A3(第十二章第1、2、3、4节)46388

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1、 设一曲线形构件位于设一曲线形构件位于xoy平面上的一段平面上的一段曲线弧曲线弧 L 上上, 线密度线密度 (x, y)为为 L 上的连续函上的连续函数数，求该曲线形构件的质量求该曲线形构件的质量 M。- 具有连续转动切线的曲线具有连续转动切线的曲线。xyAB(1) ： 插入分点插入分点：,11 niMMM1M1 iMiM1 nM), 2 , 1(1niMMnABii 个小弧段个小弧段为为分分设设 ABL每一小弧段长每一小弧段长.1 iiiMMS(2) ：,),(iiiS 任取一点任取一点则小弧段质量则小弧段质量：,),(iiiiSM iS ),(ii (3) ： niiiiniisMM11)

2、,( (4) ),max(is 令令时，时，当当0 设设L为为xoy平面内的一条光滑曲线弧段，平面内的一条光滑曲线弧段，M1, M2, , Mn-1 把把 L 分成分成,1 iiMMn个小弧段个小弧段 iiMM1在在上上任任取取一一点点), 2 , 1(ni 若和式的极限若和式的极限存在，存在， niiiisf10),(lim 则称此极限值为则称此极限值为。;is 函数函数 f (x, y) 在在L上有界上有界， ),max(is 令令用用L上的任意上的任意点点其长度为其长度为,),(),(iiiiisf 作乘积作乘积也称为也称为。记作记作 Lsdyxf),(L 积分弧段积分弧段（积分路径积分

3、路径） ds 弧元素弧元素(1) f (x, y) 在在 L 上连续上连续, 则曲线积分必存在则曲线积分必存在。(2) f(x, y)虽为二元函数虽为二元函数,但点但点(x, y)被限制在被限制在L上上, 变量变量 , 须满足曲线须满足曲线 L 的方程的方程。(3)若若L是是, 常记成常记成.),( Lsdyxf(4)推广到空间曲线推广到空间曲线, 有有 sdzyxf),( niiiiisf10),(lim Ldsyxgyxf),(),()1( LLdsyxgdsyxf.),(),(为常数）为常数）（kdsyxfkdsyxfkLL ,),(),()2( LLLsdyxfdsyxfdsyxf12

4、),(),(),(.21LLL (3) 若若L是分段光滑的曲线段是分段光滑的曲线段，即即(4) 设在设在 L 上上，),(),(yxgyxf 则则 LLdsyxgdsyxf),(),(5) 设设 f (x, y) 在在 L 上连续上连续，则必存在则必存在,),(L 使得使得 Llfdsyxf),(),( 其中其中 l 为为 L 的长度。的长度。(1) 如曲线如曲线 L 关于关于 y 轴对称，轴对称，L1 是是 L 的的 部分，部分，0 x,),(),(时时则当则当yxfyxf 1),(2),(LLdsyxfdsyxf,),(),(时时当当yxfyxf 0),( Ldsyxf(2) 若交换若交换

5、 x, y 两变量时，两变量时，L的方程不变，则的方程不变，则 LLdsxyfdsyxf),(),(上上有有定定义义且且连连续续，弧弧在在曲曲线线设设Lyxf),(上具有一阶连续导数，上具有一阶连续导数，在在其中其中,)(),( tt且且, 0)()(22 tt ),(),(),( ttytxL 的参数方程为的参数方程为：则曲线积分则曲线积分 Lsdyxf),(存在存在， 且且ds 弧元素弧元素 (弧微分弧微分)22)()(ydxdsd ,)(),(时时所以当所以当tytx (1)(2),)()(时时：当当bxaxyyL Lbaxyxfsdyxf)(,),( Ldcdyyxyyxfdsyxf)

6、(1),(),(2,)( )(时时：当当dycyxxL dxxy)(12 dtttds)()(22 (3) Lrrfdsyxf sin)(,cos)(),(4)(),(),(tzztyytxx ：对对空空间间曲曲线线 则则),( t Ltztytxfdszyxf )(),(),(),(5)时时，：当当)()( rrL drr22 tdzyx222 上述所有计算公式中上述所有计算公式中，等式右边的定积分等式右边的定积分的积分下限都必须小于上限的积分下限都必须小于上限。一段弧一段弧(如图如图).例例1:中的中的为为计算计算222,ayxLdsxyIL ABa232aA (0, a), )23,21

