11回归分析的基本思想及其初步应用修改

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1、必修必修3(3(第二章第二章 统计统计) )知识结构知识结构 收集数据收集数据 ( (随机抽样随机抽样) )整理、分析数据整理、分析数据估计、推断估计、推断简单随机抽简单随机抽样样分层抽样分层抽样系统抽样系统抽样用样本估计总体用样本估计总体变量间的相关关系变量间的相关关系 用样本用样本的频率的频率分布估分布估计总体计总体分布分布 用样本用样本数字特数字特征估计征估计总体数总体数字特征字特征线性回归分析线性回归分析1、两个变量的关系、两个变量的关系不相关不相关相关关相关关系系函数关系函数关系线性相关线性相关非线性相关非线性相关问题问题1：现实生活中两个变量间的关系有哪：现实生活中两个变量间的关系

2、有哪些呢？些呢？相关关系：相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。之间的关系。思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？函数关系中的两个变量间是一种确定性关系相关关系是一种非确定性关系 函数关系是一种理想的关系模型 相关关系在现实生活中大量存在，是更一般的情况问题问题2：对于线性相关的两个变量用什么方法：对于线性相关的两个变量用什么方法来刻划之间的关系呢？来刻划之间的关系呢？2、最小二乘估计、最小二乘估计最小二乘估计下的线性回归方程：最小二乘估计下的线性回归方程：ybxa121

3、()()()niiiniixXyYbXX aYbXniiniiixnxyxnyxb1221xbyaybxaniixnx11niiyny11回归直线必过样本点的中回归直线必过样本点的中心心),(yx3、回归分析的基本步骤回归分析的基本步骤:画散点图画散点图求回归方程求回归方程预报、决策预报、决策这种方法称为回归分析这种方法称为回归分析.回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法分析的一种常用方法.课堂互动讲练课堂互动讲练该类题属于线性回归问题该类题属于线性回归问题,解答本类题目的关键首解答本类题目的关键首先应先通过散点图来分析两变量间的

4、关系是否相先应先通过散点图来分析两变量间的关系是否相关关,然后再利用求回归方程的公式求解回归方程然后再利用求回归方程的公式求解回归方程. 线性回归分析线性回归分析学生学生学科成绩学科成绩ABCDE数学成绩数学成绩(x)8876736663物理成绩物理成绩(y)7865716461（1）画出散点图；）画出散点图；（2）求物理成绩）求物理成绩y对数学成绩对数学成绩x的回归直线方程；的回归直线方程；（3）一名学生的数学成绩是）一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理，试预测他的物理成绩成绩.【思路点拨【思路点拨】先画散点图先画散点图,分析物理与数学成绩是分析物理与数学成绩是否有线性相关关系否有线性相

5、关关系,若相关再利用线性回归模型求若相关再利用线性回归模型求解预报变量解预报变量.【解】【解】(1)散点图如图：散点图如图：niiniiixnxyxnyxb1221 aYbXniiniiixnxyxnyxb1221 aYbX【题后点评】求回归直线方程的一般【题后点评】求回归直线方程的一般方法是方法是:作出散点图作出散点图,将问题所给的数将问题所给的数据在平面直角坐标系中进行描点据在平面直角坐标系中进行描点,这样这样表示出的两个变量的一组数据的相关表示出的两个变量的一组数据的相关图形就是散点图图形就是散点图,从散点图中我们可以从散点图中我们可以判断样本点是否呈条状分布判断样本点是否呈条状分布,进

6、而判断进而判断两个变量是否具有相关关系两个变量是否具有相关关系.例题例题1 1 从某大学中随机选出从某大学中随机选出8 8名女大学生，其身名女大学生，其身高和体重数据如下表：高和体重数据如下表：编号12345678身高165165157170175165155170体重4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为回归方程，并预报一名身高为172172的女的女大学生的体重。大学生的体重。1. 散点图；散点图；2.2.回归方程：回归方程：3.3.通过探究栏目引入通过探究栏目引入“线性回归模型线性回归模型”。此

