2021年山东省枣庄市数学中考试题含解析

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1、试卷主标题姓名：_ 班级：_考号：_一、选择题（共12题）1、 的倒数是（ ） A 5 B C D 2、 将一把直尺和一块含 30 和 60 角的三角板 ABC 按如图所示的位置放置，如果 CDE=40 ，那么 BAF 的大小为（） A 10 B 15 C 20 D 25 3、 将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为轴对称图形的是（ ） A B C D 4、 如图，数轴上有三个点 A 、 B 、 C ，若点 A 、 B 表示的数互为相反数，则图中点 C 对应的数是（） A 2 B 0 C 1 D 4 5、 计算正确的是（ ） A B C D 6、 为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织

2、了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了 10 名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表： 一分钟跳绳个数（个） 141 144 145 146 学生人数（名） 5 2 1 2 则关于这组数据的结论正确的是（ ） A 平均数是 144 B 众数是 141 C 中位数是 144.5 D 方差是 5.4 7、 小明有一个呈等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图的九个空格，下面有四种积木的搭配，其中不能放入的有（ ） A 搭配 B 搭配 C 搭配 D 搭配 8、 如图，四边形 是菱形，对角线 ， 相交于点 ， ， ，点 是 上一动点，点 是 的中点，则 的最小值为（ ） A B C 3 D 9

3、、 如图，三角形纸片 ABC ， AB=AC ， BAC=90 ，点 E 为 AB 中点，沿过点 E 的直线折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕现交于点 F ，已知 EF= ，则 BC 的长是（） A B 3 C 3 D 3 10、 在平面直角坐标系 中，直线 垂直于 轴于点 （点 在原点的右侧），并分别与直线 和双曲线 相交于点 ， ，且 ，则 的面积为（ ） A 或 B 或 C D 11、 如图，正方形 ABCD 的边长为 2 ， O 为对角线的交点，点 E 、 F 分别为 BC 、 AD 的中点以 C 为圆心， 2 为半径作圆弧 ，再分别以 E 、 F 为圆心， 1 为半径作圆弧 、 ，

4、则图中阴影部分的面积为（） A 1 B 2 C 3 D 4 12、 二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为 ，且经过点 下列说法： ； ； ； 若 ， 是抛物线上的两点，则 ； （其中 ）正确的结论有（ ） A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 二、解答题（共7题）1、 先化简，再求值： ，其中 2、 “ 大千故里，文化内江 ” ，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品王老师从全校 20 个班中随机抽取了 4 个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图 （ 1 ）王老师采取的调查方式是 （填 “ 普查 ” 或 “ 抽样调查 ” ），王老师所调查的 4 个

5、班共征集到作品 件，并补全条形统计图； （ 2 ）在扇形统计图中，表示 班的扇形周心角的度数为 ； （ 3 ）如果全校参展作品中有 4 件获得一等奖，其中有 1 名作者是男生， 3 名作者是女生现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率（要求用树状图或列表法写出分析过程） 3、 年 月 日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运较火箭在海南文昌首飞成功运载火箭从地面 处发射、当火箭到达点 时，地面 处的雷达站测得 米，仰角为 3 秒后，火箭直线上升到达点 处，此时地面 处的雷达站测得 处的仰角为 已知 两处相距 米，求火箭从 到 处的平均速度（结果精

6、确到 米，参考数据： ） 4、 小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数 的图象与性质进行探究 因为 ，即 ，所以可以对比函数 来探究 列表：（ 1 ）下表列出 与 的几组对应值，请写出 ， 的值： ， ； 1 2 3 4 1 2 4 2 3 0 描点：在平面直角坐标系中，以自变量 的取值为横坐标，以 相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示： （ 2 ）请把 轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来： （ 3 ）观察图象并分析表格，回答下列问题： 当 时， 随 的增大而 ；（填 “ 增大 ” 或 “ 减小 ” ） 函数 的图象是由 的图象向 平移 个单位而得到