7、(aaB法一：法一：选选 为积分变量为积分变量，L：22xay )20(ax xdysd21 xdxaa22 xI22xa xdxaa22 02a 20adxxa.813a xya一段弧一段弧(如图如图).中的中的为为计算计算222,ayxLdsxyIL 法二法二： 选选 为积分变量为积分变量，L：22yax )23(aya ydyaa22 ydxsd21 yI aadyya2322ya 23aaydyaa22 .813a ABa232axya一段弧一段弧 (如图如图).中的中的为为计算计算222,ayxLdsxyIL 法三法三：tdtytxsd)()(22 L 用参数方程表示用参数方程表示:

8、 taytaxLsincos:)23( ttda tataIsincos tda 3 2 2323sin2 ta .813a ABa232axyaxy1 22例例2：, Lyds计算计算的整个边界。的整个边界。所围所围 OABBAOL )0 , 2(),2 , 1(),0 , 0(:ABOBABOAL OBABLOAydsydsydsyds. 52 :OA:AB:OB,2xy ;10 x,24xy ;21 x, 0 y;20 x sd.5dx sd.5dx sd.dx x2dx50 )24(xdx512 0dx021o例例3：,|sdyL 求求一周。一周。双纽线双纽线)()(:222222yx

9、ayxL 2cos22ar drrsd22 L 12| )(|LLLsdysdy.)224(2a 利用极坐标利用极坐标。 da2cos yx4 2cos22ar 1L)sin)( ry 又又 442cos|sin2cos| daa 45432cos|sin2cos| daa2La例例4：,)432(22 Ldsyxxy求求。的的一一周周，其其周周长长为为椭椭圆圆ayxL134:22 ,124322 yxL的方程可写为的方程可写为因为因为 L 关于关于 x 轴对称，轴对称，2xy 关于关于 y 是奇函数，是奇函数，, 02 Lxyds所以所以 LLdsyxdsyxxy)43()432(2222则

10、则 Lds12 Lds12.12a 方程方程满足满足 Lyx,;,1),()1( LdsLyxf弧长弧长时时当当,),( ),()2(处的高时处的高时柱面在点柱面在点上的上的表示立于表示立于当当yxLyxf.),( LdsyxfS柱面面积柱面面积sL),(yxfz 密度在密度在 L 上连续上连续， 设平面曲线形的物件所占的平面曲线设平面曲线形的物件所占的平面曲线弧段为弧段为L，且它的线密度为且它的线密度为),(yx 则则：它的质量它的质量 LdsyxM),( 它的质心坐标它的质心坐标为：为：),(yxMdsyxxxL ),( MdsyxyyL ),( (3)若线若线例例5.)20(cos2 a

11、r求均匀半圆周求均匀半圆周的质心坐标的质心坐标。a2a由对称性由对称性，;ax Lsdy,al 弧长弧长 Lsd sin)( r 20 cos2a sin da2 dasincos4202 .22a ay 1 Lsdy.2 a 质心：质心：. )2,( aa,2 dasd cos2ar .xy0 习题习题 1(3), 2习题习题 1(1, 4) 常力作功常力作功:).,cos(SFSFSFW 变力作功变力作功, badxxfW)(力力 f (x) 的方向与运动方向一致的方向与运动方向一致, xyAB，设设 ABL(1)插入分点插入分点 M1(x1, y1) , ,Mn-1(xn-1, yn-1

12、),n个有向小弧段个有向小弧段 iiMM1)., 2 , 1(ni M1Mn-1Mi-1Mi将将L任意分成任意分成F设一质点在设一质点在xoy面内沿光滑曲线弧面内沿光滑曲线弧L从从A移动到移动到jyxQiyxPyxF),(),(),( 的作用的作用，其中其中P, Q在在B。移动过程中移动过程中，这质点受到变力这质点受到变力L上连续上连续。现计算在上述移动过程中变力所作的功现计算在上述移动过程中变力所作的功。xyABMi-1Miix iy (2),1 iiMM近似代替近似代替,),(1 iiiiMM 任取任取 ),(iiF 则由常力则由常力:jQiPFiiiiii),(),(),( 近似代替近似

