高考数学回归课本三角函数教案旧人教版

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1、- 1 - / 11 文档可自由编辑打印高考数学回归课本教案高考数学回归课本教案第六章第六章 三角函数三角函数一、基础知识一、基础知识定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。定义 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360 度=2 弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|=rL,其中 r 是圆的半径。定义 3 三角函数，在直角坐标平面内，把角 的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取

2、一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y） ，到原点的距离为 r,则正弦函数 sin=ry,余弦函数cos=rx,正切函数tan=xy，余切函数cot=yx，正割函数 sec=xr,余割函数csc=.yr定理 1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan=cot1,sin=csc1，cos=sec1；商数关系：tan=sincoscot,cossin；乘积关系：tancos=sin,cotsin=cos；平方关系：sin2+cos2=1, tan2+1=sec2, cot2+1=csc2.定理 2 诱导公式（）sin(+)=-sin, cos(+)=-cos, tan(+)=tan, co

3、t(+)=cot;（）sin(-)=-sin, cos(-)=cos, tan(-)=-tan, cot(-)=cot; （）sin(-)=sin, cos(-)=-cos, tan=(-)=-tan, cot(-)=-cot; （）sin2=cos, cos2=sin, tan2=cot（奇变偶不变，符号看象限） 。定理 3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（xR）的性质如下。单调区间：在区间22 ,22kk上为增函数，在区间232 ,22kk上为减函数，最小正周期为 2. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+2时，y取最大值 1，当且仅当x=3k-2时, y取最小值-1。对称性：

4、直线x=k+2均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心，值域为-1，1。这里kZ.定理 4 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(xR R)的性质。单调区间：在区间2k, 2k+上单调递减，在区间2k-, 2k上单调递增。最小正周期为 2。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=k 均为其对称轴，点0 ,2k均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2k 时，y取最大值 1；当且仅当x=2k- 时，y取最小值-1。值域为-1，1。这里kZ Z.定理 5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xk+2)在开区间(k-2, k+2)上- 2 - / 11 文档可自由编辑打印为增函数, 最小正周期为

5、，值域为（-，+） ，点（k，0） ， （k+2，0）均为其对称中心。定理 6 两角和与差的基本关系式：cos()=coscossinsin,sin()=sincoscossin; tan()=.)tantan1 ()tan(tan定理 7 和差化积与积化和差公式:sin+sin=2sin2cos2,sin-sin=2sin2cos2,cos+cos=2cos2cos2, cos-cos=-2sin2sin2,sincos=21sin(+)+sin(-),cossin=21sin(+)-sin(-),coscos=21cos(+)+cos(-),sinsin=-21cos(+)-cos(-).

6、定理 8 倍角公式:sin2=2sincos, cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2, tan2=.)tan1 (tan22定理 9 半角公式:sin2=2)cos1 (,cos2=2)cos1 (,tan2=)cos1 ()cos1 (=.sin)cos1 ()cos1 (sin定理 10 万能公式: 2tan12tan2sin2, 2tan12tan1cos22,.2tan12tan2tan2定理 11 辅助角公式：如果a, b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为 ，则 sin=22bab,cos=22baa，对任意的角 .a

7、sin+bcos=)(22ba sin(+).定理 12 正弦定理：在任意ABC中有RCcBbAa2sinsinsin，其中a, b, c分别是角A，B，C的对边，R 为ABC外接圆半径。定理 13 余弦定理：在任意ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。定理 14 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换） ；纵坐标不变，横坐标变为原来的1，得到y=sinx(- 3 - / 11 文档可自由编辑打印0)的图象（周期变换） ；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx

8、的图象（振幅变换） ；y=Asin(x+)(0)的图象（周期变换） ；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换） ；y=Asin(x+)(, 0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。定义 4 函数y=sinx2,2x的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x-1, 1)，函数y=cosx(x0, ) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x-1, 1). 函数y=tanx2,2x的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x-, +). y=cosx(x0, )的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x-, +).

9、定理 15 三角方程的解集，如果a(-1,1)，方程 sinx=a的解集是x|x=n+(-1)narcsina, nZ Z。方程cosx=a的解集是x|x=2kxarccosa, kZ Z. 如果aR R，方程tanx=a的解集是x|x=k+arctana, kZ Z。恒等式：arcsina+arccosa=2；arctana+arccota=2.定理 16 若2, 0 x，则 sinxx-1，所以cos0 ,2x，所以 sin(cosx) 0,又 00，所以cos(sinx)sin(cosx).若2, 0 x，则因为sinx+cosx=2cos22sin222xx(sinxcos4+sin4

10、cosx)=2sin(x+4)22，所以 0sinx2-cosxcos(2-cosx)=sin(cosx).综上，当x(0,)时，总有cos(sinx)0，求证：. 2sincossincosxx【证明】 若 +2，则x0，由 2-0 得coscos(2-)=sin,- 4 - / 11 文档可自由编辑打印所以 0sincossin(2-)=cos, 所以 0sincos1，所以. 2sincossincossincossincos00 xx若 +2，则x0，由 02-cos(2-)=sin0,所以sincos1。又 0sin1，所以2sincossincossincossincos00 xx