7、处可。此处可以引导学生们体会函数模型与回归模型之间的以引导学生们体会函数模型与回归模型之间的差别。差别。172.85849. 0 xy分析：由于问题中分析：由于问题中要求根据身高预报要求根据身高预报体重，因此选取身体重，因此选取身高为自变量，体重高为自变量，体重为因变量为因变量学学身身高高172cm女172cm女大大生生体体重重y = 0.849y = 0.849172-85.712 = 60.316(kg)172-85.712 = 60.316(kg)非线性回归分析非线性回归分析对于非线性回归问题对于非线性回归问题,并且没有给出经验公并且没有给出经验公式式,这时我们可以画出已知数据的散点图这

8、时我们可以画出已知数据的散点图,把把它与必修模块它与必修模块数学数学1中学过的各种函数中学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图（幂函数、指数函数、对数函数等）的图象作比较象作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数的函数,然后采用适当的变量代换然后采用适当的变量代换,把问题转把问题转化为线性回归问题化为线性回归问题,使其得到解决使其得到解决.例例2 一只红铃虫的产卵数一只红铃虫的产卵数y和温度和温度x有关有关,现收现收集了集了7组观测数据列于表中：组观测数据列于表中：温度温度xoC21232527293235产卵数产卵数y/个个7112124661153

9、25试建立产卵数试建立产卵数y y与温度与温度x x之间的回归方程；之间的回归方程；选变量选变量 解：选取气温为解释变量解：选取气温为解释变量x x，产卵数，产卵数 为预报变量为预报变量y y。画散点图画散点图假设线性回归方程为假设线性回归方程为 ：=bx+a选选 模模 型型分析和预测分析和预测当当x=28时，时，y =19.8728-463.73 93估计参数估计参数由计算器得：线性回归方程为由计算器得：线性回归方程为y=y=19.8719.87x x-463.73-463.73所以，一次函数模型拟合效果不太好。所以，一次函数模型拟合效果不太好。05010015020025030035003

10、6912151821242730333639当当x=28时，时，y =19.8728-463.73 93方法一：一元函数模型方法一：一元函数模型 y= c1 x2+c2 变换变换 y= c1 t+c2 非线性关系非线性关系 线性关系线性关系问题问题选用选用y=c1x2+c2 ，还是，还是y=c1x2+cx+c2 ？问题问题3 产卵数产卵数气温气温问题问题2如何求如何求c1、c2？ t=x2方法二，二元函数模型方法二，二元函数模型平方变换平方变换：令令t=xt=x2 2，产卵数，产卵数y y和温度和温度x x之间二次函数模型之间二次函数模型y=bxy=bx2 2+a+a就转化为产卵数就转化为产卵

11、数y y和温度的平方和温度的平方t t之间线性回归模型之间线性回归模型y=bt+ay=bt+a温度温度21232527293235温度的平方温度的平方t44152962572984110241225产卵数产卵数y/个个711212466115325作散点图，并由计算器得：作散点图，并由计算器得：y y和和t t之间的线性回归方程为之间的线性回归方程为y=y=0.3670.367t t-202.54-202.54将将t=xt=x2 2代入线性回归方程得：代入线性回归方程得： y=y=0.3670.367x x2 2 -202.54 -202.54当当x x=28=28时时，y y=0.367=0

12、.36728282 2- -202.5485202.5485，所以，二次函数模型比一次函数所以，二次函数模型比一次函数模型较好。模型较好。t产卵数产卵数气温气温 变换变换 y=bx+a 非线性关系非线性关系 线性关系线性关系43c xyc e对数对数方法三：指数函数模型xccexccecyxc43433lnlnlnlnlnln4abxzzybcac则有令,ln,ln43温度温度x/21232527Z=lny1.9462.3983.405 3.178产卵数y/个71121242932354.1904.7455.78466115325c由计算器得：由计算器得：z关于关于x的线性回归方程的线性回归方