13、代替),(yxF变力变力则则.),(),(iiiiiiyQxP jyixMMiiii 1用用iiiiiMMFW1),( .),(),(1iiiiiiniyQxP niiWW1 作和作和(3)(4)取极限取极限),max(1 iiMM 记记),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 2、定义定义 设设 L 为为 xoy 平面上从点平面上从点A到到B的一条有向的一条有向 光滑曲线光滑曲线, 函数函数 P(x, y) 、Q(x, y) 在在 L 上有界上有界。)(,),(1, 111, 11 nnnyxMyxML上的点上的点用用分成分成 n个有向小弧段个有向小弧段,1 iiMM),;, 2

14、, 1(0BMAMnin ,11 iiiiiiyyyxxx 设设),(ii 点点上的任一点，上的任一点，为为 iiMM1, )max(1 iiMM 存在，存在，若若 niiiixP10),(lim 则称此极限值则称此极限值把把 L 为函数为函数 P(x, y) 在有向曲线弧在有向曲线弧 L 上上, 记作记作.),( LdxyxP同理同理, ,存在，存在，若若 niiiiyQ10),(lim 则称此极限值为函数则称此极限值为函数 Q(x, y) 在有向曲线弧在有向曲线弧.),( LdyyxQ LLdyyxQdxyxP),(),(.),(),( LdyyxQdxyxP L上上, 记作记作1) P(

15、x, y), Q(x, y) 中的中的 受受 L 的限制而的限制而。2)。时，时，AB 3) 前述变力作功前述变力作功 LdyyxQdxyxPW),(),( LsdyxF),(,),(),(),(jyxQiyxPyxF 其中其中jydixdsd (有向弧元素有向弧元素)sddydxsd 22)()(,1iiiyyy ,1iiixxx 变号变号4)对空间曲线对空间曲线 L, 有有 ),(zyxF其中其中,),(),(),(kzyxRjzyxQizyxP .kzdjydixdsd 5),(),(),(zyxRzyxQzyxP若若在在 L 上连续上连续, 则此曲线积分必存在则此曲线积分必存在。 3、

16、性质性质(1) 设有向曲线设有向曲线 L , L 与与 L 则有则有: LdxyxP),( LdyyxQ),( ydQxdPL(2) 其余性质类似于对弧长的曲线积分其余性质类似于对弧长的曲线积分。 LxdyxP,),( LydyxQ,),( LydQxdP._,),(),(时时则当则当yxfyxf ,),(2),(1 LLdxyxfdxyxf,),(),(时时则当则当yxfyxf , 0),( Ldxyxf 如曲线如曲线 L 关于关于 y 轴对称，轴对称，L1 是是 L 的的 部分，部分，0 x方向不变，方向不变，0),( Ldyyxf 1),(2),(LLdyyxfdyyxf 设曲线设曲线L

17、由参数方程由参数方程给出，给出，)(),(tytx ),( t为端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有及及在以在以 )(),(tt一阶连续导数一阶连续导数, 且且),(yxMt时，时，变到变到由由当当 又函数又函数 P(x, y), Q(x, y) 在在L上连续上连续,)( 可大于可大于),( tL 的的, 0)()(22 tt 描出有向曲线描出有向曲线 LAB , ),(xfyLAB ：若若起点起点 A (x = a), 终点终点 B (x = b)f (x) 在在 a, b 或或 b, a 上有连续导数上有连续导数, 则则 LdyyxQdxyxP),(),()()(,)(,xdfxfxQd

18、xxfxP badxxfxfxQxfxP)()(,)(, ba),(ygxLAB ：若若起点起点 A (y = c), 终点终点 B (y = d)g(y) 在在 c, d 或或 d, c 上有连续导数上有连续导数, 则则 LdyyxQdxyxP),(),(),()(),(dyyygQydgyygP dc dcdyyygQygyygP),()(),( 空间曲线空间曲线:),(),(),(tzztyytxx 起点起点 A dzzyxRdyzyxQdxzyxP),(),(),(则则)()(),(),()()(),(),(tydtztytxQtxdtztytxP )()(),(),(tzdtztyt