7、函数图象关于点 中心对称（填点的坐标） 5、 如图， 是 的外接圆，点 在 边上， 的平分线交 于点 ，连接 ， ，过点 作 的切线与 的延长线交于点 （ 1 ）求证： ； （ 2 ）求证： ； （ 3 ）当 ， 时，求线段 的长 6、 如图 1 ，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形 （ 1 ）概念理解：如图 2 ，在四边形 中， ， ，问四边形 是垂美四边形吗？请说明理由； （ 2 ）性质探究：如图 1 ，垂美四边形 的对角线 ， 交于点 猜想： 与 有什么关系？并证明你的猜想 （ 3 ）解决问题：如图 3 ，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作正方形 和正方形 ，连结 ， ， 已知 ，

8、，求 的长 7、 如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过坐标原点和点 ，顶点为点 （ 1 ）求抛物线的关系式及点 的坐标； （ 2 ）点 是直线 下方的抛物线上一动点，连接 ， ，当 的面积等于 时，求 点的坐标； （ 3 ）将直线 向下平移，得到过点 的直线 ，且与 轴负半轴交于点 ，取点 ，连接 ，求证： 三、填空题（共6题）1、 已知 ， 满足方程组 ，则 的值为 _ 2、 幻方是古老的数学问题，我国古代的洛书中记载了最早的幻方 九宫图将数字 19 分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是 15 ，则 的值为

9、_ 3、 如图，正比例函数 与反比例函数 的图象相交于 ， 两点，其中点 的横坐标为 1 当 时， 的取值范围是 _ 4、 如图，在平面直角坐标系 xOy 中， ABC 由 ABC 绕点 P 旋转得到，则点 P 的坐标为 _ 5、 若等腰三角形的一边长是 4 ，另两边的长是关于 的方程 的两个根，则 的值为 _ 6、 如图， ， ，点 在 上，四边形 是矩形，连接 ， 交于点 ，连接 交 于点 下列 4 个判断： ； ； ； 若点 是线段 的中点，则 为等腰直角三角形，其中，判断正确的是 _ （填序号） =参考答案=一、选择题1、 C 【分析】 根据倒数的定义，即可求出 -5 的倒数 【详解】

10、 解： ， -5 的倒数是 ， 故选： C 【点睛】 本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键 2、 A 【分析】 先根据 CDE=40 ，得出 CED=50 ，再根据 DEAF ，即可得到 CAF=50 ，最后根据 BAC=60 ，即可得出 BAF 的大小 【详解】 由图可得 ,CDE=40 ,C=90 ， CED=50 ， 又 DEAF ， CAF=50 ， BAC=60 ， BAF=6050=10 ， 故选 A. 【点睛】 本题考查了平行线的性质，熟练掌握这一点是解题的关键 . 3、 D 【分析】 根据轴对称图形的定义逐项判断即可得 【详解】 A 、不是轴对称图形，此项不符题意；

11、B 、不是轴对称图形，此项不符题意； C 、不是轴对称图形，此项不符题意； D 、是轴对称图形，此项符合题意； 故选： D 【点睛】 本题考查了轴对称图形，熟记定义是解题关键 4、 C 【详解】 【分析】首先确定原点位置，进而可得 C 点对应的数 【详解】 点 A 、 B 表示的数互为相反数， AB=6 原点在线段 AB 的中点处，点 B 对应的数为 3 ，点 A 对应的数为 -3 ， 又 BC=2 ，点 C 在点 B 的左边， 点 C 对应的数是 1 ， 故选 C 【点睛】本题主要考查了数轴，关键是正确确定原点位置 5、 C 【分析】 对每个选项进行计算判断即可 【详解】 解： A. 和 不

