浅谈数学的思想和方法

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1、浅谈数学的思想和方法 宾县一中 刘庆森美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理”“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的”数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分 知识是人们在改造世界的实践中所获得的认识和经验的总和，它是人类文化的核心内容。在数学学科中，概念、法则、性质、公式、公理、定理等显然属于知识的范围。这些知识要素也都有其本身的内容。问题是，这丰富多彩的内容反映了哪些共同的、带有本质性的东西?实践和研究都已说明：这就是数学思想和数学方法。它们是知识中奠基性的成分，是人们为获得概

2、念、法则、性质、公式、公理、定理等所必不可少的(请注意这里的“法则”中还含有“法”字)。它们是人类文化的重要组成部分之一，数学文化的核心内容即知识中的核心，也就是数学文化的“重中之重”。因此，把思想、方法归属于知识的范围，比起把知识、技能和方法三者并列起来更为科学。一、 数学思想方法一般内涵的认识 数学思想是人们在长期的数学活动中提练出的高层次的观念性思维形式, 是对数学知识和方法的本质的认识, 它是数学科学和数学学科固有的数学灵魂; 数学方法, 是分析解决问题和实现数学思想的操作手段和工具, 是数学思想的具体化反映. 运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程, 当这种积累达到一定

3、程度时, 就会产生飞跃, 从而上升为数学思想. 数学思想对数学方法起着指导作用. 因此, 人们通常将数学思想方法看成一个整体概念。 数学方法的特点体现在它的高度的抽象性胜过任何科学思维所具有的抽象性。它只保留了事物量的关系和空间形式。数学方法的逻辑的严格性和结论的确定性比任何方法都精确，数学研究能在纯粹化的状态中进行，从而使它获得了单义性、直观性和独立性。数学方法还具有应用的普遍性，这主要是它的高度抽象性的原因，当然，对不同性质的事物，运用数学方法的要求和可能性是不同的，它既取决于科学技术发展的状况，又取决于数学本身发展的水乎。数学方法在现代科学技术的发展中已经成为一种必不可少的手段，几乎所有

4、的科研项目和工程项目都离不开它。这是因为数学方法能为科学技术研究提供简洁精确的形式化语言，数学语言的运用把数学的抽象能力和精确性带给了科学和技术。对科学来说，如果不运用数学所提供的符号语言，只靠日常的自然语言，就连简单的自然规律都难以说清，更不可能描述复杂现象的内在联系了。特别是现代科学如果不运用数学语言及其所体现的抽象能力，是无法把握微观世界、宏观世界和许多难以接近的宏观对象的，可以说在现代离开数学语言的运用，科学研究工作将寸步难行。 数学方法也能为科学技术研究提供逻辑推理的工具，这是因为数学方法的基本特征之一是逻辑的严格性和结论的确定性。在科学研究中运用数学方法就使由此而得出的科学结论和原

5、理具有逻辑必然性和可靠性，许多重要的科学结论就是建立在严格逻辑推导基础之上的。数学方法更能为科学技术研究提供数量分析和计算的方法，从定性描述进入定量分析的计算正是数学方法在其中起着不可替代的作用。在科学技术领域内定量分析和计算是不可缺少的，现代技术的发展已出现日益数学化的趋势，象原子能的开发和利用，空间技术和大型工程，如果不借助数学方法进行周密的理论分析和准确的数值计算，其后果将是不堪设想的。 数学方法与数学思想互为表里，它们都建立在一定的知识基础上，反过来又促使知识的深化和向能力的转化。中学数学中用到的各种解题方法，都体现着一定的数学思想，可以说数学方法与数学思想既同一又有差异，所以我们一般

6、笼统的称为“数学思想方法”。 数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中，是对数学规律的理性认识。布鲁纳指出，掌握基本数学思想和方法能使数学更易于理解和更易于记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”。从更基本的意义上讲，数学学习不仅是指具体的数学知识、解题技能和技巧的学习，更是一种思维模式、思想方法的学习。中学数学中比较重要的思想方法有：符号思想、映射思想、化归思想、分类讨论的思想、转换思想等。在中学数学教材中，数学思想方法渗透其间，并没有系统的归纳和总结，也没有充分的讲解和讨论。教师在教学中也往往忽略对数学思想方法的教学时机的把握

7、。或滞后于学生的学习；或脱离基础知识的学习；或蜻蜓沾水一触即逝；或哗众取宠的在课后小结中列出几个名词。而对怎样挖掘基础知识中的数学思想方法，如何自觉地渗透数学思想方法的教学，如何坚持不懈地培养学生数学思想方法的应用意识缺乏系统的探究，致使学生对基础知识的学习仅限于理解概念，记住公式、定理，模仿性解题这些浅层次水平上，很难培养出高素质的创新型人才。二、对加强数学思想方法教学意义的认识2.1 加强数学思想方法的教学是义务教育的需要 我国的中学数学教学大纲，对于数学思想和数学方法的重要性的认识是一个从低到高的过程。由中华人民共和国教育部制订、1978年2月第1版的全日制十年制学校中学数学教学大纲(试