13、程 因此因此y关于关于x的非线性回归方程为的非线性回归方程为849. 3272. 0 xz当当x=28 时，时，y 44 ，指数回归模型比二次函数模型更好，指数回归模型比二次函数模型更好C849. 3272. 0 xey【题后点评】作出散点图，由散点图【题后点评】作出散点图，由散点图选择合适的回归模型是解决本题的关选择合适的回归模型是解决本题的关键，在这里线性回归模型起了转化的键，在这里线性回归模型起了转化的作用作用.探究？探究？身高为身高为172172的女大学生的体重一定的女大学生的体重一定是是60.316kg60.316kg吗吗？如果不是？如果不是, ,其原因是什其原因是什么么? ?（1

14、1）由图形观察可以看出，样本点呈条状分布，）由图形观察可以看出，样本点呈条状分布，身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。用线性回归方程刻画它们之间的关系。（2 2）从散点图还可以看到，样本点散布在某一）从散点图还可以看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是一条直线上，所以不能用条直线的附近，而不是一条直线上，所以不能用一次函数来描述它们之间的关系。一次函数来描述它们之间的关系。这时我们用下面的线性回归模型来描述身高和体这时我们用下面的线性回归模型来描述身高和体重的关系：重的关系：+ +其中和为模型其中和为模型的的

15、未知参数未知参数，e e是是y与与 之间的误差之间的误差,通常通常称为称为随机随机误差误差。 y产生随机误差的原因是什么？产生随机误差的原因是什么？e 产生的主要原因：产生的主要原因： (1)所用确定性函数模拟不恰当；所用确定性函数模拟不恰当； (2)忽略了某些因素的影响；忽略了某些因素的影响； (3)观测误差，如使用的测量工具不同等观测误差，如使用的测量工具不同等函数模型与回归模型之间的差别函数模型与回归模型之间的差别一次函数模型： y=bx+a 线性回归模型线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项增加了随机误差项e，因，因变量变量y 的值由自变量的值由自变量x和随机误差项和随机误差项e

16、 共同确定，即共同确定，即自变量自变量x 只能只能解释部分解释部分y 的变化的变化. 在统计中，我们也把自变量在统计中，我们也把自变量x称为称为解释变量解释变量， 因变量因变量y称为称为预报变量预报变量.线性回归模型： y=bx+a+eeyy 随机误差随机误差eyye的估计量的估计量样本点：样本点：1122(,),(,),. ,(,)nnxyxyxy相应的随机误差为：相应的随机误差为：,1,2,.,iiiiieyyybxa in 随机误差的估计值为：随机误差的估计值为：,1,2,.,iiiiieyyybxa inie称为相应于点称为相应于点 的的残差残差.(,)iixy残差分析残差分析在研究两

17、个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否是线性相关，是否可以用线性回归模略判断它们是否是线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据型来拟合数据.然后，可以通过残差然后，可以通过残差 来来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据数据.这方面的分析工作称为残差分析这方面的分析工作称为残差分析.12,ne ee0.3820.382-2.883-2.8836.6276.6271.1371.137-4.618-4.6182.4192.4192.6272.627-6.373-6.373残差残差

18、59594343616164645454505057574848体重体重/kg/kg170170155155165165175175170170157157165165165165身高身高/cm/cm8 87 76 65 54 43 32 21 1编号编号下表为女大学生身高和体重的原始数据以及相应的下表为女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据：残差数据： e以纵坐标为残差，横坐标为编号，作出图形（以纵坐标为残差，横坐标为编号，作出图形（残差图残差图）来分析残差特性来分析残差特性.由图可知，第由图可知，第1个样本点和第个样本点和第6个样本点的残差比较大，个样本点的残差比较大，需要确认在采

19、集这两个样本点的过程中是否有人为的需要确认在采集这两个样本点的过程中是否有人为的错误错误.如果数据采集有错误，就予以纠正，然后重新如果数据采集有错误，就予以纠正，然后重新利用线性回归模型拟合数据利用线性回归模型拟合数据;如果数据采集没有错误，如果数据采集没有错误，则需要寻找其他原因则需要寻找其他原因.如何刻画模型拟合的精度？如何刻画模型拟合的精度？相关指数：相关指数：22121()1()niiiniiyyRyy 在含有一个解释变量的线性模型中，在含有一个解释变量的线性模型中，R2恰好等于相关恰好等于相关系数系数r的平方的平方.R2取值越大，则残差平方和越小，即模型的拟合效果取值越大，则残差平方