12、是同类项，不能合并，选项错误； B. ，选项错误； C. ，选项正确； D. ，选项错误 故选： C 【点睛】 本题考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键 6、 B 【分析】 根据平均数，众数，中位数，方差的性质分别计算出结果，然后判判断即可 【详解】 解：根据题目给出的数据，可得： 平均数为： ，故 A 选项错误； 众数是： 141 ，故 B 选项正确； 中位数是： ，故 C 选项错误； 方差是： ，故 D 选项错误； 故选： B 【点睛】 本题考查的是平均数，众数，中位数，方差的性质和计算，熟悉相关性质是解题的关键 7、 D 【分析】

13、将每个搭配的两组积木进行组合，检验是否可得出图中剩下的九个空格的形状，由此即可得出答案 【详解】 解：搭配 、 、 两组积木组合在一起，均可组合成图中剩下的九个空格的形状，只有搭配 不能， 故选： D 【点睛】 本题考查了图形的剪拼，解题关键是培养学生的空间想象能力以及组合意识 8、 A 【分析】 连接 ，先根据两点之间线段最短可得当点 共线时， 取得最小值 ，再根据菱形的性质、勾股定理可得 ，然后根据等边三角形的判定与性质求出 的长即可得 【详解】 解：如图，连接 ， 由两点之间线段最短得：当点 共线时， 取最小值，最小值为 ， 四边形 是菱形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， 点 是

14、的中点， ， ， 即 的最小值为 ， 故选： A 【点睛】 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键 9、 B 【分析】 折叠的性质主要有： 1. 重叠部分全等； 2. 折痕是对称轴 , 对称点的连线被对称轴垂直平分 . 由折叠的性质可知 , 所以可求出 AFB=90 ，再直角三角形的性质可知 , 所以 , 的长可求，再利用勾股定理即可求出 BC 的长 【详解】 解： AB AC ， , 故选 B. 【点睛】 本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出 AFB=90 是解题的关键 10、 B 【分析】 设点 的坐标为 ，从

15、而可得 ， ，再根据 可得一个关于 的方程，解方程求出 的值，从而可得 的长，然后利用三角形的面积公式即可得 【详解】 解：设点 的坐标为 ，则 ， ， ， ， 解得 或 ， 经检验， 或 均为所列方程的根， （ 1 ）当 时， ， 则 的面积为 ； （ 2 ）当 时， ， 则 的面积为 ； 综上， 的面积为 或 ， 故选： B 【点睛】 本题考查了反比例函数与正比例函数的综合、解一元二次方程，正确求出点 的坐标是解题关键 11、 B 【分析】 根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以 2 为半径的四分之一个圆（扇形）的面积减去以 1 为半径的半圆（扇形）的面积再减去 2 个以边长为 1 的正方

16、形的面积减去以 1 半径的四分之一个圆（扇形）的面积，本题得以解决 【详解】 解：由题意可得， 阴影部分的面积是： 2 2 2 （ 11 1 2 ） 2 ， 故选： B 【点睛】 本题主要考查运用正方形的性质，圆的面积公式（或扇形的面积公式），正方形的面积公式计算不规则几何图形的面积，解题的关键是理解题意，观察图形，合理分割，转化为规则图形的面积和差进行计算 12、 B 【分析】 先根据抛物线开口向下、与 轴的交点位于 轴正半轴 ，再根据对称轴可得 ，由此可判断结论 ；将点 代入二次函数的解析式可判断结论 ；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论 ；利用二次函数的性质可求出其最大值，

17、由此即可得判断结论 【详解】 解： 抛物线的开口向下，与 轴的交点位于 轴正半轴， ， 抛物线的对称轴为 ， ， ，则结论 正确； 将点 代入二次函数的解析式得： ，则结论 错误； 将 代入得： ，则结论 正确； 抛物线的对称轴为 ， 和 时的函数值相等，即都为 ， 又 当 时， 随 的增大而减小，且 ， ，则结论 错误； 由函数图象可知，当 时， 取得最大值，最大值为 ， ， ， 即 ，结论 正确； 综上，正确的结论有 ，共 3 个， 故选： B 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键 二、解答题1、 ， 【分析】 先将括号里面的通分后，将除法转换成