11、，得证。注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。3最小正周期的确定。例 4 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。【解】 首先，T=2 是函数的周期（事实上，因为cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx） ；其次，当且仅当x=k+2时，y=0（因为|2cosx|2）,所以若最小正周期为T0，则T0=m, mN+，又 sin(2cos0)=sin2sin(2cos)，所以T0=2。4三角最值问题。例 5 已知函数y=sinx+x2cos1，求函数的最大值与最小值。【解法一】 令 sinx=4304sin2cos1,cos22x,则有y=)

12、.4sin(2sin2cos2因为4304，所以42，所以)4sin(01，所以当43，即x=2k-2(kZ)时，ymin=0，当4，即x=2k+2(kZ)时，ymax=2.【解法二】 因为y=sinx+)cos1(sin2cos1222xxx,=2（因为(a+b)22(a2+b2)） ，且|sinx|1x2cos1，所以 0sinx+x2cos12，所以当x2cos1=sinx，即x=2k+2(kZ)时, ymax=2，当x2cos1=-sinx，即x=2k-2(kZ)时, ymin=0。例 6 设 0，求 sin)cos1 (2的最大值。- 5 - / 11 文档可自由编辑打印【解】因为

13、00, cos20.所以 sin2（1+cos）=2sin2cos22=2cos2cos2sin22222 322232cos2cos2sin22=.9342716当且仅当 2sin22=cos22, 即tan2=22, =2arctan22时，sin2(1+cos)取得最大值934。例 7 若A，B，C为ABC三个内角，试求 sinA+sinB+sinC的最大值。【解】 因为 sinA+sinB=2sin2BAcos2sin22BABA, sinC+sin23sin223cos23sin23CCC, 又因为3sin243cos43sin223sin2sinCBACBACBA，由，得 sinA

14、+sinB+sinC+sin34sin3,所以 sinA+sinB+sinC3sin3=233,当A=B=C=3时， （sinA+sinB+sinC）max=233.注：三角函数的有界性、|sinx|1、|cosx|1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。5换元法的使用。例 8 求xxxxycossin1cossin的值域。【解】 设t=sinx+cosx=).4sin(2cos22sin222xxx因为, 1)4sin(1x所以. 22t又因为t2=1+2sinxcosx,所以 sinxcosx=212t，所以211212ttxy，- 6 -

15、 / 11 文档可自由编辑打印所以.212212y因为t-1，所以121t，所以y-1.所以函数值域为.212, 11,212y例 9 已知a0=1, an=11121nnaa(nN N+)，求证：an22n.【证明】 由题设an0，令an=tanan, an2, 0，则an=.tan2tansincos1tan1sectan1tan111111112nnnnnnnnaaaaaaaa因为21na，an2, 0，所以an=121na，所以an=.210an又因为a0=tana1=1，所以a0=4，所以nna214。又因为当 0 xx，所以.22tan22nnna注：换元法的关键是保持换元前后变量

16、取值范围的一致性。另外当x2, 0时，有tanxxsinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。6图象变换：y=sinx(xR R)与y=Asin(x+)(A, , 0).由y=sinx的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1，得到y=Asin(x+)的图象；也可以由y=sinx的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1，最后向左平移个单位，得到y=Asin(x+)的图象。例 10 例 10 已知f(x)=sin(x+)(0, 0)是 R R 上的偶函数，其图象关于点0

17、 ,43M对称，且在区间2, 0上是单调函数，求和的值。【解】 由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以 sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，对任意xR 成立。又 0，解得=2，因为f(x)图象关于0 ,43M对称，所以)43()43(xfxf=0。取x=0，得)43(f=0，所以sin. 0243- 7 - / 11 文档可自由编辑打印所以243 k(kZ Z)，即=32(2k+1) (kZ Z).又0，取k=0 时，此时f(x)=sin(2x+2)在0，2上是减函数；取k=1 时，=2，此时f(x)=sin(2x+2)在0，2上是减函数；取k=2 时，310，

18、此时f(x)=sin(x+2)在0，2上不是单调函数，综上，=32或 2。7三角公式的应用。例 11 已知sin(-)=135，sin(+)=- 135，且 -,2，+2 ,23，求sin2,cos2 的值。【解】 因为 -,2，所以cos(-)=-.1312)(sin12又因为 +2 ,23，所以cos(+)=.1312)(sin12所以sin2=sin(+)+(-)=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=169120,cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=-1.例 12 已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且BCAcos2c

19、os1cos1，试求2cosCA的值。【解】 因为A=1200-C，所以cos2CA=cos(600-C)，又由于)120cos(coscos)120cos(cos1)120cos(1cos1cos1000CCCCCCCA=2221)2120cos()60cos(2)2120cos(120cos21)60cos(60cos2000000CCCC，所以232cos22cos242CACA=0。解得222cosCA或8232cosCA。又2cosCA0，所以222cosCA。例 13 求证：tan20+4cos70.【解】 tan20+4cos70=20cos20sin+4sin20- 8 - /

