《工程数学-概率统计简明教程-第二章-随机事件幻灯片》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程数学-概率统计简明教程-第二章-随机事件幻灯片（35页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、第第2 2章章 事件的概率事件的概率概率的概念概率的概念2.1几何概型几何概型2.3古典概型古典概型2.2概率的公理化定义概率的公理化定义2.4首首 页页本章重点本章重点 理解事件频率的概念，了解概率理解事件频率的概念，了解概率的统计定义的统计定义3.3.理解概率的古典定义，会计算简理解概率的古典定义，会计算简 单的古典概率单的古典概率l 重点重点：2.2.熟悉关于排列与组合的基本知识，熟悉关于排列与组合的基本知识， 掌握求排列数与组合数的公式掌握求排列数与组合数的公式返 回4.4.了解概率的公理化定义，掌握概了解概率的公理化定义，掌握概 率的基本性质率的基本性质随机事件的频率随机事件的频率F
2、requencyA=“出现正面出现正面”u随机试验随机试验抛掷一枚均匀的硬币抛掷一枚均匀的硬币u试验总次数试验总次数n 将硬币抛掷将硬币抛掷n次次u随机事件随机事件u事件事件A出现次数出现次数m出现正面出现正面m次次u随机事件的频率随机事件的频率)(AfnnmnA)(试验总次数出现次数事件mAfn 抛掷硬币的试验抛掷硬币的试验Experiment of tossing coinu历史纪录历史纪录 随机事件随机事件A在相同条件下重复多次时，事件在相同条件下重复多次时，事件A 发发生的频率在一个固定的数值生的频率在一个固定的数值p附近摆动，随试验次数附近摆动，随试验次数的增加更加明显的增加更加明显
3、频率和概率频率和概率u 频率的稳定性频率的稳定性u 事件的概率事件的概率 事件事件A的频率稳定在数值的频率稳定在数值 ，说明了数值，说明了数值 可以可以用来刻划事件发生可能性大小，可以规定为事件用来刻划事件发生可能性大小，可以规定为事件A的概率，记为的概率，记为)(APpp 对任意事件，在相同的条件下重复进行对任意事件，在相同的条件下重复进行n次试验，事件发次试验，事件发 生的频率生的频率 m/n，随着试验次，随着试验次数数n的增大而稳定地在某个常数的增大而稳定地在某个常数 p附近摆动附近摆动,那么那么称称p为事件的概率为事件的概率 概率的统计定义概率的统计定义 当试验次数足够大时，可以用事件
4、当试验次数足够大时，可以用事件A发生的频发生的频率近似的代替事件率近似的代替事件A的概率的概率pAP)(排列组合有关知识复习排列组合有关知识复习加法原理：完成一件事情有n 类方法，第 i 类方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情共有 niim1种不同的方法乘法原理：完成一件事情有n 个步骤，第 i 个步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情共有 niim1种不同的方法选排列选排列 从 n 个不同的元素中，任取 m 个 (不放回地）按一定次序排成一列，不同的排法共有) 1()2)(1(mnnnnPmn全排列全排列! nPnn可重复排列可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地 取出 m
5、 个排成一排, 不同的排法有mn种组合组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放 回地）组成一组， 不同的取法共有)!( !mnmnCmnu 有限性有限性 每次试验中，每一种可能结果发生的可能性相同，每次试验中，每一种可能结果发生的可能性相同，即即 每次试验中，所有可能发生的结果只有有限个，每次试验中，所有可能发生的结果只有有限个，即样本空间即样本空间是个有限集是个有限集=1,2,n.u 等可能性等可能性nAPAPAPn1)()()(21其中 niAii, 2 , 1,古典（等可能）概型古典（等可能）概型 设试验结果共有设试验结果共有n个个,即基本事件即基本事件1，2，.，n ，而且这些事