18、乘法，约分化简然后代 x 的值，进行二次根式化简 【详解】 解：原式 = 当 时，原式 = 考点： 1. 分式的化简求值； 2 二次根式化简 . 2、 （ 1 ）抽样调查； 6 ；条形统计图见解析；（ 2 ） 150 ；（ 3 ）恰好抽中一男一女的概率为 【分析】 （ 1 ）根据只抽取了 4 个班可知是抽样调查，根据 A 在扇形图中的角度求出所占的份数，再根据 A 的人数是 4 ，列式进行计算即可求出作品的件数，然后减去 A 、 C 、 D 的件数即为 B 的件数 , 即可补全统计图 （ 2 ）利用 C 得数量除以总数再乘以 360 度，计算即可得解； （ 3 ）画出树状图或列出图表，再根据概

19、率公式列式进行计算即可得解 【详解】 （ 1 ）王老师采取的调查方式是抽样调查， ， 所以王老师所调查的 4 个班共征集到作品 24 件， 班的作品数为 （件）， 条形统计图为： （ 2 ）在扇形统计图中，表示 班的扇形周心角 ； 故答案为抽样调查； 6 ； 150 ； （ 3 ）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中恰好抽中一男一女的结果数为 6 ， 所以恰好抽中一男一女的概率 【点睛】 此题考查扇形统计图，列表法与树状图法，条形统计图，解题关键在于看懂图中数据 3、 火箭从 A 到 B 处的平均速度为 335 米 / 秒 【分析】 设火箭从 A 到 B 处的平均速度为 x 米 /

20、 秒，根据题意可得 AB=3x ，在 RtADO 中， ADO=30 ， AD=4000 ，可得 AO=2000 ， DO=2000 ，在 RtBOC 中， BCO=45 ，可得 BO=OC ，即可得 2000+3x=2000 -460 ，进而解得 x 的值 【详解】 解：设火箭从 A 到 B 处的平均速度为 x 米 / 秒，根据题意可知： AB=3x ， 在 RtADO 中， ADO=30 ， AD=4000 ， AO=2000 ， DO=2000 ， CD=460 ， OC=OD-CD=2000 -460 ， 在 RtBOC 中， BCO=45 ， BO=OC ， OB=OA+AB=200

21、0+3x ， 2000+3x=2000 -460 ， 解得 x335 （米 / 秒） 答：火箭从 A 到 B 处的平均速度为 335 米 / 秒 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用 - 仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义 4、 （ 1 ） 5 ， ；（ 2 ）见解析；（ 3 ） 增大； 上， 1 ； 【分析】 （ 1 ）将 和 分别代入函数 中，即可求出 的值； （ 2 ）把 轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来即可； （ 3 ） 根据函数的增减性即可得； 根据函数 即可得； 函数 的图象关于原点 中心对称，再根据平移的性质即可得 【详解】 解：（ 1 ）对于函数

22、 ， 当 时， ，即 ， 当 时， ，即 ， 故答案为： 5 ， ； （ 2 ）把 轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来如下： （ 3 ） 当 时， 随 的增大而增大， 故答案为：增大； 因为函数 ， 所以函数 的图象是由 的图象向上平移 1 个单位而得到， 故答案为：上， 1 ； 因为函数 的图象关于原点 中心对称， 所以函数 的图象关于点 中心对称， 故答案为： 【点睛】 本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键 5、 （ 1 ）证明见解析；（ 2 ）证明见解析；（ 3 ） 【分析】 （ 1 ）连接 ，先根据圆周角定理、角平分线的定义 ，再根

