第五章：控制系统的稳定性分析

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1、第五章第五章控制系统的稳定性分析自动控制原理自动控制原理自动控制原理自动控制原理v5-1 系统稳定性的基本概念系统稳定性的基本概念v5-2 系统的稳定条件系统的稳定条件v5-3 代数稳定判据代数稳定判据v5-4 乃奎斯特判据乃奎斯特判据v5-5 对数幅相频率特性的稳定判据对数幅相频率特性的稳定判据v5-6 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性v例题分析例题分析v课后习题课后习题自动控制原理自动控制原理5-1 系统稳定性的基本概念系统稳定性的基本概念如果一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消如果一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，这个系统又能够逐渐恢复到原来

2、的状态，则称系统是稳定的。否后，这个系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的。否则这个系统是不稳定的。则这个系统是不稳定的。自动控制原理自动控制原理控制系统稳定性的定义：控制系统稳定性的定义：若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下，其过渡过程随若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则称该系统稳定。否则，称该系统不稳定。则称该系统稳定。否则，称该系统不稳定。注意：注意：1. 稳定性是系统自身的固有特性稳定性是系统自身的固有特性,它取决于系统本身的结构和它取

3、决于系统本身的结构和参数参数,而与输入无关；对于纯线性系统来说，系统的稳定与否不与初而与输入无关；对于纯线性系统来说，系统的稳定与否不与初始偏差的大小有关。如果，这个系统是稳定的，就叫做大范围稳定。始偏差的大小有关。如果，这个系统是稳定的，就叫做大范围稳定。而经过线性化处理的系统都是而经过线性化处理的系统都是“小偏差小偏差”稳定。稳定。2. 控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性,也就是说也就是说,是讨论输入为零是讨论输入为零,系统仅存在初始偏差不为零时的稳定性系统仅存在初始偏差不为零时的稳定性,即讨论自由振荡是收敛还是发散的。

4、即讨论自由振荡是收敛还是发散的。自动控制原理自动控制原理5-2 系统的稳定条件系统的稳定条件设定常线性系统的微分方程为：设定常线性系统的微分方程为：式中式中 ，若记，若记并对并对5.1作拉氏变换，得作拉氏变换，得 1110010 5.1nnmnnmia papa paxtb pb pbx tdpdt 11110110mnnnnmmmD pa papa paM pb pbpb pb 0( ) 5.2( )iM sN sXsXsD sD s自动控制原理自动控制原理式中式中 为系统的传递函数。为系统的传递函数。因为是在零初始条件下，有因为是在零初始条件下，有则则拉氏反变换，有拉氏反变换，有由上式可知

5、，若系统所有特征根的实部均为负值，即由上式可知，若系统所有特征根的实部均为负值，即 M sG sD s 0( )( )N sXsD s0iX 11001 5.3ins tiiN sxtLXsLAeD s Re0is 自动控制原理自动控制原理这样的系统就是稳定的。这样的系统就是稳定的。反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部时，则零输入将随时反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部时，则零输入将随时间的推移发散，即间的推移发散，即 这样的系统是不稳定的。这样的系统是不稳定的。 0lim0tx t 0limtx t自动控制原理自动控制原理由此可得以下结论：由此可得以下结论： 1.控制系统稳定的充分

6、必要条件是：系统特征方程式的根全部控制系统稳定的充分必要条件是：系统特征方程式的根全部具有负实部。系统特征方程式的根就是闭环极点，所以控制系统稳具有负实部。系统特征方程式的根就是闭环极点，所以控制系统稳定的充分必要条件也可以说成是闭环极点全部具有负实部，或说闭定的充分必要条件也可以说成是闭环极点全部具有负实部，或说闭环传递函数的极点全部在环传递函数的极点全部在S平面的左半面。平面的左半面。2.如特征根相同上述结论仍成立。如特征根相同上述结论仍成立。3.判断稳定性的关键转变为研究系统的特征根是否具有正实部。判断稳定性的关键转变为研究系统的特征根是否具有正实部。自动控制原理自动控制原理5-3 代数

