高一数学复习要点必修5

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1、高一数学复习要点（必修5）第一章解三角形1、正弦定理：在AABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，R为AABC的外接圆的半径，则有=2R .sin-： sinB sinC2、正弦定理的变形公式： a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC；a . b - c sinA=,sinB =,sinC=； a: b :c = sin A :sin B :sin C ； 2R2R2R a +b +cabcsin . .，sin V - sin C sin A sin B sin C（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一

2、边，求其余的量。）（一解、两解、无解三中情况）对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。如：在三角形 ABC中，已知a、b、A （A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把 a扰着C点旋转，看所得轨迹以 AD有无交点:当无交点则B无解、当有一个交点则B有一解、当有两个交点则法二：是算出 CD=bsinA,看a的情况：当absinA ,则B无解当bsinAb时，B有一解注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。八 1 .1 , 13、三角形面积公式：S出用= bcsinA= - absinC = -acsinB .222222a b - c2ab4、余弦定理：在 AABC

3、中，有 a2 =b2+c2-2bcco式，b2 =a2+C2 -2accosB, C2 =a2+b22abcosC .5、余弦定理的推论：cos A-b2 +c2 -a2，cos B -a2 +c2 -b2，cos C COsCOsCOs2 bc2 ac（余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角）6、如何判断三角形的形状：设a、b、c是AABC的角A、B、C的对边，则:若 a2 + b2 = c2 ,2222221-若 a +b ac ,则 C 90，；若 a +b 90 .正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、B,但不能到达，在岸边选取相距 有千米的

4、C、D两点，并测得/ ACB=75 O, ZBCD=45 O,“DC=30 O, DB=45 O（A、B、C、D在同一平面内）,求两目标 A、B之间的距离。本题解答过程略附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点内心：三角形三内角的平分线相交于一点垂心：三角形三边上的高相交于一点第二章数列1、数列：按照一定顺序排列着的一列数.2、数列的项：数列中的每一个数.3、有穷数列：项数有限的数列.4、无穷数列：项数无限的数列.5、递增数列：从第 2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+ian）.6、递减数列：从第 2项起，每一项都不大于它的前一项的数

5、列（即：an+i1）成等比数列.219、在a与b中间插入一个数 G ,使a , G , b成等比数列，则G称为a与b的等比中项.若G = ab ,2一 一则称G为a与b的等比中项.(注：由G =ab不能彳#出a, G, b成等比，由20、若等比数列an的首项是ai,公比是q,则an =aiqn.2i、通项公式的变形：ann -m= amqaanqn2 qna nn_m _ an； q -aiam22、若力0是等比数列,且m +n = p +q( m、am d =ap，aq ；若an是等比数列，且2n = p +q ( n、23、等比数列以的前n项和的公式：Sn = 4nai q-inai1 一

6、qa1 - anqi-qi-q.q =1& ai (n 1) sn sn/(n 2)数列通项公式对应函数24、对任意白数列an的前n项和Sn与通项an的关系：an注:an=ai*n-1 d =nd+(a1y )( d可为零也可不为零一为等差数列充要条件(即常数列也是等差数列)一若d不为0,则是等差数列充分条件)d可以为零也可不为零一为等差的充要条件一 2等差an前n项和Sn = An2用n =g p2+*1 一? n若d为零，则是等差数列的充分条件；若 d不为零，则是等差数列的充分条件非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.(不是非零，即不可能有等比数列)附：几种常见的数列的思想方法:1、等

7、差数列的前n项和为Sn,在do时，有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法:是求使an之0,an由F0,成立的n值；二是由Sn =曰n2+(a1 2)n利用二次函数的性质求n的值.数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下:等差数列口 =曰+(网=血+幽-d)y- + b(W hQ时为一次函数)等比数列n-1 砌曲=的弓=一 q产蚓”(指数型函数)数列前n项和公式对应函数等差数列-1) ? d 0 . d 比二啊 +g-y二+5工(QM 0时为二次函数)等比数列_41(1一加口 存刀中 丁-q一弓 = &/+占(指数型函数)我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以

8、及前 n项和看成是关于 n的函数,为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。例题：1、等差数列aj 中 an =m, am = n , (n # m)则 an4m =.分析：因为an是等差数列，所以an是关于n的一次函数，一次函数图像是一条直线，则(n,m) ,(m,n), (n+m,an.)三点共线，所以利用每两点形成直线斜率相等，即an. =0 (图像如上)，这里利用等差n -man m - n /日=,得m - n (n m) - mar.A/ X数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。例题：2、等差数列an中，ai =25 ,前n项和为Sn,若S9 =S17, n为