23、据圆的切线的性质可得 ，然后根据平行线的判定即可得证； （ 2 ）先根据圆周角定理、平行线的性质可得 ，再根据圆内接四边形的性质可得 ，然后根据相似三角形的判定即可得证； （ 3 ）先利用勾股定理可得 ，再利用圆周角定理可得 ，从而可得 ，然后根据（ 2 ）中，相似三角形的性质即可得 【详解】 证明：（ 1 ）如图，连接 ， 是 的直径， ， 平分 ， ， 由圆周角定理得： ， ， 是 的切线， ， ； （ 2 ）由圆周角定理得： ， ， ， ， 由圆内接四边形的性质得： ， ， ， 在 和 中， ， ； （ 3 ） ， ， ， 在 中， ， 由圆周角定理得： ， ， ， 又 ， ，即 ， 解

24、得 ， 答：线段 的长为 【点睛】 本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题关键 6、 （ 1 ）四边形 是垂美四边形，理由见解析；（ 2 ） ，证明见解析；（ 3 ） 【分析】 （ 1 ）连接 ，先根据线段垂直平分线的判定定理可证直线 是线段 的垂直平分线，再根据垂美四边形的定义即可得证； （ 2 ）先根据垂美四边形的定义可得 ，再利用勾股定理解答即可； （ 3 ）设 分别交 于点 ，交 于点 ，连接 ，先证明 ，得到 ，再根据角的和差可证 ，即 ，从而可得四边形 是垂美四边形，然后结合（ 2

25、）的结论、利用勾股定理进行计算即可得 【详解】 证明：（ 1 ）四边形 是垂美四边形，理由如下： 如图，连接 ， ， 点 在线段 的垂直平分线上， ， 点 在线段 的垂直平分线上， 直线 是线段 的垂直平分线，即 ， 四边形 是垂美四边形； （ 2 ）猜想 ，证明如下： 四边形 是垂美四边形， ， ， 由勾股定理得： ， ， ； （ 3 ）如图，设 分别交 于点 ，交 于点 ，连接 ， 四边形 和四边形 都是正方形， ， ，即 ， 在 和 中， ， ， ， 又 ， ， ， ，即 ， 四边形 是垂美四边形， 由（ 2 ）得： ， 是 的斜边，且 ， ， ， ， 在 中， ， 在 中， ， ， 解

26、得 或 （不符题意，舍去）， 故 的长为 【点睛】 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定、勾股定理等知识点，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题关键 7、 （ 1 ） ， ；（ 2 ） 或 ；（ 3 ）证明见解析 【分析】 （ 1 ）先根据直线 求出点 的坐标，再将点 和原点坐标代入抛物线的解析式即可得； （ 2 ）如图（见解析），先求出直线 与抛物线的另一个交点 的坐标为 ，再设点 的坐标为 ，从而可得点 的坐标为 ，然后分 和 两种情况，分别利用三角形的面积公式可得一个关于 的一元二次方程，解方程即可得； （ 3 ）如图（见解析），先根据一次

27、函数图象的平移规律求出直线 的解析式为 ，再利用待定系数法求出直线 的解析式，从而可得点 的坐标，然后利用两点之间的距离公式可得 的长，根据等腰直角三角形的判定与性质可得 ，最后根据三角形的外角性质即可得证 【详解】 解：（ 1 ）对于函数 ， 当 时， ，解得 ，即 ， 当 时， ，即 ， 将点 和原点 代入 得： ， 解得 ， 则抛物线的关系式为 ， 将 化成顶点式为 ， 则顶点 的坐标为 ； （ 2 ）设直线 与抛物线的另一个交点为点 ， 联立 ，解得 或 ， 则 ， 过点 作 轴的平行线，交直线 于点 ， 设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ， ， 由题意，分以下两种情况： 如图，当 时

28、， 则 ， ， 因此有 ， 解得 或 ，均符合题设， 当 时， ，即 ， 当 时， ，即 ； 如图，当 时， 则 ， ， 因此有 ， 解得 或 ，均不符题设，舍去， 综上，点 的坐标为 或 ； （ 3 ）由题意得： ， 将点 代入 得： ，解得 ， 则直线 的解析式为 ， 如图，过点 作 于点 ， 可设直线 的解析式为 ， 将点 代入得： ，解得 ， 则直线 的解析式为 ， 联立 ， 解得 ，即 ， ， ， ， ， 又 ， 是等腰直角三角形， ， 由三角形的外角性质得： ， 【点睛】 本题考查了二次函数与一次函数的综合、一次函数图象的平移、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（ 2

