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1、第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入(自我评估、考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2021天津高考)i是虚数单位，()A12iB12iC12i D12i解析：12i.答案：D2已知向量a(5,6)，b(6,5)，则a与b()A垂直B不垂直也不平行C平行且同向D平行且反向解析：已知向量a(5,6)，b(6,5)，ab30300，则a与b垂直答案：A3(2021利辛模拟)已知向量a(2,3)，b(1,2)，若(mab)(a2b)，则实数m()A.BC.D.
2、解析：mabm(2,3)(1,2)(2m1,3m2)，a2b(2,3)2(1,2)(4，1)(mab)(a2b)12m(3m2)4.m.答案：B4如图，已知a，b，3，用a，b表示，则等于()Aab B.abC.abD.ab解析：()ab.答案：B5若在ABC中，|3，|5，|4，则|5|()A4B2C2 D.解析：根据三边边长易知ABC为直角三角形cos，.|5|225|2|210|cos，160.|5|4.答案：A6(2021鞍山模拟)已知复数z1i，则等于()A2i B2iC2 D2解析：2i.答案：A7已知命题：“若k1ak2b0，则k1k20”是真命题，则下面对a，b的判断正确的是(
3、)Aa与b一定共线Ba与b一定不共线Ca与b一定垂直Da与b中至少有一个为0解析：假设a与b共线，由已知得k1ak2b，如果a、b均为非零向量，与已知条件矛盾如果a、b中至少有一个非零向量，明显的与已知矛盾，排除A、D.把k1ak2b0两边平方得a2b22k1k2ab0，因为k1k20，所以ab不一定等于0，排除C.答案：B8若平面向量a(1,2)与b的夹角是180，且|b|3，则b的坐标为()A(3，6) B(3,6)C(6，3) D(6,3)解析：由题意设ba(1,2)由|b|3得29.3.因为a与b的夹角是180.所以3.答案：A9(2021黄冈模拟)已知A、B、C是锐角ABC的三个内角
4、，向量p(1sinA,1cosA)，q(1sinB，1cosB)，则p与q的夹角是()A锐角B钝角C直角D不确定解析：锐角ABC中，sinAcosB0，sinBcosA0，故有pq(1sinA)(1sinB)(1cosA)(1cosB)0，同时易知p与q方向不相同，故p与q的夹角是锐角答案：A10已知非零向量，和满足0，且，则ABC为()A等边三角形B等腰非直角三角形C非等腰三角形D等腰直角三角形解析：、均为单位向量由0，得|.由11cosC，得C45.故三角形为等腰直角三角形答案：D11如图，AB是半圆O的直径，C，D是弧AB的三等分点，M，N是线段AB的三等分点，若OA6，则的值为()A1
5、3B26C18D36解析：()()66cos6062cos12062cos12022cos18026.答案：B12设a(a1，a2)，b(b1，b2)定义一种向量积：ab(a1，a2)(b1，b2)(a1b1，a2b2)已知m，n，点P(x，y)在ysinx的图象上运动，点Q在yf(x)的图象上运动，满足mn(其中O为坐标原点)，则yf(x)的最大值A及最小正周期T分别为()A2，B2,4C.，4D.，解析：设Q(x0，y0)，(x0，y0)，(x，y)，mn，(x0，y0)(x，y)，代入ysinx中得，2y0sin，所以最大值为，周期为4.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共
6、16分将答案填写在题中的横线上)13已知复数z1m2i，z234i，若为实数，则实数m_.解析：是实数，64m0，故m.答案：14(文)若向量a(12，23)与b(4,1)共线，则_.解析：依题意得4(23)(12)0，由此解得.答案：(理)已知a(3,2)，b(1,2)，(ab)b，则实数_.解析：(ab)b，(ab)babb2150，.答案：15已知平面向量a，b，c满足abc0，且a与b的夹角为135，c与b的夹角为120，|c|2，则|a|_.解析：根据已知条件，组成以|a|，|b|，|c|为边长的三角形，由正弦定理得，又|c|2，所以|a|.答案：16在直角坐标系xOy中，i、j分别
7、是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，ij，2imj，则实数m_.解析：本题考查了向量的运算由已知可得i(m1)j.当A90时，(ij)(2imj)2m0，m2.当B90时，(ij)i(m1)j(1m1)m0，m0.当C90时，(2imj)i(m1)j2m(m1)m2m20，此时m不存在故m0或2.答案：0或2三、解答题(本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)已知复数z满足：|z|13iz，化简解：设zabi(a，bR)，而|z|13iz，即13iabi0，则，z43i.34i.18(本小题满分12分)如图，在平行四边形ABCD中
8、，M，N分别为DC，BC的中点，已知c，d，试用c，d表示，.解：法一：设a，b，则ad(b)，bc(a)，将代入得ad()c(a)adc，代入得bc()(dc)cd.故dc，cd.法二：设a，b.所以b，a，因而，即(2dc)，(2cd)19(本小题满分12分)已知向量a(cos()，sin()，b(cos()，sin()(1)求证：ab；(2)若存在不等于0的实数k和t，使xa(t23)b，ykatb，满足xy，试求此时的最小值解：(1)证明：abcos()cos()sin()sin()sincossincos0.ab.(2)由xy得：xy0，即a(t23)b(katb)0，ka2(t33
9、t)b2tk(t23)ab0，k|a|2(t33t)|b|20.又|a|21，|b|21，kt33t0，kt33t.t2t3(t)2.故当t时，有最小值.20(本小题满分12分)在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，已知向量m(1,2sinA)，n(sinA,1cosA)，且满足mn，bca.(1)求角A的大小；(2)求sin的值解：(1)mn，1cosA2sin2A，即2cos2AcosA10，解得cosA1(舍去)，cosA.又0A，A.(2)bca，由正弦定理可得sinBsinCsinA.又C(AB)B，sinBsin，即sinBcosB，sin.21(本小题满分12分)已
10、知向量a(cosx，sinx)，b(cosx，cosx)，c(1,0)(1)若x，求向量a，c的夹角；(2)当x，时，求函数f(x)2ab1的最大值解：(1)设a，c的夹角为，当x时，cosa，ccosxcoscos.0a，c，a，c.(2)f(x)2ab12(cos2xsinxcosx)12sinxcosx(2cos2x1)sin2xcos2xsin(2x)x，2x，2，sin(2x)1，当2x，即x时，f(x)max1.22(本小题满分14分)已知ABC的面积为S，满足S3，且6，与的夹角为.(1)求角的取值范围；(2)求函数f()sin22sincos3cos2的最小值解：(1)由题意知，|cos6，S|sin()|sin，由，得tan，即3tanS.由S3，得3tan3，即tan1.又为与的夹角，(0，(2)f()sin22sincos3cos21sin22cos22sin2cos22sin(2)，2，当2，即时，f()取得最小值为3.
浅谈平面向量、数系的扩充与复数的引入