9、何值时Sn最大?d 2d分析：等差数列前 n项和Sn可以看成关于n的二次函数Sn = n2 + (a1 -)n22(修场)是抛物线f(n) = -n2+(ai 色川上的离散点，根据题意，S9 = Si7,229 17则因为欲求Sn最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为x=13,即当n = 132时，Sn最大。例题：3递增数列an,对任意正整数n, an =n2十九n恒成立，求 九分析：1)构造一次函数，由数列an递增得到：an 41 - an 0对于一切胃6犷恒成立，即 2片+ 1 + 4 0恒成立，所以九下 (2n+1)对一切用方恒成立，设f (n) = (2n + 1),则只需

10、求出f(n) 的最大值即可，显然 f (n)有最大值f (1) =-3,所以九的取值范围是： 3 3 -3o2)构造二次函数，6二一+加看成函数/=/ +知，它的定义域是(工院之1肥%因为是递增数列，即函数 =为递增函数，单调增区间为网,抛物线对称轴工二一一，因为函数2Af(x)为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，的左侧，也可以(如图)，因为此时B点比A点高。丸3 一 一于是，一7二，得Z -32、如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：12,3,(2n1)，242n3、

11、两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相(1)定义法：对于n/ 的任意自然数，验证同项，公差是两个数列公差 d1, d2的最小公倍数.4 .判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:.a2an -an（）为同一吊数。（2）通项公式法。（3）中项公式法：验证2an41 = an + an/（an = anan42 ）n w N an一都成立。,_r,m之0 口5 .在等差数列an中，有关Sn的取值问题：（1）当ai 0,d0时，满足的项数m使得Sm取m中 W 0，3m W0 一，,最大值.（2）当ai0时，满足的项数m使得Sm取最小值。在解含绝对值

12、的数列最值问题时 ，fm书之。注意转化思想的应用。附：数列求和的常用方法1 .公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。r） c., 一 .一 2 .裂项相消法：适用于其中 an是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶1an an + ,乘的数列等。 1 一例题：已知数列an的通项为an=，求这个数列的刖 n项和Sn.n（n 1）“L11解：观察后发现：an=-n n 1Sn =a . a2 ,.an11 1112）（1一1）* 言二1,n 13 .错位相减法：适用于anbn其中 an是等差数列，是各项不为0的等比数列。例题：已知数列an的通项公式为an = n

13、2n ,求这个数列的前n项之和Sn。解：由题设得：Sn =a1 a2 a3an=1 21 2 22 3 23n 2n即 Sn = 1 21 +2 22 +3 23 +，+n 2n 把式两边同乘2后得2Sn = 1 22 +2 23 +3 24 +,+n 2n* 用-，即：Sn = 1 21 +2 22 +,3 23 +广+F 2nZZ/*/ / 力 /JJ* 一2Sn = 1 ：22 +2 23 +3 24 二.+ n 2n4 23n=12222 -n2n 11 -2n 1n 12-2 -n 2二(1 -n)2n 1 -2,，sn三(n -1)2n 1 24.倒序相加法：类似于等差数列前n项和

14、公式的推导方法.5.常用结论1):1+2+3+.+n =n(n 1)一、 一一22) 1+3+5+.+(2n-1) = n3)1323n32n(n 1)4)12 22_ 2232 n21= n(n 1)(2n 1) 65)n(n 1)n(n 2)1 1二一（一一2 nn 2)6)(-1)pq q - p p q(P : q)第三章不等式1、ab0u ab； ab = 0y a=b； ab0u ab.2、不等式的性质： abu bb= a + c b + c； ab,c0= ac bc, ab,c0= acd= a + ob + d ； ab0,CAdA0= ac bd ; abA0= an b

15、n(n = N,n1)； ab0= nfa 7b(n eN ,n 1).3、元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式.4、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸（1）整式不等式（高次不等式）的解法穿根法（零点分段法）求解不等式：a0Xn , a1Xn, a2Xn0（0”,则找“线”在轴上方的区间；若不等式是“ 0的解集。解：将原不等式因式分解为：(x 2)(x -1)(x -4) . 0由方程：(x +2)(x-1)(x-4) =0 解得 xi = 2,x2 =1,必=4将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图2 一 2由图可看出不等式 x -3x 6x+80的

