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1、一、平面的点法式方程平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角机动 目录 上页 下页 返回 结束 8.4 平面及其方程zyxo0Mn一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程),(0000zyxM设一平面通过已知点且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM称式为平面的点法式方程点法式方程,求该平面的方程.,),(zyxM任取点),(000zzyyxx法向量.量, ),(CBAn nMM000nMMMM0则有 故的为平面称n机动 目录 上页 下页 返回 结束 208页例页例18、例、例19kji例例1 1. .求过三点,1M又) 1,9,14(
2、0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即1M2M3M解解: 取该平面 的法向量为),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程346231nn3121MMMM机动 目录 上页 下页 返回 结束 此平面的三点式方程三点式方程也可写成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情况一般情况 : 过三点)3,2, 1(),(kzyxMkkkk的平面方程为说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 211页习题页习题8特别地特别地, ,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平
3、面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1czbyax时,)0,(cbabcax)( cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程为 PozyxRQ分析分析:利用三点式 按第一行展开得 即0ax yzab0a0c机动 目录 上页 下页 返回 结束 209页例页例20、习题、习题7二、平面的一般方程二、平面的一般方程设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程此方程称为平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一组满足上述方程的数,000zyx则0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA显然方程与此点法式方
4、程等价, )0(222CBA),(CBAn 的平面, 因此方程的图形是法向量为 方程方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 特殊情形特殊情形 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点通过原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量/x 轴; A x+C z+D = 0 A x+B y+D = 0 C z + D = 0 A x + D =0 B y + D =00DCzByAx)0(222CBA/y 轴；/ z 轴;/xoy 面;/ yoz 面 ；/zox 面.,), 0(iCBn机动 目录 上页 下页 返回 结束 B
5、y + C z = 0过x轴A x+C z = 0过y轴A x+B y= 0过z轴 z=0:xoy面面X=0:yoz面Y=0:xoz 面例例2. 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.（例22）思考；思考；用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.解解: 因平面通过 x 轴 ,0 DA故设所求平面方程为0zCyB代入已知点) 1,3,4(得BC3化简,得所求平面方程03 zy机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、两平面的夹角三、两平面的夹角设平面1的法向量为 平面2的法向量为则两平面夹角 的余弦为 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA两平面法向量的
6、夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121cosnnnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2特别有下列结论：特别有下列结论：21) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA11221nn 21/ nn2n1n2n1n机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求两求两平面平面解解: 应用公式有应用公式有机动 目录 上页 下页 返回 结束 230250 xyzxyz和的的夹角夹角. .（例（例2323）cos1 2( 1) 12 1 2221( 1)2 2222111.2因此因此1arccos.23因此
7、有例例4. 一平面通过两点垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .（例19）解解: 设所求平面的法向量为,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC约去C , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M则所求平面故, ),(CBAn方程为 n21MMn且机动 目录 上页 下页 返回 结束 外一点,求),(0000zyxP0DzCyBxA例例5. 设222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd
8、1110AxB yC zD解解: :设平面法向量为),(1111zyxP在平面上取一点是平面到平面的距离d .0P,则P0 到平面的距离为01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn (点到平面的距离公式)机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.平面平面基本方程:一般式点法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三点式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzCyyBxxA)0(abc机动 目录 上页 下页 返回 结束 0212121CCBBAA212121CCBBAA2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:2121cosnnnn 021nn021 nn, 0:22222DzCyBxA),(2222CBAn , 0:11111DzCyBxA机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(1111CBAn
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