数学培优网双曲线典型例题(一)(共5页)

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1、精选优质文档-倾情为你奉上双曲线典型例题（一）例1根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线有公共焦点，且过点；（2）与双曲线有共同渐近线，且过点解：（1）方法一：设双曲线方程为由题意易求又双曲线过点 又 故所求双曲线方程为方法二：设双曲线方程为将点代入得 双曲线方程为（2）方法一：设双曲线方程为由题意得解之，得故双曲线方程为方法二：设所求双曲线方程为，将点代入得所以双曲线方程为即 例2已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点。（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：；（3）求的面积。解析：（1） 可设双曲线方程为 双曲线过点 ，即 双曲线方程为（2）证法一

2、：由（1）可知，双曲线中 ， ， 点M（3，m）在双曲线上 ，故 证法二： ， M点在双曲线上 ，即 ，即（3）的底，的高 例3双曲线C：的两条准线间距离为3，右焦点到直线的距离为，（1）求双曲线C的方程；（2）双曲线C中是否存在以为中点的弦？解：（1）根据题意有解之，得，所以双曲线C的方程为（2）假设存在以为中点的弦AB，且设则（*）方法一：设AB所在直线方程为，即 将代入双曲线C：，整理得 由（*）及得，整理得将代入有即当时，方程无解，从而不存在以为中点的弦方法二：将代入双曲线C：有，得即又由（*）知即过AB的弦所在直线的斜率从而AB所在的直线方程为，即代入双曲线C的方程，化简得，此时即时，所求直线与双曲线实际上没有交点故不存在以为中点的弦 例4在双曲线的同一支上的不同三点，与焦点F（0，5）的距离成等差数列。（1）求；（2）证明线段AC的垂直平分线经过定点，并求出定点的坐标。解析：（1） 点A在双曲线上支上，由双曲线第二定义， 同理，由题意，得 （2）证明：设AC的中点为，AC的中垂线为，其斜率为，则的方程为由题意可得整理，得把代入上式，得 代入直线方程，得即故直线过定点专心-专注-专业