19、xR ),( t),( t终点终点 B )()(),(),()()(),(),(tytztytxQtxtztytxPtdtztztytxR)()(),(),( 例例1. LdyxdxyI22计算计算(1) L: 圆心为原点圆心为原点,半径为半径为1, 按逆时针方向绕行按逆时针方向绕行的上半圆周的上半圆周。xyAB1-1tytxLsin,cos: .0: t则则，由由BAtdttttI)(sin)(cos)(cos)sin(220 .34 tdtt)cossin(330 LdyxdxyI22计算计算(2) L: 直线直线 AB.xyAB1-1,0: yL则则，由由BA. 11: xdxxI)0(

20、022 11 = 0 . LdyxdxyI22计算计算(3) L: 折线折线 ACB.xyABC1-11: yxLAC,1xy .01:x1: xyLCB,1xy .10: x)1(22 xxIxd)1( 10)1(22 xxxd0-1xdxx)122(012 xdx)12(10 .32 例例2.dyyxdxyxIOAL)()( ).1, 1(),0, 0(AO其中其中(1)10:,: xxyLOA(2)10:,:2 xxyLOAAxy1dxxxxxxI)()()( 01 102xdx.1102 xdxxxxxxI)()()( 222 01 1032)23(xdxxx= 1 .Axy1B(3)

21、,BAOBOBAOALLLL :OB, 0 y,10:xdyyxdxyxIOAL)()( ).1, 1(),0, 0(AO其中其中:BA, 1 x,10:ydxxxOBL)0()0()0( 01;21 dyyyBAL )1()1()1( 01;21 . 1 I)0 , 1(例例3. ,)1(dzyxdyydxxI: 由点由点 (1, 1, 1) 到点到点 (2, 3, 4) 的直线段的直线段。求求 的方程的方程。 的方向向量的方向向量：, 321， s 的方程的方程：312111 zyx其参数式其参数式：, 1 tx, 12 ty, 13 tz. 10:t I(t +1)d(t +1) + (

22、2t +1) d(2t +1)+ (t +1) + (2t +1) - 1d(3t +1)01 10)12(1tt2)13( t3dttdt 10)614(= 13 .t zoyx1例例4. 计算计算其中其中 由平面由平面 y = z 截球面截球面解解:,1222 yx故故: 原式原式 = tdtt 2022sincos221tdtt 2022)cos1(cos4221 221432212 162 txcos tysin21 sin21tz )20( t, zdzyx从从 z 轴正向看沿逆时针方向轴正向看沿逆时针方向.,1222所得所得 zyx因在因在 上有上有设有向线段设有向线段 L:),(

23、),(tytx ),(),(21ttBttA 终点终点起点起点为端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有及及在以在以21)(),(tttt 一阶连续导数一阶连续导数, 且且, 0)()(22 tt 又函数又函数 P(x, y), Q(x, y) 在在 L 上连续上连续,的两个方向角，的两个方向角，的切向量的切向量在点在点为有向线段为有向线段又设又设),(,yxL 类似类似， dzzyxRdyzyxQdxzyxP),(),(),(,)coscoscos(dsRQP 处的处的上点上点为为),(cos,cos,coszyx 切线向量的方向余弦。切线向量的方向余弦。则可证明则可证明:例例：弧长的弧长的化

24、为对化为对把把 LdyyxQdxyxP),(),(的一段。的一段。到到，上从点上从点曲线积分，曲线积分，)1 , 1()11(:3 xyL,3,23dxxdyxy 曲线上点曲线上点 (x, y) 的切线的方向余弦的切线的方向余弦：22211)()(cosydydxdx 22)()(cosdydxdy dsQPQdyPdxLL)coscos( ,9114x ,91342xx dsxQxPL 42913二者夹角为二者夹角为 例例: 设设,max22QPM 曲线段曲线段 L 的长度为的长度为 s, 证明证明),(, ),(yxQyxPsMyQxPL dd证证: LyQxPddsQPLdcoscos