8、行草案)，在第2页“教学内容的确定”的第(三)条中首次指出：“把集合、对应等思想适当渗透到教材中去，这样，有利于加深理解有关教材，同时也为进一步学习作准备。”这一大纲在1980年5月第2版时维持了上述规定。由中华人民共和国国家教育委员会制订、1986年12月第1版的全日制中学数学教学大纲，在第2页“教学内容的确定”的第(三)条中，把上述大纲的有关文字改成一句话：“适当渗透集合、对应等数学思想”。1990年修订此大纲时，维持了这一规定。由中华人民共和国国家教育委员会制订、1992年6月第1版的九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用)，在第1页“教学目的”中规定：“初中数学的基础知识主要是初

9、中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。”这份大纲还第一次把资深的数学工作者们熟知的提法“数学，它的内容、方法和意义”改为数学的“内容、思想、方法和语言已广泛渗入自然科学和社会科学，成为现代文化的重要组成部分”，并把这段话放入总论的第一段。在第9页上又指出，要“使学生掌握消元、降次、配方、换元等常用的数学方法，解决某些数学问题，理解特殊一般特殊、未知已知、用字母表示数、数形结合和把复杂问题转化成简单问题等基本的思想方法”；在第6页上还指出，“要注意充分发挥练习的作用，加强对解题的正确指导，应注意引导学生从解题的思想方法上作必要的概括。”由国家教

10、育委员会基础教育司编订、1996年5月第1版的全日制普通高级中学数学教学大纲(供试验用)，在第2页“教学目的”中也规定：“高中数学的基础知识是指：高中数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法。”在界定“思维能力”一词的四个主要层面时，指出第三层面是“会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点”；第四层面是“能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质”。这份大纲维持了数学的“内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分”的提法(第1页)；并指出数学规律“包括公理、性质、法则、公式、定理及其联系，数学思想、方法和语言”(第24页)；坚持在

11、对解题进行指导时，应该“对解题的思想方法作必要的概括”(第25页)。这是建国以来对数学思想和数学方法关注最多的一份中学数学教学大纲，充分体现了数学教育工作者对于数学课程发展的一些共识。可见, 大纲已把数学思想方法作为数学知识的重要组成部分.实际上, 数学思想方法和基础知识是数学结构中并列的两大强有力的支柱, 数学思想方法是增强学生数学概念, 形成数学素质的关键. 如果说历史是是数学思想方法推动了科学技术的进步和发展, 那么在数学教学中, 就是数学思想方法传导着数学的精神, 塑造着人的灵魂, 对新一代人的数学素质施加着深刻、稳定而持久的影响. 因此, 加强数学思想方法的教学, 就等于找到了中学数

12、学中进行素质教育的突破口.2.2 加强数学思想方法教学是优化数学认知过程的基本策略中学数学教材所涉及到的数学思想方法和数学知识点汇成了数学知识结构系统的两条“河流”, 具体知识是外显的“明河流”, 数学思想方法则是内隐的“暗河流”, 但它是获取数学知识, 发展数学素质的动力工具. 有了数学思想方法, 数学知识便不再是孤立的、零散的东西, 其整体强度会增加. 因此, 教师在教学过程中, 善于发现和总结知识形成过程中所运用的数学思想方法, 让沉重反复体验和总结数学思想方法在其中的指导作用, 就会在他们各自的潜意识中打下深深的数学思想方法的烙印, 自觉或不自觉地运用到解决问题的过程中去, 分析问题、

13、解决问题的思维角度和层次就会大大提高.三、 对数学思想方法内容的认识数学科学的全部内容, 是由数学问题、数学理论知识(简称知识)、数学思想和方法组成的系统, 其中的数学思想和方法最具有活力和魅力, 她是连结数学知识的“桥梁”和“纽带”, 是数学科学的灵魂. 数学思想方法如浩瀚的明星或隐或现地交线路在数学科学的每一个角落. 方法与问题解决互为因果,相辅相成,一切数学活动就是方法与问题解决的辩证统一和矛盾发展. 下面就具体谈一下几种数学思想方法。3.1 函数与方程的思想方法用运动和变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,寻找已知与未知之间的内在联系,再把这些联系与数学知识联想起来,建立函数关系

14、或列出方程,利用函数性质或方程来解决问题. 这种数学思想方法称之为函数与方程的思想方法,这是现代数学的一种基本方法. 函数与方程思想是重要的数学思想之一,许多数学问题的解决,都渗透着函数与方程的思想. 一些看起来和函数与方程联系不明显的问题,若能注意到它所隐藏的函数与方程的思想实质,通过转化,变换角度,便能使问题的解决更加明快、简捷.我们知道，当函数的自变量的取值范围变为取一切正整数时，函数就演变成了数列如等差数列的通项公式是出一次函数演变而来的，等差数列的前n项求和公式是由常数项为0的二次函数演变而来的等，由于数列与函数之间存在着这种“天然”的联系，而函数与方程又是密不可分的，我们自然就想到

