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1、其中展开系数 ak 称为泰勒级数 2.2 复变函数在解析区域中的幂级数展开复变函数在解析区域中的幂级数展开 上节证明了：幂级数在其收敛圆内解析本节证明其逆定理：解析函数可以展开成幂级数，且这种 展开式是唯一的。 解析函数与幂级数的密切关系一、泰勒级数 设 f (z)在| zb | R 内解析，则 f (z)可展开为泰勒级数0( )()kkkf zazb( )1( ) (0,1,2)!kkafbkk证明： 1. 从柯西公式出发dzfizfC)(21)(其中z为圆| zb |=R内某一点，C为包含z的圆，| b | = (0 R)，为C上的点。 2. 将被积函数变成级数01(1)1kkttt利用
2、将 展开成以b为中心的级数 被积函数写成：10011111()()()()()1kkkkkzbzbzbzbzbbbbbb10( )()( )()kkkfzbfzb3. 将上式沿C积分1z级数 在C上一致收敛 + f () 在C上有界10()()kkkzbb级数 在 C上一致收敛 逐项积分10()( )()kkkzbfb11001001()1( )( )( )()2()2()1( )()2()()kkkkCCkkkkCkkkkzbff zfdzbdibibfzbdibazb于是)(!1)()(21)(1bfkdbfiakCkk其中4. 展开式是唯一的 若 f (z)能展开成另一种形式：2012(
3、 )()()f zCC zbCzb(1) 令z = b： 00( )( )f bCCf b(2) 对z求导： 1( )Cfb2123( )2()3()fzCCzbC zb23( )23 2()fzCC zb 21( )2Cfb( )1( )!kkkCfbak展开式唯一 来求 ak 。 由展开式的唯一性，可以用任何方便的办法来求解一个解析函数的泰勒展开式，不必一定要用积分表达式dbfiaCkk1)()(21说明：(1) 解析函数与泰勒级数之间存在密切关系： a. 幂级数在其收敛圆内解析； b. 解析函数可以展开成幂级数，且这种展开式是唯一的。(2) 如果f(z)在D内有一阶导数存在，则f(z)可
4、在D内每一点的邻域内展开成泰勒级数。而对于实变函数来说，f (x) 的一阶导数存在，它的二阶或高阶导数可能不存在，因此 f(x)就不可能展开成泰勒级数。)(!1)(bfkakk二、将解析函数展开成泰勒级数的方法解：因为ez 在全平面解析 (除z =外)，所以常用四种方法：1.直接计算展开系数例：以z=0为展开中心展开f (z) = ez。0230011!1111(0)1!1!2!3!kzkzkzkkkkkdaek dzkeazzzzzk 2. 利用初等函数的泰勒级数来展开 (特别是 ，三角函数的级数表示)1,1zet 4. 在收敛圆内逐项求导或逐项积分 (收敛半径不变) 3. 利用两个绝对收敛
5、幂级数的乘积或商例 将函数 f (z) = (1+z)m (m为负整数)，在z=0的周围展开成泰勒级数，并讨论这一展开的收敛区域。解：函数 f (z) 在z = 1时成为无穷大，而在 |z| 1时解析。根据上述定理知道，它可以在以z=0为心，半径为1的圆内部展开成泰勒级数。按(2-2-3)式计算展开系数：!) 1() 1(!)0()(kkmmmkfk代入 (2-2-4) 得kmzkkmmmzmmmzz!) 1() 1(! 2) 1(1)1 (2当m为负整数时，这个级数在|z| 1的圆内收敛。如果m为正整数，上式仍然成立，且退化成多项式，就是牛顿二项式定理。当m不是正负整数(或零)时，(1+z)
6、m 是多值函数，留到以后再讨论。(见3-5习题第7题)例 求 f (z) = ez cosz 在 |z| 的展开式。解：对于这一函数直接利用(2-2-3)来求系数，计算较繁，因此将 f (z) 改写为cos)1()1(21zizizeeze再利用ez 的展开式 (2-2-6) 得011cos(1)(1) ()2!znnnneziizzn 例4 函数 secz 在 |z| /2内解析，求它在这个圆内的泰勒 展开式。解：我们用待定系数法求这个展开式。设在|z| /2 内， secz可展开成01secnnzaa za z但另一方面，在 |z| /2 内，有 ! 4211cos1sec42zzzz因此
7、在 |z| /2 内，有)! 4! 21)(14210zzzazaann将上式右边用级数乘法算出，并且与左边比较系数，就可以求得 an (n=0,1,2,3)。例如：013211,0,0,0 (1,2,)kaaaak221102!2!aa420411502!4!4!aaaa余类推，所以2415sec1()2!4!2zzzz 三 鞍点 我们来讨论复变函数的一阶导数为零的点的性质。 我们知道，实变函数的一阶导数为零的点是它的极值点(只要二阶导数不为零)，然而，这一结论对于复变函数不成立。讨论实部和虚部的性质。 将函数f(z)在满足条件f (b) =0 的b点附近作泰勒展开，当 z时，可以只保留 f
8、 (z)f (b) 的展开式中不为零的第一项，即0)(,iiaebfrebz )2sin(2)2cos(2)()(0202ariarbfzf令 代入(2-2-9)式，略去高次项，得到(2-2-10)( )221( )( )( )()()2!nf zf bfb zbo zb 所谓“沿某一方向穿过 b 点”，就是先固定一个值，让 r从大于零减小到零，然后将加大，让r从零增加到大于零。如果对于相应的，(2-2-10) 式的实部取最大的正值，则在这一方向附近，f (z)上升最陡；如果对于相应的，(2-2-10)式的是不取绝对值最大的负值，则在这一方向附近，f(z)下降最陡，因此： 由此可见，解析函数 f(z)在它的一阶导数为零， f (z)=0，而二阶导数不为零，即 f (z)0的点附近，并不呈现为单纯下降最陡；点，方向离开上升最陡；点，方向离开沿)(b, 3 , 1)(b, 2 , 020zfnzfnn(2-2-11)因此 f (z)=0 、f (z)0的点称为复变函数 f(z)的鞍点。的峰或谷(极大或极小)，而是有马鞍的形状，如图2-2-2。
数学物理方法22