6、件的发生具有相同的可能性，而且这些事件的发生具有相同的可能性古典概型的计算公式古典概型的计算公式u 确定试验的基本事件总数确定试验的基本事件总数事件由其中的事件由其中的m个基本事件组成个基本事件组成u 确定事件确定事件A包含的基本事件数包含的基本事件数nAPmA)(试验的基本事件总数包含的基本事件数事件 抛掷一颗匀质骰子抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数观察出现的点数 , 求求“出现的出现的点数是不小于点数是不小于3的偶数的偶数”的概率的概率=“出现的点数是不小于出现的点数是不小于3的偶数的偶数”古典概率的计算：抛掷骰子古典概率的计算：抛掷骰子n事件事件An试验试验抛掷一颗匀质骰子抛掷一颗匀质骰
7、子,观察出现的点数观察出现的点数n基本事件总数基本事件总数=4，6 =1，2，3，4，5，6n=6m=2n事件事件A的概率的概率3162)(nmAP 设在设在100 件产品中，有件产品中，有 4 件次品，其余均为正件次品，其余均为正品品古典概率的计算：正品率和次品率古典概率的计算：正品率和次品率n 100u这批产品的次品率这批产品的次品率u任取任取3件，全是正品的概率件，全是正品的概率u任取任取3件，刚好两件正品的概率件，刚好两件正品的概率mA 404. 01004)(AP3100Cn 396CmB3100396)(CCBP3100Cn 14296CCmC310014296)(CCCCP 古典
8、概率的计算：古典概率的计算：有放回抽样和无放回抽样有放回抽样和无放回抽样 设在设在10 件产品中，有件产品中，有2件次品，件次品，8件正品件正品A=第一次抽取正品，第二次抽取次品第一次抽取正品，第二次抽取次品n 第一次抽取后，产品放回去第一次抽取后，产品放回去n 第一次抽取后，产品不放回去第一次抽取后，产品不放回去16. 0101028)(AP1778. 091028)(AP1010n28Am910n28Am故故生日生日“无重复无重复” 的概率为：的概率为： 某班有某班有30 个同学，求他们生日个同学，求他们生日“无重复无重复”的概率。的概率。 （一年按（一年按365天计算，并设人在一年内任一
9、天出生是等可能的）天计算，并设人在一年内任一天出生是等可能的）当人数为当人数为 40 时，时， 生日生日“无重复无重复” 的概率为：的概率为：0.11当人数为当人数为 50 时，时， 生日生日“无重复无重复” 的概率为：的概率为：0.03当人数为当人数为 20 时，时， 生日生日“无重复无重复” 的概率为：的概率为：0.59当人数为当人数为 10 时，时， 生日生日“无重复无重复” 的概率为：的概率为：0.88 古典概率的计算：生日问题古典概率的计算：生日问题解：所有可能的结果有解：所有可能的结果有 事件事件A=生日生日“无重复无重复”对应的结果有对应的结果有3036530365P29. 03
10、65)(3030365PAP 古典概率的计算：抽签古典概率的计算：抽签 1010个学生抽签的方式分配个学生抽签的方式分配3 3张音乐会入场券，抽取张音乐会入场券，抽取1010张外观相同的纸签，其中张外观相同的纸签，其中3 3张代表入场券张代表入场券. .求求 A=A=第第五个学生抽到入场券五个学生抽到入场券 的概率。的概率。u基本事件总数基本事件总数u有利于有利于A的基本事件数的基本事件数第五个学生抽第五个学生抽到入场券到入场券另外另外9个学生抽个学生抽取剩下取剩下9张张!10n103!10! 9)(13CnmAPA! 913 CmA例例 某班有某班有20 个同学，采取抽签的方式分配三张音乐会
11、门票个同学，采取抽签的方式分配三张音乐会门票, 求同学甲抽到门票的概率求同学甲抽到门票的概率.故所求的概率是：故所求的概率是：原来不必原来不必争先恐后！争先恐后！解：制作解：制作 20 张外观无差异的纸签，张外观无差异的纸签， 其中三张代表门票。其中三张代表门票。 20 个同学抽签共有个同学抽签共有 20！种方式，种方式， 同学甲抽到门票有同学甲抽到门票有 种抽法，种抽法， 其它同学抽取余下的签有其它同学抽取余下的签有 19！种方式。种方式。13C203!20!193AP 若P(A) 0.01 , 则称A为小概率事件.小概率事件 一次试验中小概率事件一般是不会发生的. 若在一次试验中居然发生了
12、,则可怀疑该事件并非小概率事件.小概率原理( 即实际推断原理 )例例 区长办公室某一周内曾接待过9次来 访, 这些来访都是周三或周日进行的,是否 可以断定接待时间是有规定的？解解 假定办公室每天都接待，则P( 9次来访都在周三、日) = = 0.00001279972这是小概率事件,一般在一次试验中不会发 发生. 现居然发生了, 故可认为假定不成立,从而推断接待时间是有规定的. 几何概型几何概型 (古典概型的推广)几何概型几何概型 设样本空间为有限区域 , 若样本点落入 内任何区域 G 中的概率与区域G 的测度成正比, 则样本点落入G内的概率为的测度的测度GAP)(例例 某人的表停了，他打开收