25、设设sM sQPLdcoscos 在在 L 上连续上连续, cos,cos, , tQPAstALd sALdcos 习题习题 1(1, 3), 2, 4, 5 在一元函数积分学中在一元函数积分学中, 牛顿牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式： baaFbFdxxf)()()(表示表示：f (x) 在区间在区间a, b上的积分可以用它的原函数上的积分可以用它的原函数 F(x) 在这个区间端点上的函数值来表达在这个区间端点上的函数值来表达。设设D为平面区域为平面区域, , 如果如果D内任一闭曲线所围成内任一闭曲线所围成的部分都属于的部分都属于D, , 则称则称D为平面为平面单连通区域单连通区域, ,

26、否则称为否则称为复连通区域复连通区域. .复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD边界曲线边界曲线L的正向的正向: : 当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区域区域D内在他附近的那一部分总在他的左边内在他附近的那一部分总在他的左边,则他则他行走的方向就是行走的方向就是边界曲线边界曲线L的正向。的正向。LL1L2设设闭闭区区域域D由由分分段段光光滑滑的的曲曲线线 L围围成成, ,函函数数),(yxP),(yxQ及及在在D上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数, , 则则有有 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 其其中中L是是D的的取取正正向向的的边边界界曲曲线线, , 格林公式格林

27、公式证明证明 (1) (1) 先证明先证明D是单连通区域的是单连通区域的情形。情形。若区域若区域 D 既是既是 X型又是型又是Y 型型. .),()( :21dycyxyD DdxdyxQdydxxQdcyy )()(21 dyyyQyyQdc ),(),( 12 L3L4CE)(1yx oxyDcd)(2yx LQdy 43LLQdyQdy),( :13yxL . :cdy cdLdyyyQQdy),(13 dcdyyyQ),(1 ),( :24yxL . :dcy LQdy 43LLQdyQdy),( :13yxL . :cdy cdLdyyyQQdy),(13 dcdyyyQ),(1 d

28、cLdyyyQQdy),(24 LQdy 43LLQdyQdy dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 . DdxdyxQL3L4CE)(1yx oxyDcd)(2yx LQdy 43LLQdyQdy dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 . DdxdyxQ类似，把类似，把 D 看成看成 X 型，有型，有 LPdx. DdxdyyP两式相加得两式相加得.)( LDQdyPdxdxdyyPxQ若区域若区域D由按段光滑的闭由按段光滑的闭曲线围成曲线围成. .如图如图, , L1L2L3LD1D2D3D将将D分成三个既是分成三个既是 X型又是型又是 Y型的区域型的区域1D, ,2D,

29、,3D. . 321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQ 321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ 321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx LQdyPdx2LFE (2)(2)此时此时D可看作由分段光滑的曲线可看作由分段光滑的曲线 DdxdyyPxQ)( BABGHBABAEFA)(QdyPdx LQdyPdx 12)(LLQdyPdx)(2, 1来说为正方向来说为正方向对对 DLL1LAB若区域若区域 D 是一个复连通区域是一个复连通区域(如图如图)，则添加辅助线则添加辅助线 AB， BABGHBABAEFA GH围成的单连通区域，围成的

30、单连通区域， 则由则由(1)知，知，例例1.dyxxdxyyxL)3()2(32 求求。为为边边的的三三角角形形边边界界正正向向以以xyxyxL2, 1: D,22yyxP ,33xxQ , 22 xPy, 12 xQx由格林公式：由格林公式：)2()1(22 xxPQyx1 DdxdyI ydxd110 xx2.2110 xdxxy0 Lyydyyxexydxyye)2()221:22（求求例例至点至点逆时针方向逆时针方向沿圆周沿圆周，由点由点yyxAL2)20(:22 的一段弧。的一段弧。，)11( BxyABD， CABCCB )1 , 1(呢？呢？若顺时针至若顺时针至 B yP,2 y