7、稳定判据代数稳定判据一一.劳斯判据劳斯判据1.系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件:(1)特征方程的各项系数都不等于零。特征方程的各项系数都不等于零。(2)特征方程的各项系数都不大于零。特征方程的各项系数都不大于零。2.系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件:设系统稳定的特征方程式为设系统稳定的特征方程式为劳斯判据给出的系统稳定的充分条件是：劳斯阵列中第一列所有项劳斯判据给出的系统稳定的充分条件是：劳斯阵列中第一列所有项均为正号。均为正号。劳斯阵列是将式的系数排成以下行和列，即为劳斯阵列：劳斯阵列是将式的系数排成以下行和列，即为劳斯阵列： 1201210 5.4nnnnnD sa sasa sa

8、 s a自动控制原理自动控制原理0246113572123431234212110 nnnnsaaaasaaaasbbbbsccccseesfsg自动控制原理自动控制原理其中系数其中系数 等，根据等，根据下列公式计算：下列公式计算：同样的方法可以计算同样的方法可以计算c,d,e等各行的系数等各行的系数123 , , bbb1 20 3111 40 5211 60 731aaa abaaaa abaaaa aba自动控制原理自动控制原理注意注意:在展开的阵列中在展开的阵列中,为简化其后的数值计算为简化其后的数值计算,可用一个正整数去除可用一个正整数去除或乘某一个整行或乘某一个整行,并不影响稳定性

9、结论。劳斯判据还说明：方程式并不影响稳定性结论。劳斯判据还说明：方程式(5.4)中中,其正实部特征根数其正实部特征根数,等于劳斯阵列中第一列的系数改变的等于劳斯阵列中第一列的系数改变的次数。次数。例例 设控制系统的特征方程为设控制系统的特征方程为 试用劳斯判据判断其稳定性试用劳斯判据判断其稳定性解解 首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳斯阵列劳斯阵列 43223430D sssss 432101332401123sssss自动控制原理自动控制原理 由劳斯阵列第一列可知，其系数出现负值，因此系统不稳定，并由劳斯阵列第一列可知，其系

10、数出现负值，因此系统不稳定，并且符号变化两次，所以有两个正实部特征根。且符号变化两次，所以有两个正实部特征根。3.二阶，三阶和四阶系统的劳斯判据二阶，三阶和四阶系统的劳斯判据低阶系统的劳斯判据可以化简低阶系统的劳斯判据可以化简(1)二阶系统二阶系统,(2)三阶系统三阶系统,各项系数大于零各项系数大于零,(3)四阶系统四阶系统,各项系数大于零各项系数大于零, , 4.特殊情况特殊情况(1)如果在劳斯判据阵列中任意一行的第一个元素为零如果在劳斯判据阵列中任意一行的第一个元素为零,可以用一可以用一个很小的正数个很小的正数 来代替它来代替它例例 设控制系统的特征方程为设控制系统的特征方程为用劳斯判据判

11、断其稳定性用劳斯判据判断其稳定性012000aaa1 20 3aaa a1203a aa a2212303140a a aa aa a4222210ssss 自动控制原理自动控制原理解解 由劳斯阵列由劳斯阵列符号改变一次符号改变一次符号改变一次符号改变一次 由于劳斯阵列第一列元素的符号不一致由于劳斯阵列第一列元素的符号不一致,系统不稳定系统不稳定,并且符号改并且符号改变两次变两次,所以有两个正实部特征根所以有两个正实部特征根4321011 122 001221sssss自动控制原理自动控制原理(2)劳斯阵列出现整排零劳斯阵列出现整排零例例 设控制系统的特征方程为设控制系统的特征方程为试用劳斯判