20、 11 文档可自由编辑打印20cos40sin220sin20cos20cos20sin420sin20cos40sin10cos30sin220cos40sin40sin20sin. 320cos20cos60sin220cos40sin80sin三、基础训练题三、基础训练题1已知锐角x的终边上一点A的坐标为(2sin3, -2cos3)，则x的弧度数为_。2适合xxxxcos1cos1cos1cos1-2cscx的角的集合为_。3给出下列命题：（1）若 ，则sinsin；（2）若sinsin,则；（3）若sin0，则 为第一或第二象限角；（4）若 为第一或第二象限角，则sin0. 上述四个

21、命题中，正确的命题有_个。4已知sinx+cosx=51(x(0, )，则cotx=_。5简谐振动x1=Asin3t和x2=Bsin6t叠加后得到的合振动是x=_。6已知 3sinx-4cosx=5sin(x+1)=5sin(x-2)=5cos(x+3)=5cos(x-4)，则1，2，3，4分别是第_象限角。7满足sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角x共有_个。8已知223 x，则xcos21212121=_。940cos170sin)10tan31 (50sin40cos=_。10cot15cos25cot35cot85=_。11已知 ,(0, ), tan212, sin(

22、+)=135，求cos 的值。12已知函数f(x)=xxmcossin2在区间2, 0上单调递减，试求实数m的取值范围。四、高考水平训练题1已知一扇形中心角是a,所在圆半径为 R，若其周长为定值c(c0)，当扇形面积最大时，a=_.2. 函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是_.3. 函数xxycos2sin2的值域为_.4. 方程xxlg62sin2=0 的实根个数为_.5. 若sina+cosa=tana, a2, 0，则3_a（填大小关系）.6. (1+tan1)(1+tan2)(1+tan44)(1+tan45)=_.- 9 - / 11 文档可自由编辑打印7.

23、 若 0yx0, k=-1，求f(x)的单调区间；（3）试求最小正整数k，使得当x在任意两个整数（包括整数本身）间变化时，函数f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。五、联赛一试水平训练题（一）五、联赛一试水平训练题（一）1若x, yR R，则z=cosx2+cosy2-cosxy的取值范围是_.2已知圆x2+y2=k2至少盖住函数f(x)=kxsin3的一个最大值点与一个最小值点，则实数k的取值范围是_.3f()=5+8cos+4cos2+cos3的最小值为_.4方程sinx+3cosx+a=0 在（0，2）内有相异两实根 ，则+=_.5函数f(x)=|tanx|+|cotx|的单调递增区间

24、是_.6设sina0cosa, 且sin3acos3a，则3a的取值范围是_.7方程tan5x+tan3x=0 在0，中有_个解.8若x, yR R, 则M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值为_.9若 00)在一个最小正周期长的区间上的- 10 - / 11 文档可自由编辑打印图象与函数g(x)=12a的图象所围成的封闭图形的面积是_.2若3,125x，则y=tan32x-tan6x+cos6x的最大值是_.3在ABC中，记BC=a, CA=b, AB=c, 若 9a2+9b2-19c2=0，则BACcotcotcot=_.4设f(x)=x2-x, =arcsin31, =arc

25、tan45, =arccos31, =arccot45, 将f(), f(), f(), f()从小到大排列为_.5logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。将a, b, c, d 从小到大排列为_.6在锐角ABC中，cosA=cossin, cosB=cossin, cosC=cossin，则tantantan=_.7已知矩形的两边长分别为tan2和 1+cos(00 恒成立，则的取值范围是_.10已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，则cos2x+ cos2y+ cos2z=_.11已

26、知a1, a2, ,an是n个实常数，考虑关于x的函数：f(x)=cos(a1+x)+21cos(a2+x) +121ncos(an+x)。求证：若实数x1, x2满足f(x1)=f(x2)=0，则存在整数m，使得x2-x1=m.12在ABC中，已知3coscoscossinsinsinCBACBA，求证：此三角形中有一个内角为3。13求证：对任意自然数n, 均有|sin1|+|sin2|+|sin(3n-1)|+|sin3n|58n.六、联赛二试水平训练题六、联赛二试水平训练题1已知x0, y0, 且x+y0（wR R）.2. 已知a为锐角，n2, nN N+，求证：1cos11sin1aa

27、nn2n-212n+1.3. 设x1, x2, xn, y1, y2, yn,满足x1=y1=3, xn+1=xn+21nx, yn+1=211nnyy，求证：2xnyn3(n2).4已知 ， 为锐角，且cos2+cos2+cos2=1，求证；43+m，求证：对一切x2, 0都有 2|sinnx-cosnx|3|sinnx-cosnx|.7在ABC中，求sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC的最大值。8求的有的实数a, 使cosa, cos2a, cos4a, , cos2na, 中的每一项均为负数。9已知i2, 0，tan1tan2tann=22n, nN N+, 若对任意一组满足上述条件的1，2，n都有cos1+cos2+cosn，求 的最小值。