31、ey xQ,yey .2 yxPQ CABCL Ddxdy2;2 CACBL()2 Ddxdy, BC? CA Lyydyyxexydxyye)2()2212（xyABDC CABCL Ddxdy2;2 BC,? CA:BC, 1 y. 01: x BC 01)221(dxe;25 e:CA, 0 x. 21: y CA 21)2(dyy;3 原式原式 CABCL BC CA.212 e D例例3. 质点质点M 沿着以沿着以AB为直径的半圆为直径的半圆, 从从 A(1,2) 运动到运动到 Ddxdy2点点B(3,4),到原点的距离到原点的距离,解解:故所求功为故所求功为dxxx 31)1(22

32、 锐角锐角,其方向垂直于其方向垂直于OM, 且与且与y 轴正向夹角为轴正向夹角为)1(13242 xyAB的的方方程程F求变力求变力 F 对质点对质点M 所作的功所作的功. ( 90考研考研 ) , ,xyF F 的大小等于点的大小等于点 M 在此过程中受力在此过程中受力 F 作用作用,sdFW AB),(yxMBAyxo 由图知由图知 xdyydx AB BA AB )(xdyydx AB,yPxQ 令令)1(,0 yxPQxQP，若令若令)1(, 0 yxPQQyP，若令若令)2( yxPQ的的面面积积：则则 D例例4：利用曲线积分利用曲线积分，求下列曲线所围的图形的求下列曲线所围的图形的

33、星形线星形线)20(sin,cos33 ttaytax面积面积 A = Lydxxdy21 2042242)sincossin(cos23dttttta 20222sin83tdta283a 面积面积：定理定理2.2. 设函数设函数 P(x, y), Q(x, y) 在在G 内内(1),LG的的闭闭曲曲线线内内任任一一光光滑滑或或分分段段光光滑滑对对，的光滑曲线的光滑曲线到到内从点内从点对对LBAG(2)的值与路径无关的值与路径无关，只与起点只与起点 A 与终点与终点 B 有关有关。(3),(yxuGdyQdxP内是某一函数内是某一函数在在微分式微分式 ,的全微分的全微分.dyQdxPdu 即

34、即(4)内恒成立。内恒成立。在在G.0 LdyQdxP有：有： LdyQPdx具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数, 则下列则下列:设设G内闭曲线内闭曲线 L由由围成，围成，与与)()(21 BALABLABL1L2G, 0 LQdyPdx 1LQdyPdx 21LLQdyPdxQdyPdx, 02 LQdyPdx.2 LQdyPdx)(BA)(BA 即曲线积分与路径无关即曲线积分与路径无关，只与只与 A, B 点有关点有关。,21LLL 积分与路径无关积分与路径无关，仅与起点仅与起点,),(),(000有关有关终点终点yxMyxM),(000yxM固定固定dyyxQdxyxPyxyx),()

35、,(),(),(00 ),(yxu:0MEM取折线取折线xy .),(000yxM.),(yxM),(0yxE xxdxyxP0),(0 ),(yxu yydyyxQ0),( yu:0MFM取折线取折线 ),(yxu xxdxyxP0),( yydyyxQ0),(0).,(yxPxu ),(0yxF; ),(yxQ),(yxPxu ),(yxQyu dyyudxxudu ,),(),(dyyxQdxyxP 的全微分。的全微分。是某一函数是某一函数即即),(yxuQdyPdx ,),(),(dyyxQdxyxPdu ,yuQxuP 其中其中,2yxuyP 且且,2xyuxQ P, Q 有一阶连续

36、偏导数有一阶连续偏导数，.xQyP ,xQyP 对对 G 内任一条内任一条闭闭曲线曲线 L，其所围区域其所围区域,GD 由格林公式由格林公式：dxdyyPxQQdyPdxDL)( .0 (1)常用常用 (4)来判定来判定 (1)、(2)、(3) 的成立的成立。(2)则则若若,xQyP .),(cyxuQdyPdx 的一切原函数为的一切原函数为且且xy .),(000yxM.),(yxM),(0yxE),(0yxF(3) 四个等价命题只适用于四个等价命题只适用于，不适用于多连通域。不适用于多连通域。例：例：,2222dyyxxdxyxyIL 取逆时针方向。取逆时针方向。1:22 yxL)20(