20、和越小，即模型的拟合效果越好越好.R2=0.64，表明：，表明：“女大学生的身高解释了女大学生的身高解释了64的体的体重变化重变化”，或者说，或者说“女大学生的体重差异有女大学生的体重差异有64是是由身高引起的由身高引起的”.解释解释预报预报1问题四：结合例问题四：结合例1思考：用回归方程预报体重时应注意什么？思考：用回归方程预报体重时应注意什么？1.回归方程只适用于我们所研究的样本的总体。回归方程只适用于我们所研究的样本的总体。2.我们建立的回归方程一般都有时间性。我们建立的回归方程一般都有时间性。3.样本取值的范围会影响回归方程的适用范围。样本取值的范围会影响回归方程的适用范围。4.不能期

21、望回归方程得到的预报值就是预报变量的不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。精确值。涉及到统计的一些思想：涉及到统计的一些思想：模型适用的总体；模型的时间性；模型适用的总体；模型的时间性；样本的取值范围对模型的影响；模型预报结果的正确样本的取值范围对模型的影响；模型预报结果的正确理解。理解。误差与残差，这两个概念在某程度上具有很大的相似误差与残差，这两个概念在某程度上具有很大的相似性，都是衡量不确定性的指标，可是两者又存在区别。性，都是衡量不确定性的指标，可是两者又存在区别。误差与测量有关，误差大小可以衡量测量的准确性，误差与测量有关，误差大小可以衡量测量的准确性，误差越大则表示测量

22、越不准确。误差分为两类：系统误差越大则表示测量越不准确。误差分为两类：系统误差与随机误差。其中，系统误差与测量方案有关，误差与随机误差。其中，系统误差与测量方案有关，通过改进测量方案可以避免系统误差。随机误差与观通过改进测量方案可以避免系统误差。随机误差与观测者，测量工具，被观测物体的性质有关，只能尽量测者，测量工具，被观测物体的性质有关，只能尽量减小，却不能避免减小，却不能避免。 残差残差与预测有关，残差大小可以衡量预测的准确与预测有关，残差大小可以衡量预测的准确性。残差越大表示预测越不准确。残差与数据本身的性。残差越大表示预测越不准确。残差与数据本身的分布特性，回归方程的选择有关。分布特性

23、，回归方程的选择有关。函数模型函数模型相关指数相关指数R2线性回归模型线性回归模型0.7464二次函数模型二次函数模型0.802指数函数模型指数函数模型0.98上节例上节例2中最好的中最好的模型是哪个模型是哪个?显然，指数函数模型最好！显然，指数函数模型最好！建立回归模型的基本步骤：建立回归模型的基本步骤：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量个变量是预报变量;（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在线性关系）；观察它们之间的关系（是否存在线性关系）；（

24、3）由经验确定回归方程的类型（如观察到数据呈线）由经验确定回归方程的类型（如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）；）；（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；乘法）；（5）得出结果后分析残差图是否异常（个别数据对）得出结果后分析残差图是否异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等），若存应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.1)1)确定解释变量和预报变量确定解释变量和预报变量; ; 2)

25、2)画出散点图画出散点图; ; 3)3)确定回归方程类型确定回归方程类型; ; 4)4)求出回归方程求出回归方程; ; 5)5)利用相关指数或残差进行分析利用相关指数或残差进行分析. .建立回归模型的基本步骤建立回归模型的基本步骤小小 结结 实际问题实际问题y = f(x)y = f(x) 样本分析样本分析y = f(x)y = f(x) 回归模型回归模型y = f(x)y = f(x)抽样抽样回归分析回归分析预报精度预报精度预报预报 结束残差分析残差分析通过对残差图的分析，得出模型的拟合效果通过对残差图的分析，得出模型的拟合效果. 在在7块形状、大小相同的并排试验田上进行块形状、大小相同的并