12、据判断其稳定性试用劳斯判据判断其稳定性解解 计算劳斯阵列如下计算劳斯阵列如下6543228122016160ssssss65431820 162 12 160168000ssss自动控制原理自动控制原理在此情况下在此情况下,可用该行上一行的元素构造一个辅助多项式可用该行上一行的元素构造一个辅助多项式,并利用这个并利用这个多项式方程的导数的系数组成劳斯阵列表中的下一行。利用辅助多多项式方程的导数的系数组成劳斯阵列表中的下一行。利用辅助多项式够成的辅助方程，解出特征根。项式够成的辅助方程，解出特征根。由此可得到辅助多项式由此可得到辅助多项式由此可得到劳斯阵列由此可得到劳斯阵列 4268A sss3

13、( )412dA sssds6543210182016212160168000412384/38sssssss自动控制原理自动控制原理 从劳斯列表中可只，第一列为出现负数，说明系统在右半平面没从劳斯列表中可只，第一列为出现负数，说明系统在右半平面没有特征根，但是，有特征根，但是， 行的各项元素为零，说明虚轴上有共轭虚根，行的各项元素为零，说明虚轴上有共轭虚根，该根可由辅助方程求得：该根可由辅助方程求得：解该方程，求得系统的共轭虚根：解该方程，求得系统的共轭虚根：故，系统处于零界稳定故，系统处于零界稳定4s42680ss 1,23,422sjsj 自动控制原理自动控制原理二二 赫尔维茨判据赫尔维

14、茨判据设系统特征方程为设系统特征方程为由其系数可得如下行列式由其系数可得如下行列式 12012100 0nnnnnD sa sasa sa s aa13502413021200000000000000nnnaaaaaaaaaaAaaa自动控制原理自动控制原理系统稳定的充要条件是：主行列式系统稳定的充要条件是：主行列式 及对角线上个子行及对角线上个子行式式 ，均大于零，即，均大于零，即n121,n 11132241353024130;0;0;00naaaaaaaaaaaaa 自动控制原理自动控制原理5-4 乃奎斯特判据乃奎斯特判据 应用应用 k wG G w H w自动控制原理自动控制原理一一

15、米哈依洛夫定理米哈依洛夫定理定理：设定理：设n次多项式次多项式D(s)有有p个零点在复平面的右半面，有个零点在复平面的右半面，有q个个零点在原点上，其余零点在原点上，其余n-p-q个零点位于左半面，则当个零点位于左半面，则当s=jw代入代入D(s)并命并命w从从0连续增大连续增大 到到 时时,复数复数D(jw)的角增量应等于的角增量应等于证明：证明： 方程为一次的情况下方程为一次的情况下 若根在左半平面，则若根在左半平面，则22np q 11D sss1 0sajba 自动控制原理自动控制原理命命s=jw,可得可得现命现命w由由0增大到增大到 ，从图可以看出角，从图可以看出角 的增量为的增量为

16、1()D jwjwajbaj w b 11arctanarctan22bbaa11tanbajjw1sbaRe自动控制原理自动控制原理若上式若上式b为负值，则角增量为为负值，则角增量为如图：如图：2arctan2bajabjw21tanbaRe2s自动控制原理自动控制原理若根在右半平面，其角增量如图所示，若根在右半平面，其角增量如图所示，为为31tanbajjwbaRe2arctan2ba 自动控制原理自动控制原理现考虑现考虑n次多项式次多项式 ，且在原点有，且在原点有q个零点，可表示为个零点，可表示为在左半平面中在左半平面中,对于每一个实零点对于每一个实零点(b=0)而言而言,角增量角增量而

17、对于每一对共轭复零点而对于每一对共轭复零点 而言而言,其中一个的角增量为其中一个的角增量为另一个为另一个为 D s 12()qn qD sAss ss ss s2bb arctan2baarctan2ba自动控制原理自动控制原理所以一对共轭复零点总的角增量为所以一对共轭复零点总的角增量为而平均一个左半平面零点贡献的角增量为而平均一个左半平面零点贡献的角增量为 ,总共有总共有n-p-q个零点个零点,它们它们贡献的角增量为贡献的角增量为同理同理,所有右半平面的零点贡献的角增量为所有右半平面的零点贡献的角增量为而在原点而在原点arctanarctan22bbaa 2left2npq2rightp 0