37、,sin,cos ttytxL：设设 2022)cos(sindtttI. 02 在闭区域在闭区域 D 上上，,)(22222xQyxxyyP 为为因为因为10:22 yxD, ?0 I 20tdxoyD。在此在此 D 上四个命题不再等价上四个命题不再等价.例例1：证明：证明： Lxoydydxyx平面内平面内在在)(与路径无关与路径无关，并求并求 )1 , 1()1, 1().)(dydxyx, yxP )(yxQ 1 yP,xQ 积分与路径无关积分与路径无关。xy.(1, -1).(1, 1)1 xL：取路径取路径11: y 11)(1(dyyI 10. 22yd例例2： Ldyyxxyd

38、xxyxyI)3sin21()cos2(2223计算计算的一段弧。的一段弧。到到上由点上由点)1,2()0 , 0(2:2 yxL xy)1,2( yPxQ 积分与路径无关。积分与路径无关。)0,2( 200 dxI.42 )1 , 0( 1022)4321(dyyy 10dyI 20)cos2( dxxxxyxycos262 例例3：dyyxedxeyy)2( 证明证明是某个函数的全微分是某个函数的全微分，并求出它的一切原函数。并求出它的一切原函数。,2,yxeQePyy yyeP xQ 得证。得证。即即,)2(dyyxedxeduyy ),()2(),(yxyydyyxedxeyxu xx

39、de00yyyxex02)( xyxexy 2,2yxey .2Cyxey 所求一切原函数为所求一切原函数为)0 , 0(xy),(yx yyydyex0)2(例例4： iCyxdyyxdxyx22)()(计算计算其中其中：(1) C1不包围也不通过原点的任意不包围也不通过原点的任意无重点闭曲线。无重点闭曲线。(2) C2以原点为中心的正向单位圆以原点为中心的正向单位圆。(3) C3包围原点的任意无重点正向闭曲线包围原点的任意无重点正向闭曲线。,22yxyxP ,)(22yxyxQ 除原点外除原点外，22222)(2yxyxyxPy .xQ (1) C1 不包围也不通过原点的任意无重点闭曲线不

40、包围也不通过原点的任意无重点闭曲线 即所围闭区域即所围闭区域 D1为为单连通域单连通域，,xyQP 在在 D1 上上, 都有都有 10C(2) C2 以原点为中心的正向单位圆以原点为中心的正向单位圆xyD1D21C1C2在在(0,0)点点P, Q 无一阶连续偏导数无一阶连续偏导数，.2120 dt 222)()(Cyxdyyxdxyx由定义求：由定义求： tytxsincos 20:txyD3C2C3(3) C3 包围原点的任意无重点正向闭曲线包围原点的任意无重点正向闭曲线。 D3 中含有中含有 P, Q 的不连续点的不连续点(原点原点)为排除原点为排除原点，233CCC 3C 则在以则在以为

41、边界曲线的为边界曲线的平面区域平面区域3D 上上, 恒有恒有,xyQP 3C 230CC 32CC.2 C2 为圆周为圆周(取如图方向取如图方向)。加辅助线加辅助线 C2，习题习题12 3(A)3(2), 4(1, 2), 5(2), 6(2)1(2, 3), 3, 5习题习题12 3(B) 。 设有一张曲面设有一张曲面, 其边界曲线是分段光其边界曲线是分段光滑的闭曲线滑的闭曲线, 且曲面光滑且曲面光滑, 面密度面密度 (x, y, z)在在上连续上连续，求曲面求曲面的质量的质量。xyz0iS (1) 任分任分为为 n 块小曲面块小曲面), 2 , 1(niSi (2) 任取一点任取一点,),

42、(iiiiS 则小曲面的质量：则小曲面的质量：,),(iiiiiSM ),(iii (3) ,),(11iiiiniiniSMM .),(lim10iiiiniSM (4),maxiiS . 上有界，上有界，在光滑曲面在光滑曲面设设 ),(zyxf(1)(2)(3)(4), 2 , 1(niSni 个小块曲面个小块曲面为为任分任分;),(,),(iiiiiiiiSfS 作作任任取取 ;),(1iiiiniSf 和和作作存在，存在，iiiiniSf ),(lim10 ,maxiS 则称此极限值为则称此极限值为f (x, y, z)在曲面在曲面上上。若若记作记作 积分曲面积分曲面dS 曲面面积元素

