9.简单的线性规划问题

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1、 3.3.3简单的线性规划问题一、教学目标：（一）知识与技能1. 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；2. 了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最 优解等概念；会根据条件建立线性目标函数3. 了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值4. 培养学生观察、联想以及作图的能力；渗透集合、化归、数形结合、等价转化 的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力，培养学生应用数学的意 识。（二）过程与方法 经历从实际情境中抽象出不等式模型的过程，培养学生数学建模的能力以及数 学应用意识（三）情感、态度与价值观1. 通过具体情景

2、，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，体会 不等式对于刻画不等关系的意义和价值；2. 体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题；3. 通过实例，体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强应用意 识，提高实践能力，培养学生理论联系实际的观点二、教学重难点 ： 重点：线性规划的图解法。 难点：从实际情景中抽象出一些简单的二元线形规划问题；寻求线性规划问题的 最优解。三、教学过程：（一）创设情景，揭示课题1. 在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，本 节课就学习此方面的应用”4x + y GO4x +3v 兰 202问题：在约束条件

3、彳 y 下，如何求目标函数 P=2x + y的最大值?*0y-0(二) 自学导案(三) 解决自学导案(四) 例题分析x - 4y 3I 例1设z=2x+y，式中变量x, y满足条件3x + 5y兰25，求z的最大值和最x启1小值.解：由题意，变量x,y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域.由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当x = 0, y = 0时，z = 2x y = 0,即点(0,0)在直线10:2x y =0上，作一组平行于I。的直线l :2x y =t , t R ,可知：当1在1的右上方时，直线I上的点(x, y)满足 2x y 0 , 即

4、t 0，而且，直线I往右平移时，t随之增大.由图象可知，当直线I经过点A(5, 2)时，对应的t最大,当直线I经过点B(1,1)时，对应的t最小,所以，Zmax = 2 52 = 12 ,乙皿山=2 13 -x -4y _ -3 I y变题：设z=6x10y，式中x, y满足条件 3x 5y空25，求z的最大值和最小x _1值.解：由引例可知：直线|0与AC所在直线平行，则由引例的解题过程知，当丨与AC所在直线3x 5y -25 =0重合时z最大，此时满足条件的最优解有无数多个，当l经过点B（1,1）时，对应z最小，zmax = 6X * 10y = 50 , zmin = 6 1101=16

5、 -例2 投资生产A产品时，每生产一百吨需要资金 200万元，需场地200 m2 , 可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产一百米需要资金 300万元，需场 地100m2，可获利润200万元.现某单位可使用资金 1400万元，场地900 m2 问 应作怎样的组合投资，可获利最大？分析:资金（百万兀）场地（百平方米）利润（百万兀）A产品（百吨）223B产品（百米）312限制149解 设生产A产品x百吨，生产B产品y百米,利润为S百万元，则约束条件为:2314,2x + y兰9,| x 狂0,y-0.目标函数为S=3x *2y ,3S3作出可行域（如图所示），将目标函数变形为 y二一巴x S

6、，这是斜率为-3 ,222SSS在y轴上的截距为 -，随着-变化的直线族当 -最大时，S最大，但直线要22213 5 与可行域相交.当直线经过两条直线 2x + y = 9与2x+3y=14的交点A兰,i4 2丿 时，直线在y轴上的截距最大，此时 S=3 3.25 2 2.5 =14.75,因此，生产A 产品325t，生产B产品250m时，获利最大，且最大利润为 1475万元.例3 某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180t该公司有8辆载重为6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员.每辆卡车每天往 返次数为A型车4次，B型车3次.每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元

7、，B型车为504元.试为该公司设计调配车辆方案，使公司花费的成本最低，若只 调配A型或B型卡车，所花的成本费分别是多少？x + y 兰 10,x + y 兰 10, 4x+5y 启30,即丿0兰x兰8,0兰y兰4, x,y Z.24x30=180tk解 设每天调出A型车x辆，B型车y辆，公司花费成本 Z元，将题中数据整理 成如下表格：A型车B型车物资限制载重（s）610共180车辆数84出车次数43每车每天运输成本（元）3205044x 6+3y 10 臭 180,0兰y兰4, x,y Z .则约束条件为丿0兰x兰8,目标函数为z =320x504 y .作出可行域:当直线320x - 504

8、y = z经过直线4x 5y = 30与x轴的交点(7.5, 0)时， Z有最小值，由于(7.5, 0)不是整点，故不是最优解.由图可知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是 320x 504y =2560，经过的整点是(8，0),它是最优解.答 公司每天调出 A型车8辆时，花费的成本最低，即只调配A型卡车，所 花最低成本费z=320 8 =2560 (元)；若只调配 B型卡车，则y无允许值， 即无法调配车辆.五、课堂小结：本节课学习了以下内容：1. 线性规划问题的求解步骤：(1) 审：审题(将题目中数据列表)，将实际问题转化为数学问题；(2) 设：设出变量，确定约束条件，建立目标函数；(3) 画：画出线性约束条件所表示的可行域，作出目标函数线；(4) 移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行 域有公共点且纵截距最大或最小的直线；(5) 求：通过解方程组求出最优解；(6) 答：回答实际问题.2. 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是一个凸多边形区域，此时变 动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点，因此，确定其最优解，往往只 需考虑在各个顶点的情形，通过比较，即可得最优解.3. 本节课学习的数学思想：化归思想、数形结合思想.六、课外作业课本 P94-95 第 8,9,10,11 题教学反思：