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1、3空间向量坐标法一解决立体几何问题一.建立恰当的空间直角坐标系，能求点的坐标；1、三条直线交于一点且两两垂直；方便求出各点的坐标。2、如何求出点的坐标：先求线段的长度（特别是轴上线段）：由已知条件可全部求出来；假设不能，则可先设出来。1轴上的点X轴-a,0,0，y轴-0,b。，z轴-0,0,c2三个坐标面上的点已知或求出过点作垂直轴的线段长度，X0y-a,b,0，y0z0,b,c，x0za,0,c3其它的点：已知或求出过点作垂直面的线段长度；4中点坐标：A（xi,yi,zi）,B（x2,y2,Z2）-则线段AB的中点：（x_xi-y2一yi2一幺）2223、动点问题的处理待定系数法法一：直接设
2、出来，然后根据已知条件求出来1轴上：（x,0,0）,（0,y,0）、（0,0,z）；2面上：（x,y,0）、（x,0,z）、（0,y,z）；3其它：（a,b,c）。法二：A（x1,yi,zi卜B（x2,y2,z2）,M是AB上的动点：设M（a,b,c）,由ABAM,用表示点的坐标。4、有向线段的坐标：A（xi,yi,zi）,B（x2,y2,z2）则AB（x2x1，y2Vi2乙）二、重要公式或结论：向量的数量积:设AB(,必，乙),CD(x2,V2,z2)AB?CDx1x2y1y24。，abaibcos(a,b)向量的模：ab 而yi2zi2向量的夹角:a blab两向量共线： AB/CD AB
3、 CD x1两向量垂直：AB CD AB CD 0x2, yiy2,4z21、如图，长方体 ABCD A1B1C1D1, AB 2, AA, 1建立适当的坐标系求各点的坐标 及仄E1, AD=1, AE垂直BD于E, F为A1B1的中点. 与BF的坐标。2M是FD上的点：假设FM 2MD ,求M点的坐标 假设FDMD ,求M点的坐标用表示三、引入两个重要的空间向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量如图,在空间直角坐标系中,由Axmz与B X2, y2.z2确定的直线AB的方向向量是AB% x,y2 y0z）如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面a，称这个向量垂直于
4、平面a，记作n a，这时向量n叫做平面a的法向量假设法向量n的模为1,则法向量n叫做平面a的单位法向量.2.2在空间直角坐标系中，如何求平面法向量的坐标呢？如图，设a、bx2,y2.z2是平面a内的两个不共线的非零向量，由直线与平面垂直的判定定理知，假设n，a且n，b,则n，a .换句话说，r-假设n-a = 0且n-b= 0,则n .的法向量:一直接法：已知线段中存在二待定系数法-步骤如下:?第一步（设）:设出平面法向量的坐标为n=（x,y,z）.在平面中找两条相交直线，求其方向向量AB（xi,yi,zi）,BC（%，丫22）lr?第二步（列）:根据nAb=0且nbc=0可列出方程组XlXy
5、1yzz0X2xy2yz2z0?第三步（解）:把z看作常数，用z表示x、y.?第四步（取）:取z为任意正数（如1,当然取得越特殊越好）,从而得到平面法向量n的坐标（x,y,z）。例1在棱长为2的正方体ABCD-AB1c1以中,0是面AC的中心,1求面OAQ的法向量.2求面ABB1A的法向量。练习：已知点A1, 0, 0，B0, 1T答案：n0，C0,0,1，求平面ABC的一个单位法向量。,111、Jr/四、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系；(1)直线与直线的位置关系；线ABCD：存在实数使ABCD线ABCD：AB?CD0(2)直线与平面的位置关系线AB面：ABnAB?n0
6、n是面的法向量线AB面：1AB?bi0、AB?b20bib是面内的相交直线2AB/nABnn是面的法向量(3)平面与平面的位置关系/:必电川出小,电是平面、的法向量:n1出口？出0小，也是平面、的法向量叫7简单应用练习：设直线n,m的方向向量分别为a，b,根据条件判断n,m的位置关系:1a2,1,2,b6,3,62a1,2,2,b2,3,23a0,0,1,b0,0,3例2:在二棱柱ABC-ABC中，底面是正三角形，AA底面ABC,ACAB,.1.求证：BCAB例3梭氏都等2的正三棱柱ABC-&BQ,逐别是AGCC,的中点，求证:(l)&E，平面DBCj平面DBG练习：在正方体ABCD-AB1C
7、1D1中，P在A1B1上，Q在BC上，且A1P=QBMN分别为AB|、PQ的中点。求证：MN/平面ABCD4-*.、,III-_例4:在正万体ABCD-ABCD中，E,F分别是CC,BD的中点,求证：面ADF，面BDE72、求解空间中的角度;a b cos(a, b)可得:cos a, ba11b1 .异面直线AB与CD所成的角2 .斜线AB与平面所成的角:记AB ? nsin3 . lcoscosAB的平面角 0,AB? CDAB ? CD(AB,n),则(0,cos也可能是钝角,因为二面角合具体的题目判断0,290-）n是面的法向量,n1?n2n1 ? n2ni,n2 是、H的法向量-L-
8、 B的大小与法向量必,电夹角相等或互补，要结例5如图：在正方体ABCD-AB1c1D1中,M是AB的中点，求对角线DB,与CM所成角的余弦值.例6正三棱柱ABC-A|B1c1的底面边长为a,高为石a,求AC）与侧面ABA1所成的角。练习：在长方体ABCD-AB1c中，AB=BC=4Cq=2,贝U直线BC1和平面DBB1D1所成角的余弦值为多少？例7在四棱锥S-ABCM/DABWABC=90,侧棱SL底面AC,SA=AB=BC=1AD=2求二面角A-SD-C的大小练习：如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，/ABC=90,SAWABCD,SA=1AB=BC=1,AD求面SCD与面SBA所
9、成的二面角的余弦值.2A)x例8:09.陕西理在直三棱柱ABC-AB1cl中，AB=1,AC=AA=V3,ABC60、证明:1AB，AC ;2求二面角 A- A1C-B的大小。3、求解空间中的距离:(1)点到平面的距离：1、直接求点到平面的垂线长；2、等体积法通常放在三棱锥中，求平面的高a的斜线AB及垂线AH.设A为平面a外一点，n为平面a的法向量，过A作平面AB n3、向量法-代点到面的距离公式，如下；AB?n点A到面的距离d:d1nn是面的法向量、线段AB是经过点A的任意斜线段2线到面的距离、面面距离转化为点到面的距离求解;3异面直线的距离：1、直接找公垂线求解；2、向量正投影法-二代异面
10、直线可距离公式，如下;如图，设两条异面直线AC、BD的公垂线的方向向量为n,即n,AC,nBD,这时分别在直线AC、BD上各取一点，如A、B两点，则向量AB在n上的正射影长就是两条异面直线AC、BD的距离.-AB?ndAB?inr1nln因为nAC,nBD,所以n?AC0,n?BD0由此可得异面直线AC、BD的公垂线的方向向量n例9在直三棱柱ABC-AiBiCi中,AA尸血，AC=BC=1,/ACB=90，求Bi到面AiBC的距离.例10四棱锥P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB=4,/ABC=60,侧棱PAL底面AC且PA=4,E是PA的中点，求PC与平面PED间的距离。例11在棱长为1的正方体ABCD-AiBiCiDi中，求异面直线ACi与BD间的距离.
空间向量法解决立体几何问题教案
