高考数学难点突破_难点40__探索性问题

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1、难点40 探索性问题高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题.难点磁场1.（）已知三个向量a、b、c，其中每两个之间的夹角为120°，若a=3,b=2,c=1，则a用b、c表示为 .2.（）假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1p，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，则对于多大的p而言，4引擎飞机比2引擎飞机更为安全？案例探究例1已知函数(a,cR,a0,b是自然数）是奇函数，f(x)有最大值

2、，且f(1).（1）求函数f(x)的解析式；（2）是否存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，并且使得P、Q两点关于点（1，0）对称，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由.命题意图：本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力，属级题目.知识依托：函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题.错解分析：不能把a与b间的等量关系与不等关系联立求b；忽视b为自然数而导致求不出b的具体值；P、Q两点的坐标关系列不出解.技巧与方法：充分利用题设条件是解题关键.本题是存在型探索题目，注意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，

3、给出肯定的结论，并加以论证.解：（1）f(x)是奇函数f(x)=f(x)，即bx+c=bxcc=0f(x)=由a0，b是自然数得当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)0f(x)的最大值在x0时取得.x0时，当且仅当即时，f(x)有最大值=1,a=b2 又f(1)，,5b2a+2 把代入得2b25b+20解得b2又bN,b=1,a=1,f(x)=（2）设存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，且P、Q关于点（1，0）对称，P(x0,y0)则Q（2x0,y0)，,消去y0，得x022x01=0解之，得x0=1±,P点坐标为()或()进而相应Q点坐标为Q（）或Q().过P、Q的直线

4、l的方程：x4y1=0即为所求.例2如图，三条直线a、b、c两两平行，直线a、b间的距离为p，直线b、c间的距离为，A、B为直线a上两定点，且AB=2p，MN是在直线b上滑动的长度为2p的线段.（1）建立适当的平面直角坐标系，求AMN的外心C的轨迹E；（2）接上问，当AMN的外心C在E上什么位置时，d+BC最小，最小值是多少？（其中d是外心C到直线c的距离）.命题意图：本题考查轨迹方程的求法、抛物线的性质、数形结合思想及分析、探索问题、综合解题的能力.属级题目.知识依托：求曲线的方程、抛物线及其性质、直线的方程.错解分析：建立恰当的直角坐标系是解决本题的关键，如何建系是难点，第二问中确定C点位

5、置需要一番分析.技巧与方法：本题主要运用抛物线的性质，寻求点C所在位置，然后加以论证和计算，得出正确结论，是条件探索型题目.解：（1）以直线b为x轴，以过A点且与b直线垂直的直线为y轴建立直角坐标系.设AMN的外心为C(x,y)，则有A(0,p)、M（xp,0)，N(x+p,0)，由题意，有CA=CM,化简，得x2=2py它是以原点为顶点，y轴为对称轴，开口向上的抛物线.（2）由（1）得，直线C恰为轨迹E的准线.由抛物线的定义知d=CF，其中F（0,）是抛物线的焦点.d+BC=CF+BC由两点间直线段最短知，线段BF与轨迹E的交点即为所求的点直线BF的方程为联立方程组得.即C点坐标为().此时

6、d+BC的最小值为BF=.锦囊妙计如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题.条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征.解决探索性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求，高考题中一般对这类问题有如下方法：（1）直接求解；（2）观察猜测证明；（3）赋值推断；（4）数形结合；（5）联想类比；（6）特殊一般特殊.歼灭难点训练一、选择题1.（）已知直线l平面，直线m平面，有下面四个命题，其中正确命题是( )lm lm lm lmA.与 B.与 C.与 D.与2.（）某邮局只有0.60元，0.8

7、0元，1.10元的三种邮票.现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴邮票的张数最少，且资费恰为7.50元，则最少要购买邮票( )A.7张 B.8张 C.9张 D.10张二、填空题3.()观察sin220°+cos250°+sin20°cos50°=,sin215°+cos245°+sin15°·cos45°=，写出一个与以上两式规律相同的一个等式 .三、解答题4.（）在四棱锥PABCD中，侧棱PA底面ABCD，底面ABCD是矩形，问底面的边BC上是否存在点E.（1）使PED=90°；（2）使PE

8、D为锐角.证明你的结论.5.（）已知非零复数z1,z2满足z1=a,z2=b,z1+z2=c（a、b、c均大于零），问是否根据上述条件求出？请说明理由.6.（）是否存在都大于2的一对实数a、b(ab)使得ab, ,ab,a+b可以按照某一次序排成一个等比数列，若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由.7.（）直线l过抛物线y2=2px(p0）的焦点且与抛物线有两个交点，对于抛物线上另外两点A、B直线l能否平分线段AB？试证明你的结论.8.（）三个元件T1、T2、T3正常工作的概率分别为0.7、0.8、0.9，将它们的某两个并联再和第三个串联接入电路，如图甲、乙、丙所示，问哪一种接法使电路不发