26、排试验田上进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据（单位：一组数据（单位：kg）:施肥量施肥量x/kg15202530354045水稻产量水稻产量y/kg330345365405445450455(1)以施肥量以施肥量x为解释变量，水稻产量为解释变量，水稻产量y为预报变量，为预报变量，作出散点图；作出散点图；(2)求求y与与x之间的回归方程，并求施肥量为之间的回归方程，并求施肥量为28 kg时时水稻产量的预报值；水稻产量的预报值；(3)计算残差，并计算残差平方和；计算残差，并计算残差平方和；(4)求求R2，并说明其含义，并说明其含义【

27、解】（【解】（1）散点图如图所示：）散点图如图所示：（2）由散点图可以看出，样本点呈条状分布，）由散点图可以看出，样本点呈条状分布，施肥量和水稻产量有较好的线性相关关系，因此施肥量和水稻产量有较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程近似刻画它们之间的关系。可以用线性回归方程近似刻画它们之间的关系。【题后点评】在求回归方程时，先画散点图，看【题后点评】在求回归方程时，先画散点图，看样本是否能很好地符合线性相关关系或进行相关样本是否能很好地符合线性相关关系或进行相关性检验性检验.相关指数相关指数R2表示解释变量对预报变量的贡表示解释变量对预报变量的贡献率献率.次数次数(x)30333537394

28、44650成绩成绩(y)3034373942464851某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下下:（1）作出散点图；）作出散点图；（2）求出线性回归方程；）求出线性回归方程；（3）作出残差图；）作出残差图；（4）计算）计算R2，并作出解释；，并作出解释；（5）试预测该运动员训练）试预测该运动员训练47次及次及55次的成绩次的成绩.解：解：(1)作出该运动员训练次数作出该运动员训练次数(x)与成绩与成绩(y)之间之间的散点图的散点图,如图所示：如图所示：由散点图可知由散点图可知,它们它们之间具有线性相关之间具有线性相关关系关系.(4)计算相关指数计

29、算相关指数R2计算相关指数计算相关指数R20.9855.说明了该运动的成绩的说明了该运动的成绩的差异有差异有98.55%是由训练次数引起的是由训练次数引起的(5)作出预报作出预报由上述分析可知，我们可用回归方程由上述分析可知，我们可用回归方程1.0415x0.003875作为该运动员成绩的预报值作为该运动员成绩的预报值将将x47和和x55分别代入该方程可得分别代入该方程可得y49和和y57.故预测运动员训练故预测运动员训练47次和次和55次的成绩分别为次的成绩分别为49和和57.预报精度预报精度1.相关指数相关指数R22.残差残差ennnn2222iiiii i2 2i=1i=1i=1i=1n

30、nnn2222iiiii=1i=1i=1i=1(y -y )(y -y)(y -y )(y -y)R =1-=R =1-=(y -y)(y -y)(y -y)(y -y)在含有一个解释在含有一个解释变量的线性变量的线性 模型模型中中R2=r2(相关关系相关关系)判断判断x xi i确定差异确定差异百分数百分数随机误差随机误差 , ,它的估计值为它的估计值为 . .e = y-ye = y-ye = y-ye = y-y 对于样本点对于样本点 它们随机误它们随机误差的估计值差的估计值 称相应残差称相应残差.1122nn1122nn(x ,y ), (x ,y ), (x ,y )(x ,y ), (x ,y ), (x ,y )i ii iiiiiiie = y -y = y -bx -ae = y -y = y -bx -a n n2 22 2iiiii=1i=11111 =(y -bx -a) =Q(a,b)(n 2)=(y -bx -a) =Q(a,b)(n 2)n-2n-2n-2n-2方差方差1)1)衡量预报精度衡量预报精度2)2)确定样本的异常点确定样本的异常点. .教材教材3636 2 2