13、音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率9点10点10分钟616010)(APu 2、规范性、规范性：()=1 概率的公理化定义概率的公理化定义 给定一个随机试验，给定一个随机试验，是它的样本空间，对于是它的样本空间，对于 任意一个事件，赋予一个实数任意一个事件，赋予一个实数 ，如果，如果满足下列三条公理满足下列三条公理，那么，称 为事件的概率)(AP)(P)(APu 3、完全可加性、完全可加性：两两互斥时，有,21AA)()(11nnnnAPAPu1、非负性、非负性：1)(0AP证明证明 由公理 3 知 所以 概率的性质：概率的性质： 不可能事件的概率为零不可
14、能事件的概率为零0)(P)()()()(PPPP0)(Pn 性质性质1 1设设A1，A2， , An两两两两互不相容互不相容，则，则证明证明 n 性质性质2 2 有限可加性 在公理3中 , 取, 2, 1,nniAi)()(11niiniiAPAP)()()()(1111niniiiiniiPAPAPAP)(1niiAP P (B A) = P(B) P(A)ABn 性质性质3 3 差事件的概率若 A B，则 P (B A) = P(B) P(A)且P(A) P(B)(ABAB)()()()(ABPAPABAPBP)(ABAn 推广 对任意两个事件A, B, 有 )()()(ABPBPABP
15、BAB=AB+(B A)P(B)=P(AB)+ P(B AB) B AB=B-AAB对任意两个随机事件、对任意两个随机事件、 ，有，有 BAn 性质性质4 4 加法定理)()()()(ABPBPAPBAP)(ABABA)(ABABB)()()(ABPAPBAP)()()(ABPABPBP)(ABA)(ABABBCAn 加法定理的推广 )()()()(CPBPAPCBAP)()()()(ABCPACPBCPABPn 性质性质5 5 逆事件的概率AA)(1)(APAP例例 已知已知P(A)0.9，P(B)=0.8，试证：，试证：解：由性质解：由性质4得：得：且且即即所以，由以上可证命题成立。所以，
16、由以上可证命题成立。)()()()(BAPBPAPABP1)(BAP7 . 0)(ABP1)(BAP例例 已知已知P(A)= =0.3， P(B)=0.6, ,试在下列两试在下列两 种情形下分别求出种情形下分别求出P(A-B)P(A-B)与与P(B-A)P(B-A)(1) (1) 事件事件A,BA,B互不相容互不相容(2) (2) 事件事件A,BA,B有包含关系有包含关系解解(1) (1) 由于由于 , ,因此因此 ABBABABA,3 . 0)()(APBAP6 . 0)()(BPABP0)()(PBAP3 . 0)()()(APBPABP(2) (2) 由已知条件和性质由已知条件和性质3,
17、3,推得必定有推得必定有BA 甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概率甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概率为为 0.85 ，乙击中的概率为，乙击中的概率为 0.8 两人都击中的概率为两人都击中的概率为 0.68 求目标被击中的概率求目标被击中的概率 解解 设设=甲击中目标甲击中目标，表示，表示“乙击中目标乙击中目标”， =目标被击中目标被击中， 则则 0.85 0.8 0.68 0.97 )()()()()(ABPBPAPBAPCP考察甲，乙两个城市考察甲，乙两个城市6 6月逐日降雨情月逐日降雨情况。已知甲城出现雨天的概率是况。已知甲城出现雨天的概率是0.3,0.3, 乙城出现雨天的概率是乙城出现雨天的概率是0.4, 0.4, 甲乙甲乙两两城至少有一个出现雨天的概率为城至少有一个出现雨天的概率为0.52,0.52, 试计算甲乙两城同一天出现雨天的概试计算甲乙两城同一天出现雨天的概率率. .部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
工程数学-概率统计简明教程-第二章-随机事件幻灯片
