜率为 1, 所以 l 得方程为 y=x 1,将 y=x- 代入方程 y=4, 并整理得 2 x+1=设 A（1, 1）,B（ x, y2）, 则有 x x26, x21, 从而 xx2+y2=2x12 （x1+2）+1 ,cos =例 12. 已知点 G 就是 BC 得重心 ,A（0, 1）,B（, 1）,在 x 轴上有一点 M, 满足 =|, （R）、求点 C 得 轨迹方程 ;若斜率为 k 得直线 l 与点 C 得轨迹交于不同两点 P,Q,且满足 =|,试求 得取值范围 . 分析 本题依托向量给出等量关系 ,既考查向量得模、共线等基础知识 ,又考查动点得轨迹

19、,直线与椭圆得 位置关系、通过向量与解析几何间得联系,陈题新组 ,考查基础知识与基本方法、按照求轨迹方程得方法步骤,把向量问题坐标化 ,几何问题代数化 .解: 设 C（, y）,则（,）.（ ）, GM/ AB,又 M 就是轴上一点 ,则 M（, 0）、又|=|, ,整理得 ,即为曲线 C 得方程。当 0 时 ,l 与椭圆 C 有不同两交点 ,Q,根据椭圆对称性有 |= |.当 k时 ,可设 得方程为 =kx m, 联立方程组消去 y,整理行 （ 3k2）x2 x+（2 1）=0（ ）直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 ,=（6m）2-4（1+3k2）（ m21）0,即 1+3k2 2 .（1）设 P（, y1）,（x2, y）,则 x, x2就是方程 （*） 得两相异实根 , 1+x2=则 P得中点 N（x, y0）得坐标就是 x0 =,y0= k 0+m=, 即 N（-, ）,又 |=|, ,kkAN k= ,、 将 =代入（）式,得 13k2（）2 （k ）, 即 k2,（-, 0）（0, ）.综合得 ,k得取值范围就是 （1, 1）。对题目得要求 :有较大得难度 ,有特别得解题思路、演变角度 ,要有一定得梯度。