43、曲面面积元素可见可见，曲面形构件的质量曲面形构件的质量： dSzyxM),( 面密度面密度),(zyx 又称为又称为，时，时，当当1),( zyx dSS曲面的面积曲面的面积(1) f (x, y, z) 虽为三元函数虽为三元函数，但点但点(x, y, z)被被限制在曲面限制在曲面上上, 变量变量 ，而依赖于曲面而依赖于曲面的方程的方程。(2)(3) 若若 f (x, y, z) 在光滑曲面在光滑曲面 上连续上连续，则则上述曲面积分存在。上述曲面积分存在。(4) 其性质与第一类曲线积分相仿。其性质与第一类曲线积分相仿。特别特别，时，时，如如分块光滑分块光滑当当)(21 若若是是, 则记作则记作

44、.21dSfdSfdSf 设曲面设曲面 ：(1)(2)(3);xyDxoy平面上的投影区域为平面上的投影区域为在在 z = z(x, y) 在在Dxy 上具有连续偏导数上具有连续偏导数；f (x, y, z) 在光滑曲面在光滑曲面上连续上连续；上，上，在在xyD.122dxdyzzdSyx 同理同理：D2az 0 xya例例1：)3 , 2 , 1(3 idSzi 计算计算222221:)1(yxzyxaz 在在内部的部分内部的部分。把把1 投影到投影到 xoy 平面平面，2221:yxaz .2:222ayxD dxdyyxaa)(222 .835a 13Sdzrdrdaa 2020 )(2

45、2ra 222yxadxdyaSd 1 DD2az 0 xya222222:)2(yxazyxz 在在 内部的部分内部的部分。222:yxz .2:222ayxD Sd.105a )3 , 2 , 1(3 idSzi计算计算2 把把2 投影到投影到 xoy 平面平面， 23Sdz2322)( yxdxdy2 rdrda 20202 3rdxdy2DD2az 0 xya222223:)3(yxzyxaz 与与 所围区所围区,213 dSzdSz 2133583a 510a .40195a )3 , 2 , 1(3 idSzi 计算计算 33Sdz3 域的边界曲面域的边界曲面。3 2 1 , dS

46、yx计算计算面。面。所围区域的整个边界曲所围区域的整个边界曲与与10, 0, 0: zyxzyx例例2.111zxy, 0:1 x, 0:2 y, 0:3 z, 1:4 zyx dSxy 1 xydS 2 xydS 3 xydS 4 xydS4 dyydxxx 10103.243 yzDdydz0 xzDdxdz0 xyDdxdyxydxdyxyxyD 3 1xydS= 0 2xydS= 0 3xydSdyydxxx 1010.241 4xydS dSxy0 + 0 + 241243.2431 3 2 1 111zxy4 例例3：dSzyx)(222 求求);0(:222hzRyx zxy把把

47、 投影到投影到yoz面上面上，则则22:yRx ,0: RyRhzDzyR? dSdydzyRR22 222Ryx hzyDdSzyx)(222 求求,:22yRx ,0: RyRhzDyzdydzyRRdS22 dSzyx)(222 )(22zR dydzyRR22 zyDdyyRR22 dzzR)(22 2 0hR R. )31(232hhRR dSzyx)(222)( 前前dSzyx)(222)( 后后2设设为有界光滑曲面为有界光滑曲面，),(zyx 为面密度为面密度，(1)(2)(3). dSS.),( dSzyxM ,1_dSxMx ,1_dSyMy ,1_dSzMz 曲面曲面的的曲面曲面的的曲面曲面的的(4) ,)(22dSzyIx ,)(22dSzxIy ,)(22dSyxIz .)(2220dSzyxI 曲面曲面的的习题习题12 4(A)2(2), 31(1, 3, 5)习题习题12 4(B)