18、0自动控制原理自动控制原理综上所述综上所述,D(s)的总角增量为的总角增量为推论推论:如果如果n次多项式次多项式D(s)的所有零点都位于复平面左半平面的所有零点都位于复平面左半平面,则当则当s=jw代入代入D(s)并命并命w从从0增大到增大到 时时,复数复数D(s)的角连续增的角连续增 大大二二 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据1 反馈系统开环和闭环的特征方程式反馈系统开环和闭环的特征方程式022leftrightnp q 2n iXs 0Xs自动控制原理自动控制原理该单位反馈系统的开环传递函数为该单位反馈系统的开环传递函数为闭环传递函数为闭环传递函数为令：令：F是新引进的函数，其分母是系统开

19、环特征多项式，分子是闭环特征是新引进的函数，其分母是系统开环特征多项式，分子是闭环特征多项式。多项式。对于非单位反馈系统，开环传递函数为对于非单位反馈系统，开环传递函数为 KKMsG sDS 1KKKkbG sMsMssG sDsMsD s 11KKKbKKKMsDsMsDsF sG sDsDsDs KKMsG sG s H sDs自动控制原理自动控制原理2 乃奎斯特队稳定判据乃奎斯特队稳定判据(1) 若开环是稳定的若开环是稳定的,则根据米哈依洛夫定理则根据米哈依洛夫定理如果闭环系统稳定如果闭环系统稳定,有有于是于是arg2kDjwn arg2bDjwn arg 1()0oG jw自动控制原理

20、自动控制原理从乃氏图上看从乃氏图上看,G(jw)不包围不包围(-1,j0)点点. 稳定稳定 不稳定不稳定()G jw()G jw()G jw1自动控制原理自动控制原理(2) 若开环系统不稳定若开环系统不稳定,有有p个零点在右半平面个零点在右半平面,q的零点在原点的零点在原点,n-p-q个零点在左半平面个零点在左半平面 则则如果闭环是稳定的如果闭环是稳定的,则则故故arg()(2)2KDjwnp qarg()2bD jwn arg 1()(2)222G jwnnpqpq自动控制原理自动控制原理 也就是说也就是说,对于一个稳定的系统而言对于一个稳定的系统而言,当当w从从0连续增大到连续增大到 时时

21、,开环开环传递函数在右半平面的每一个极点使传递函数在右半平面的每一个极点使 ；在原点处的；在原点处的每一个极点使每一个极点使 。arg 1()180oG jwarg 1()90G jw列列 系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为讨论开环增益讨论开环增益K的大小对系的大小对系 统稳定性的影响统稳定性的影响 解：这是一个三阶系统，没有开环零点，且开环极点全部解：这是一个三阶系统，没有开环零点，且开环极点全部位于左半位于左半s平面，因此是最小相位系统。平面，因此是最小相位系统。作极坐标草图，先计算极限值：作极坐标草图，先计算极限值：123( )(1)(1)(1)oKG sTsT sT s自动控制原

22、理自动控制原理 =0时，有时，有0)0()0(KA 时，有时，有270)(0)(A且且 增加时有增加时有)()(A自动控制原理自动控制原理依此作极坐标草图如图所示。依此作极坐标草图如图所示。判别判别当当K小时，极坐标轨线围绕小时，极坐标轨线围绕 （-1, j0)点的角度增量为点的角度增量为不包围不包围(-1, j0)点，所以系统点，所以系统是稳定的。是稳定的。 当当K大时，围绕大时，围绕(-1, j0)点的点的角度增量为角度增量为 由于围绕由于围绕(-1, j0)点转了点转了-1圈，圈，不等于零，所以系统不稳定。不等于零，所以系统不稳定。:0()0oG j :0()20oG j :0()0oG