9、生故障的概率最大？参 考 答 案难点磁场1.解析：如图a与b，c的夹角为60°,且|a|=|a|=3.由平行四边形关系可得a=3c+b,a=3cb.答案：a=3cb2.解析：飞机成功飞行的概率分别为：4引擎飞机为：2引擎飞机为.要使4引擎飞机比2引擎飞机安全，则有：6P2（1P）2+4P2（1P）+P42P(1P)+P2,解得P.即当引擎不出故障的概率不小于时，4引擎飞机比2引擎飞机安全.歼灭难点训练一、1.解析：l且l,mlm.且ll,但不能推出lm.lm,lm,由m.lm,不能推出.答案：B2.解析：选1.1元5张，0.6元2张，0.8元1张.故8张.答案：B二、3.解析：由50

10、°20°=(45°15°)=30°可得sin2+cos2(+30°)+sincos(+30°)=.答案：sin2+cos2(+30°)+sincos(+30°)=三、4.解：(1)当ABAD时，边BC上存在点E，使PED=90°当AB>AD时，使PED=90°的点E不存在.（只须以AD为直径作圆看该圆是否与BC边有无交点）（证略）（2）边BC上总存在一点，使PED为锐角，点B就是其中一点.连接BD，作AFBD，垂足为F，连PF，PA面ABCD，PFBD，又ABD为直角三角形，F点

11、在BD上，PBF是锐角.同理，点C也是其中一点.5.解：|z1+z2|2=(z1+z2)(+)=|z1|2+|z2|2+(z1+z2)c2=a2+b2+(z1+z2)即：z1+z2=c2a2b2z10,z20，z1+·z2= =|z2|2()+|z1|2()即有：b2()+a2()=z1z2+z1z2b2()+a2()=c2a2b2a2()2+(a2+b2c2)()+b2=0这是关于的一元二次方程，解此方程即得的值.6.解：a>b,a>2,b>2,ab,ab,a+b均为正数，且有ab>a+b>,ab>a+b>ab.假设存在一对实数a,b使ab

12、,a+b,ab按某一次序排成一个等比数列，则此数列必是单调数列.不妨设该数列为单调减数列，则存在的等比数列只能有两种情形，即ab,a+b,ab,或ab,a+b,ab由（a+b）2ab·所以不可能是等比数列，若为等比数列，则有：经检验知这是使ab,a+b,ab,成等比数列的惟一的一组值.因此当a=7+,b=时，ab,a+b,ab,成等比数列.7.解：如果直线l垂直平分线段AB，连AF、BF，F（，0）l.|FA|=|FB|,设A（x1,y1）,B(x2,y2),显然x1>0,x2>0,y1y2,于是有（x1）2+y12=(x2)2+y22,整理得：（x1+x2p)(x1x2

13、)=y22y12=2p(x1x2).显然x1x2(否则ABx轴，l与x轴重合，与题设矛盾）得：x1+x2p=2p即x1+x2=p<0,这与x1+x2>0矛盾，故直线l不能垂直平分线段AB.8.解：设元件T1、T2、T3能正常工作的事件为A1、A2、A3，电路不发生故障的事件为A，则P（A1）=0.7，P（A2）=0.8，P（A3）=0.9.（1）按图甲的接法求P（A）：A=（A1+A2）·A3，由A1+A2与A3相互独立，则P（A）=P（A1+A2）·P（A3）又P（A1+A2）=1P（）=1P（·）由A1与A2相互独立知与相互独立，得：P（·

14、;）=P（）·P（）=1P（A1）·1P（A2）=（10.7）×(10.8)=0.06，P(A1+A2)=0.1P(·)=10.06=0.94，P(A)=0.94×0.9=0.846.(2)按图乙的接法求P（A）：A=（A1+A3）·A2且A1+A3与A2相互独立，则P（A）=P（A1+A3）·P（A2），用另一种算法求P（A1+A3）.A1与A3彼此不互斥，根据容斥原理P（A1+A3）=P（A1）+P（A3）P（A1A3），A1与A3相互独立，则P（A1·A3）=P（A1）·P（A3）=0.7×

15、;0.9=0.63,P(A1+A3)=0.7+0.90.63=0.97.P(A)=P(A1+A3)·P(A2)=0.97×0.8=0.776.(3)按图丙的接法求P（A），用第三种算法.A=（A2+A3）A1=A2A1+A3A1,A2A1与A3A1彼此不互斥，据容斥原理，则P（A）=P（A1A2）+P（A1A3）P（A1A2A3），又由A1、A2、A3相互独立，得P（A1·A2）=P（A1）P（A2）=0.8×0.7=0.56,P(A3A1)=P(A3)·P(A1)=0.9×0.7=0.63,P(A1A2A3)=P(A1)·P(A2)·P(A3)=0.7×0.8×0.9=0.504,P(A)=0.56+0.630.504=0.686.综合（1）、（2）、（3）得，图甲、乙、丙三种接法电路不发生故障的概率值分别为0.846,0.776,0.686.故图甲的接法电路不发生故障的概率最大.