29、），正确分两种情况讨论是解题关键 三、填空题1、 【分析】 将方程组中的两个方程相减即可得 【详解】 解： ， 由 得： ， 则 ， 故答案为： 【点睛】 本题考查了解二元一次方程，熟练掌握方程组的解法是解题关键 2、 1 【分析】 如图（见解析），先根据 “ 每一横行、两条斜对角线上的数字之和都是 15” 求出图中 和 表示的数，再根据 “ 每一竖行上的数字之和都是 15” 建立方程，解方程即可得 【详解】 解：如图，由题意，图中 表示的数是 ， 图中 表示的数是 ， 则 ， 解得 ， 故答案为： 1 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用，正确求出图中 和 所表示的数是解题关键 3、 或

30、【分析】 先根据正比例函数和反比例函数的性质求出点 的横坐标，再利用函数图象法即可得 【详解】 解：由正比例函数和反比例函数的对称性得：点 的横坐标为 ， 不等式 表示的是正比例函数 的图象位于反比例函数 的图象的下方， 则 的取值范围是 或 ， 故答案为： 或 【点睛】 本题考查了正比例函数与反比例函数的综合，熟练掌握函数图象法是解题关键 4、 P （ 1 ， -1 ） 【详解】 试题分析：连接 AA 、 CC ，作线段 AA 的垂直平分线 MN ，作线段 CC 的垂直平分线 EF ， 直线 MN 和直线 EF 的交点为 P ，点 P 就是旋转中心 直线 MN 为： x=1 ，设直线 CC

31、为 y=kx+b ， 由题意： ， ， 直线 CC 为 y= x+ ， 直线 EFCC ，经过 CC 中点（ ， ）， 直线 EF 为 y= 3x+2 ， 由 得 ， P （ 1 ， 1 ） 考点：坐标与图形变化 - 旋转 5、 8 或 9 【分析】 分 4 为等腰三角形的腰长和 4 为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得 【详解】 解：由题意，分以下两种情况： （ 1 ）当 4 为等腰三角形的腰长时，则 4 是关于 的方程 的一个根， 因此有 ， 解得 ， 则方程为 ，解得另一个根为 ， 此时等腰三角形的三边长分别为 ，满足三角形的三边关系定理； （

32、2 ）当 4 为等腰三角形的底边长时，则关于 的方程 有两个相等的实数根， 因此，根的判别式 ， 解得 ， 则方程为 ，解得方程的根为 ， 此时等腰三角形的三边长分别为 ，满足三角形的三边关系定理； 综上， 的值为 8 或 9 ， 故答案为： 8 或 9 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理 6、 【分析】 先根据矩形的性质可得 ，再根据等腰三角形的三线合一可判断 ；先根据等腰三角形的性质可得 ，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得 ，然后根据角的和差即可判断 ；先证出

33、，从而可得 ，再设 ，从而可得 ，由此即可判断 ；先证出 ，从而可得 ，再根据等腰三角形的定义可得 为等腰三角形，然后根据角的和差可得 ，由此即可得判断 【详解】 解： 四边形 是矩形， ， ， （等腰三角形的三线合一），则 正确； ， ， 又 ， 是等腰直角三角形， ， ，则 错误； ， （等腰三角形的三线合一）， 在 和 中， ， ， ， 设 ， ， ， ， ， ，则 正确； ， ， 点 是线段 的中点， ， 在 和 中， ， ， ， 为等腰三角形， ， ，即 ， 为等腰直角三角形，则 正确； 综上，判断正确的是 ， 故答案为： 【点睛】 本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是 ，正确找出两个全等三角形是解题关键