16、解集为:xx -2 x 4例题：求解不等式(x 1)(x -2)(x 5)(x 6)(x -4)b解的讨论;A 0A =0A 0)的图象甘1h J .urtl0|XoS X,兀一次方程2ax + bx + c = 0(a a 0的根后两相异实根xi, x2 (xi 0(a a 0)的解集x r2)xb、x - %2aJR2ax +bx+c0(a a 0)的解集xx1 x0(a0)解的讨论.对于a0(或 06(x) #0、1例题：求解不等式：一0)的不等式 的解集为：xaxa (a 0)的不等式 的解集为：x| x a,或x a a变型：|ax+b|c(c a0)型的不等式的解集可以由x|-ca

17、x + bc解得。其中-cax+bc等价于不lax b ： c r、一 ，等式组i在解-cax+b c(c 0)型的不等式的解法可以由 x|ax+ b ac,或ax + b c来解。对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式：用“零点分区间法”分类讨论来解绝对值不等式解法中常用几何法：即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题例题：求解不等式|x -2|_1解：略例题：求解不等式：|x-2| , |x , 3|,三10解：零点分类讨论法：|1 x分另令x2 =0和x,3 =0-32解得：乂=-3和乂=2在数轴上，-3和2就把数轴分成了三部分，如右上图当xW-3时，(去绝对值符号)原不等式化为：1

18、1-(x-2)-(x 3)10 x-111 .2 -_ x - -3x 4-323 x 二 一32当-3xM2时，(去绝对值符号)原不等式化为:-3 ： ： x 2-(x-2) (x 3) 10-3 ： x 2：3 ： x 2x Rx 2(x -2) (x 3) 2时，(去绝对值符号)原不等式化为:92 ： x 2119、一，,由得原不等式的解集为：Wx|MxM (注：是把的解集并在一起)22函数图像法：令 f(x) =|x -2| |x 3|I - 2x -1 (x -3)则有：f (x) = 5(-3 x 0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析: 设 ax2+bx+c=0 的两根为 a、

19、P, f(x)=ax 2+bx+c,那么：. ： -0口 rR!，R若两根都大于0 ,即U A 0, P A 0 ,则有a + P A 0二二 0之0b若两根都小于0,即a M0, P 0 ,则有一旦02af (0) 0若两根有一根小于0 根大于0,即a 0 0f(n) 0若两个根在三个实数之间，即m tcP n,则有f (m )0f (t) 0常由根的分布情况来求解出现在a、b、c位置上的参数2例如：若万程x -2(m 1)x2m -2m-3 = 0有两个正实数根，求 m的取值范围。m _ _1一m _1; m 3m 3所以方程有两个正实数根时,m 3。解：由型得(：00 =；(；二)54(

20、m -2m-3) -0:* :0 m2 -2 m -3 . 0求m的范围。又如：方程x2x+m2-1 = 0的一根大于1,另一根小于1,解：因为有两个不同的根，所以由22.：0- 1(-1)2 -4(m2 -1) . 0 、f(1) ：0 12 -1 m2 -1 0,区x +By0 +C 0 ,则点P（x0,y0 ）在直线Ax+ By+ C = 0的上方.若 B 0, A% +By0 +C 0,则Ax+Ey+C 0表示直线 Ax + By+C =0上方的区域； Ax + By+C 0表示直线Ax +By +C =0下方的区域.若B 0表示直线 Ax+By+C =0下方的区域； Ax+By+C

21、”号，则Ax+Ey+C 0所表示的区域为直线l： Ax+By + C=0的右边部分。若是“”号，则Ax+By+C 0, b0,则a+b之2而即ab之疝 .222 ab2 ab E(a,b = R)；2(aF R)13、常用的基本不等式： a2 +b2 2ab(a,b = R 92 ab M ia- (a 0,b 0 );214、极值定理：设x、y都为正数，则有:2若x + y =s （和为定值），则当x = y时，积xy取得最大值.若xy= p （积为定值），则当x = y 4时，和x+y取得最小值2布.一51 一 一例题：已知x -,求函数f（x）=4x2 +的最大值。44x-5,一 5解：.x ,，4x5 0由原式可以化为:41111f (x) =4x-55_2- = _(5_4x) - 3 -(5_4x) - - 3 - (5_4x) 3 - -1 3=24x 555-4x5_4x一，5-4x13 当 54x=,即(5-4x)2 =1= x = 1,或x=(舍去)时取到=”号5 -4x2也就是说当x =1时有f (x)max =2