23、j 自动控制原理自动控制原理3 关于关于G(s)中含有零极点的处理方法：中含有零极点的处理方法： 当原点处存在开环极点时，其表达式为：。当原点处存在开环极点时，其表达式为：。 由于开环极点因子由于开环极点因子G(s)=1/s既不在左半既不在左半s平面上，也不在右平面上，也不在右半半s平面上，当平面上，当 由由0 变到变到时，原点处开环极点的幅角增量值是不时，原点处开环极点的幅角增量值是不定的，因而不能应用幅角增量公式来计算。定的，因而不能应用幅角增量公式来计算。 对于这种情况，可以认为原点处的开环极点属于左半对于这种情况，可以认为原点处的开环极点属于左半s平面。在平面。在数学作如下处理：在数学

24、作如下处理：在s平面的平面的s=0的邻域作一半径为无穷小的半圆绕的邻域作一半径为无穷小的半圆绕过原点，如下页图所示过原点，如下页图所示。( )( )oonKG sG ss自动控制原理自动控制原理这样，当这样，当 由由0增加到增加到0+时，原点处就已经获得了时，原点处就已经获得了+ /2的增的增量。相应地，作为复变函数量。相应地，作为复变函数G(s)=1/s，由复变函数的保角定理可，由复变函数的保角定理可得，在得，在G(j )平面上的无穷大半圆处也就获得平面上的无穷大半圆处也就获得- /2的幅角增量。因的幅角增量。因此，可以在此，可以在G(j )平面上的无穷大半圆处作增补线，如上页图所示。平面上

25、的无穷大半圆处作增补线，如上页图所示。得到相应的增补角为得到相应的增补角为- /2。ImRe0jrejw自动控制原理自动控制原理自动控制原理自动控制原理例：已知系统的开环传递函数为例：已知系统的开环传递函数为试用奈氏判据判别系统的稳定性。试用奈氏判据判别系统的稳定性。解：解：(1)作极坐标图作极坐标图23( )(1)(1)oKG ss T sTs=0时，有90)0()0(A可以确定系统极坐标图的起点为0-j时，有270)(0)(A可以确定系统极坐标图的终点为0+j0,即原点自动控制原理自动控制原理 且且 增加时有增加时有 依此作极坐标草图如图所示。依此作极坐标草图如图所示。( )( )A 自动

26、控制原理自动控制原理（2）稳定性判别）稳定性判别当当K小时，不包围小时，不包围(-1, j0)点，所以系统是稳定的。点，所以系统是稳定的。当当K大时，由于围饶大时，由于围饶(-1, j0)点，所以系统不稳定点，所以系统不稳定 结论：把零极点当作左半平面根处理，并且没有右半平面零极结论：把零极点当作左半平面根处理，并且没有右半平面零极点时，乃氏判据变为：点时，乃氏判据变为：(1) 若若G(jw)曲线包围曲线包围(-1,j0)点点,系统不稳定。系统不稳定。(2) 若若G(jw)曲线不包围曲线不包围(-1,j0)点点,系统稳定。系统稳定。4.关于关于s平面上的乃氏轨迹的另一方案平面上的乃氏轨迹的另一

27、方案 s平面上的乃氏轨迹还有另一取法平面上的乃氏轨迹还有另一取法,如下图如下图:自动控制原理自动控制原理 设在设在s平面上有封闭曲线平面上有封闭曲线L,其其中中,两段是由两段是由 到到 的整个虚轴组成的的整个虚轴组成的,段是半径段是半径R趋向于无穷大的圆弧组成的。因趋向于无穷大的圆弧组成的。因此，段就包围了整个此，段就包围了整个s平面的右半平面。另外，在原平面的右半平面。另外，在原点附近，乃氏轨迹以原点为圆心，点附近，乃氏轨迹以原点为圆心，以无穷小为半径的圆弧逆时针绕以无穷小为半径的圆弧逆时针绕过原点。过原点。 s平面这样取以后，乃氏图平面这样取以后，乃氏图发生了相应的变化，看下面两图发生了相

