分数裂项法解分数计算

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1、分数裂项计算本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的 和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母 之间具

2、有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间 部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即,形式的，这里我们把较小的数a b写在前面，即ab,那么有，=，(1) a b b -a a b(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：J, -一二形式的，我们有：n (n 1) (n 2) n (n 1) (n 2) (n 3)裂差型裂项的三大关键特征：(1)分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是 x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是 1的运算。(2

3、)分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”(3)分母上几个因数间的差是一个定值。“裂和”型运算:b2+a b常见的裂和型运算主要有以下两种形式:（1）aib=qjabababba裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的【例2】【例3】例4 1+2 31111+3 4 4 5 5 6110 112+ +11 1259 60+10 9 9 822川一一5 4 4 31111 ,川川1 1 2 12 31113k - 十一 +111+1 2 川

4、100199 101计算:11125： I 川.1 3 3 5 5 7”旦卫.川.4 8 8 12 12 16计算：225123 25-_2512000 2004 2004 20082 557 7 111116 16 2222 29 29计算：(1 ) 128 :82448 80120168 224288-11111111【巩固】 一 + + H+ HF H=6 12 20 30 42 56 72 90【巩固】计算：111111111 _2 6 12 203042567290【巩固】1 111+ +010 4088 154 238【巩固】1.1.1 12工=3 6 10 15 2128例 5

5、计算： 1+1+1 +川 +11 3 5 3 5 7 5 7 92001 2003 2005例6 4.5 0.16 181133.75 3.231111x I - + + +3 15 35 63【例 7】 计算：11 +21 +3 +4 +HI +20 26122042011111【巩固】 计 算：2008 +2009 +2010+2011+2012=1854108180270【巩固】计算：1+1 + 。2 6 15 35 77【巩固】 计算：1 +工+工+L+。+工+工3 15 35 63 99 143 195【巩固】计算：1+5+11+型+型+川+包01)丝99 =2 6 12 20 30

6、9702 9900例8【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】例9 【巩固】111 2 3 2 3 4 川 7 8 9计算:计算:1+2 3 41+2 4 6+川+98 99 1001 3 599+3 5 798+2 3 420 22 244一93 95 97 95 97 9997+3 4 51+111 +99 100 10111234 2345 3456+ +6 7 8 9 7 8 9 1017 18 19 20【例 10】 计算： 一5一十一7一+|+=.1 2 3 2 3 48 9 10【巩固】计算：1155父(川+ 17,19)2 3 4 3 4 58 9 10 9 10 11【巩固】计算:3

7、 5_ .川.1245 2356 346710 11 13 14例 11 】1 . _2_ . _3一 -4 川 92 23234 23452 3 4Hl 10【例 12】4.5.61 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7【巩固】计算：-+- +111+-=.3! 4!100!【例13 1 (1 2)(1 2) (1 2 3) (1 2 3) (1 2 3 4)+IH +50(1 2 3 川 49) (1 2 | 50)I 巩固】(1 2) 31 2 3) (1 2 3) ；1 2 3 4)川(1299)1001 2 山 100

8、)21 父(1 +2)3(1 2) (12 3)-III10(1 , 2 3 ,川 9) (12 3 |1| 10)【例 14 -2L-2-2一1一=3 -15 -17 -19 -111 -113 -1【巩固】 计算：(1 二)M (1 二)M (1 二)M (1 二)卬林(1 -) M (1=23454849【巩固】计算:【巩固】计算:【巩固】计算:【巩固】计算:【例15 |卜2 一2 一2 一2 -222 一21223347822222315171J1L 19931199512 -2 21 r22 二3-15 -1 7-11993 -11995 -1/222 ,22 /2213243598

9、10022-22=2 -13 -14 -199 -12222L + +工训.1 3 3 5 5 799 1016 7 7 8 8 9 9 10677889 9 10【巩固】365791113-r r r r r r 57612203042【巩固】计算:132579101119一 十一十一十一十一十十十十=3457820212435【巩固】12379111725- r r r r r r r 3571220283042【巩固】35 49 .63 77 91匕 612 20 30 4210531计算:568811 13 15 17191 - - - - 6 12798【例16 -+ + + +4

10、5 12 20 152_2_221223+2017+ 3030 425+1222181956 72 901 2(1 20072 31+2 200618 191+2006 22_ 21920+19 201,)2007 12007(-2008 1 2006 2 20051)2006 1111112010263827-+ + + + + + +2330314151119120123124【例17】 计算： 二+十|十一1一+|+=2 3 4 598 99 51 5299【例18】 计算：-+ +一6一十川十-=3 3 5 3 5 73 5 7 9 11283411【例 19】计算： + +-2_ + |+22+2+| +2 i=1 3 3 5 5 717 191 3 5 3 5 717 19 21