15、了用函数与方程的思想来解数列所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，用函数的有关知识去分析问题，最终达到目的解决问题运用函数思想解题是中学数学中的一种重要方法.3.2 归纳的思想方法所谓归纳法就是从特殊到一般的推理方法，归纳分为两种形式：完全和不完全。完全归纳法：所谓完全归纳法就是根据一切特殊情况的考虑而作出的推理，由于应用完全归纳法时必须考虑所有对象的情况，所以得出的结论自然是可靠的，不过在一般情况下，所要考虑的对象总是相当的，甚至是无穷多的。特别在数学里，我们常常需要了解无穷多个对象的情况。不完全归纳法：不完全归纳法就是根据一个或几个（但不是全部）特别情况作

16、出的推理。其实归纳法还有一种用的比较多的方法那就是数学归纳法。归纳是一种基本的思想方法,通过对问题的若干种简单或特殊情况的探索、分析和研究, 由表及里, 由特殊到一般,从中发现某种规律,进而总结出一般结论,利用这种规律,找到解决一般问题的途径. 它是一种较为简单易行的发现法. 许多的定理、法则、公式都是抽象、概括、归纳得出来的. 这符合辩证唯物主义的认识规律 “特殊一般特殊”.3.3 化归思想方法 在数学学习中经常会用到化归思想例如，学习过有理数加法以后，在做有理数减法时，则利用相反数的概念，将减法化归为加法来做，即减去一个数等于加上这个数的相反数；做除法时，则利用倒数概念化归为乘法来做，即除

17、以一个数等于乘以这个数的倒数这些已是司空见惯不足为奇 从字面上看，所谓“化归”，可以理解为转化和归结的意思数学方法论中所论及的“化归方法”，是指数学家们招待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法化归方法也称为化归原则。 从其基本思想而言，容易看出，化归原则与波利亚关于在解题过程中应充分利用“辅助问题”的思想是十分一致的波利亚这样写道：“去设计并解出一个合适的辅助问题，从而用它求得一条通向一个表面上看来很难接近的问题的通道，这是员富有特色的一种智力活动”此处所谓的“辅助问题”为：等价问题、较强或较弱的辅助问题即间

18、接问题由此可以看出化归方法的主要特点就在于它具有更强的目的性、方向性和概括性我们在此就是希望通过由未知到已知，由难到易，由繁到简的化归来达到解决问题的目的，而且所有有关的解题过程又都可以统一地归结为上述的模式3.4 数形结合的思想方法 “数形结合”是指对题目中的条件和结论既分析其代数意义又分析其几何意义，力图通过“数”与“形”的结合与转化找出解题思路它作为一种基本的数学思想方法，沟通了代数、三角、几何的内在联系著名数学家华罗庚先生说：“数与形，本是相倚依，数缺形时少直觉，形少数时难人微“以形助数”可使抽象概念和关系直观而形象，“以数解形”用数去研究形可获得一般化的解法四对数学思想方法教学策略的

19、认识4. 1提高渗透数学思想方法的意识数学思想方法作为基础知识的重要组成部分, 这是新大纲体现义务教育性质, 提高学生的数学素质的一大举措. 由于数学思想方法的呈现形式常常是隐蔽的; 学生难以从教材中获取, 要求教师必须深入研究教材, 努力挖掘教材在各个环节中所渗透的数学思想方法, 提出相应的具体要求. 在阶段复习时, 要注意总结概括, 加强各知识点与数学思想方法的联系, 突出数学思想方法的策略.4.2把握渗透数学思想方法的契机数学知识的形成过程, 往往也是数学思想方法的形成过程, 在教学中, 教师向学生充分展示知识的形成过程, 让学生反复体验其中数学思想方法的导向功能, 就会在学生思维意识中

20、打下数学思想方法的烙印, 从而上升为数学形为背后的内驱力, 优化数学学习及研究的进程.4.3注意形成体系数学思想方法的认识结构的形成必将遵守循序渐进的原则, 经过反复总结、概括, 才能使学生真正领悟到. 应不失时机地进行系统总结, 概括, 阐明其中的作用. 明确各知识点中隐含着哪种数学思想, 如何设计渗透数学思想方法的教学过程. 注重阶段性归纳, 概括, 从而形成数学思想方法体系. 以利于巩固、运用和提高.数学思想方法是学生获取数学知识, 发展思维能力的动力工具. 教学中要注意有意识、有目的地结合数学知识, 恰到好处地设置问题系列, 反复运用数学思想方法, 并不断在解决问题的过程中得到深化, 学生的数学素质就会相应提高.