28、应的变化，看下面两图0rw自动控制原理自动控制原理自动控制原理自动控制原理此时，乃氏判据为此时，乃氏判据为(p为右半平面极点数为右半平面极点数)：(1) 当当p=0,若开环乃氏图若开环乃氏图,不包围不包围(-1,j0)点点,则闭环系统稳定则闭环系统稳定(如右图如右图);反之反之,不稳定不稳定(如左图如左图)。(2) 当当p0,若开环乃氏图逆时针包围若开环乃氏图逆时针包围(-1,j0)点点p圈圈,则系统则系统稳定；若逆时针包围稳定；若逆时针包围(-1,j0)点不到点不到p圈，或顺时针包围圈，或顺时针包围(-1,j0)点，点，则闭环系统不稳定。则闭环系统不稳定。例如某系统的开环传递函数为例如某系统

29、的开环传递函数为p=2,其乃氏图逆时针包围其乃氏图逆时针包围(-1,j0)点点2圈，故系统稳定。圈，故系统稳定。 22100(5)(9)(1)sG s H ssss 自动控制原理自动控制原理自动控制原理自动控制原理5-5 对数幅相频率特性的稳定判据对数幅相频率特性的稳定判据 对数幅相频率特性的稳定判据，实际上是乃氏稳定判据的另一种对数幅相频率特性的稳定判据，实际上是乃氏稳定判据的另一种形式。即利用开环的伯德图来判断系统的稳定性，而伯德图又可以通形式。即利用开环的伯德图来判断系统的稳定性，而伯德图又可以通过实验获得，因此在工程上得到了广泛应用。过实验获得，因此在工程上得到了广泛应用。一、一、根据

30、乃氏稳定判据，利用系统开环乃氏图与单位圆及实轴的两个根据乃氏稳定判据，利用系统开环乃氏图与单位圆及实轴的两个交点在伯德图上的反映来判断系统的稳定性交点在伯德图上的反映来判断系统的稳定性首先，来看系统乃氏图的稳定情况：首先，来看系统乃氏图的稳定情况：自动控制原理自动控制原理自动控制原理自动控制原理二、二、 1.如果开环是稳定的，且在如果开环是稳定的，且在L(w)=0的所有角频率的所有角频率w值下，相值下，相角范围大于角范围大于-线，那么，系统是稳定的。线，那么，系统是稳定的。 例：例：自动控制原理自动控制原理 2. 对数幅相频率特性稳定性判据的普遍情况：对数幅相频率特性稳定性判据的普遍情况： 如

31、果系统在开环状态下的特征方程有如果系统在开环状态下的特征方程有p个根在右半平面内，它个根在右半平面内，它在闭环状态下稳定的充分必要条件是：在所有在闭环状态下稳定的充分必要条件是：在所有L(w)=0的频率范的频率范围内，相频特性曲线围内，相频特性曲线(w)在在(-)线上的正负穿越之差为线上的正负穿越之差为p/2次。次。 正穿越：当乃氏图从大于正穿越：当乃氏图从大于-的第二象限越过负实轴到三象限时，的第二象限越过负实轴到三象限时，叫正穿越；叫正穿越； 负穿越：当乃氏图从大于负穿越：当乃氏图从大于-的第三象限越过负实轴到二象限时，的第三象限越过负实轴到二象限时，叫正穿越；叫正穿越； 半次正穿越：半次

32、正穿越：w=0时，时，(0)=-，乃氏图向第三象限去时，乃氏图向第三象限去时，叫半次正穿越。叫半次正穿越。 自动控制原理自动控制原理 L wwcw( )w L ww234正,负穿越半次正穿越自动控制原理自动控制原理 例：判断下列各系统的稳定性例：判断下列各系统的稳定性自动控制原理自动控制原理自动控制原理自动控制原理5-6 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性 从乃氏稳定判据可知，若系统开环传递函数没有右从乃氏稳定判据可知，若系统开环传递函数没有右半平面的极点，且闭环系统是稳定的，那么半平面的极点，且闭环系统是稳定的，那么G(jw)的轨的轨迹离迹离(-1,j0)点越远，则闭环的稳定性越高，开

33、环乃氏点越远，则闭环的稳定性越高，开环乃氏轨迹离轨迹离(-1,j0)点越近，则闭环的稳定性越低，这就是点越近，则闭环的稳定性越低，这就是通常所说的相对稳定性，它通过通常所说的相对稳定性，它通过G(jw)的轨迹离的轨迹离(-1,j0)点越远近程度来度量，其定量表示为相位裕量点越远近程度来度量，其定量表示为相位裕量 和幅值和幅值裕量裕量 ，如图：，如图：gK自动控制原理自动控制原理GGGGCC自动控制原理自动控制原理 1.相位裕量相位裕量 相位裕量是描述系统相对稳定性的另一度量指标。在图中，对相位裕量是描述系统相对稳定性的另一度量指标。在图中，对应于应于 时的频率时的频率 （交点（交点C）称为增益

34、穿越频率（剪切）称为增益穿越频率（剪切频率或交界频率）。在剪切频率频率或交界频率）。在剪切频率 处，使系统达到临界稳定状态时处，使系统达到临界稳定状态时所能接受的附加相位滞后角，定义为相位裕量所能接受的附加相位滞后角，定义为相位裕量 ，用，用 表示。对于任表示。对于任何系统，相位裕量的算式为何系统，相位裕量的算式为 式中，式中， 是开环频率特性在剪切频率处的相位。是开环频率特性在剪切频率处的相位。 不难理解，对于稳定的开环系统，若不难理解，对于稳定的开环系统，若 ，则，则 曲曲线包围（线包围（-1，j0）点，相应的闭环系统不稳定；反之，若）点，相应的闭环系统不稳定；反之，若 , 则相应的闭环系

35、统稳定。一般来说，则相应的闭环系统稳定。一般来说， 越大，系统的相对稳定性就越越大，系统的相对稳定性就越好，这是因为系统的参数并非绝对不变，如果好，这是因为系统的参数并非绝对不变，如果 太小，就有可能因太小，就有可能因参数的变化而使奈奎斯特曲线包围（参数的变化而使奈奎斯特曲线包围（-1，j0）点，导致系统不稳定。）点，导致系统不稳定。)(180c180()c ()()1ccG jH jcc()c 0 ()()G jH j0 自动控制原理自动控制原理2.幅值裕量幅值裕量 设一稳定的开环系统奈氏曲线设一稳定的开环系统奈氏曲线 如图所示，它与负实如图所示，它与负实轴交于轴交于G点，与单位圆交于点，与

36、单位圆交于C点。在开环频率特性的相角点。在开环频率特性的相角 时的频率时的频率 （交点（交点G）处，开环幅值的倒数称为增益裕量，用）处，开环幅值的倒数称为增益裕量，用 表示。表示。即即 式中，式中， 称为相位穿越频率（相位交界频率）。上式表示系统在变称为相位穿越频率（相位交界频率）。上式表示系统在变到临界稳定时，系统的增益能增大多少。到临界稳定时，系统的增益能增大多少。 由奈奎斯特稳定判据可知，对于最小相位系统，其闭环稳定的充由奈奎斯特稳定判据可知，对于最小相位系统，其闭环稳定的充要条件是要条件是 曲线不包围（曲线不包围（-1，j0）点，即曲线与负实轴交点）点，即曲线与负实轴交点处的模小于处的

37、模小于1，此时，此时 。反之，对于不稳定的系统，。反之，对于不稳定的系统， 。gK() ()G jH j()180g g()()ggG jH j1()()gggKG jH jgKg()()G jH j1gK 1gK 自动控制原理自动控制原理 综上所述，对于开环为稳定的系统，综上所述，对于开环为稳定的系统，G(jw)具有正幅值裕量及正具有正幅值裕量及正相位裕量时，其闭环系统稳定；相位裕量时，其闭环系统稳定；G(jw)具有负幅值裕量及负相位裕具有负幅值裕量及负相位裕量时，其闭环系统不稳定。量时，其闭环系统不稳定。 在工程实践中，为使上述系统有满意的稳定储备，一般希望：在工程实践中，为使上述系统有满

38、意的稳定储备，一般希望： 由于在最小相位系统的开环幅频特性与开环相频特性之间具有一由于在最小相位系统的开环幅频特性与开环相频特性之间具有一定的对应关系，相位裕量定的对应关系，相位裕量 表明开环对数幅频特性在剪切频率表明开环对数幅频特性在剪切频率 上的斜率应大于上的斜率应大于-40dB/dec，因此，为保证有合适的相位裕量，一，因此，为保证有合适的相位裕量，一般希望，这一段上的斜率（也叫剪切率），等于般希望，这一段上的斜率（也叫剪切率），等于-20dB/dec。如果。如果剪切率等于剪切率等于-40dB/dec，则闭环有可能稳定，也可能不稳定，但即，则闭环有可能稳定，也可能不稳定，但即使稳定，其稳

39、定性也是很低的。如果剪切率为使稳定，其稳定性也是很低的。如果剪切率为-60dB/dec或更陡，或更陡，则系统一般不稳定。则系统一般不稳定。30606oogKdB2gK 3060oo自动控制原理自动控制原理 最后要注意一下各种稳定判据之间的联系。代数判据是利用闭环最后要注意一下各种稳定判据之间的联系。代数判据是利用闭环特征方程的系数判断闭环稳定性，而乃奎斯特判据是利用开环频率特征方程的系数判断闭环稳定性，而乃奎斯特判据是利用开环频率挑特性来判断闭环的稳定性，并可以确定裕量，因而在工程上获得挑特性来判断闭环的稳定性，并可以确定裕量，因而在工程上获得广泛应用。还应注意，我们学习的是有关定常线性系统的

40、稳定性问广泛应用。还应注意，我们学习的是有关定常线性系统的稳定性问题。题。自动控制原理自动控制原理参考题参考题 1.考虑下图所示闭环系统及相应考虑下图所示闭环系统及相应Nyquist轨线图，试确定系统轨线图，试确定系统稳定性与稳定性与k值关系。值关系。 解： P=1 N=Z-P 所以：Z=0的充要条件N=1（反时针包围-1+j0 圈） K1-系统稳定 K=1-系统处于临界 K1时，时，P1，N1，ZNP0，系统稳定，系统稳定 K=1时，时， 过（过（1, j0）点，系统处于临界稳定）点，系统处于临界稳定 K1时，时，P1，N1，ZNP2，系统不稳定，系统不稳定)( jwG自动控制原理自动控制原

41、理Y(s)X(s)200 3.系统结构图如图系统结构图如图1所示，其奈魁斯特曲线如图所示，其奈魁斯特曲线如图2所示。试用奈氏判据判所示。试用奈氏判据判别其稳定性。别其稳定性。) 12 . 0(102sss2w = 0+ImRew = 0-1自动控制原理自动控制原理解：系统的开环传递函数：解：系统的开环传递函数：)12.0(1021)12.0(10200)(22ssssssG)1005(100002sss显见，系统开环传递函数的极点均在显见，系统开环传递函数的极点均在S左半平面（没有不稳定左半平面（没有不稳定的极点），即的极点），即P0又，按已知的奈魁斯特曲线，它顺时针绕（又，按已知的奈魁斯特曲线，它顺时针绕（1，j0）2次，次，即即N2根据奈魁斯特稳定判据，闭环系统位于右半平面的极点数：根据奈魁斯特稳定判据，闭环系统位于右半平面的极点数：ZNP202故可判定此系统闭环不稳定。故可判定此系统闭环不稳定。自动控制原理自动控制原理v课后习题课后习题v5、6、10、11、12、14、15、16、17、19温馨提示：本PPT课件下载后，即可编辑修改，也可直接使用。（希望本课件对您有所帮助）