平差系统的统计假设检验

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1、11 平差系统的统计假设检验引言引言测量同一个角度、高差或距离，不同时间、不测量同一个角度、高差或距离，不同时间、不同的人测出的结果是否相当，精度是否一致？同的人测出的结果是否相当，精度是否一致？新仪器的更新换代，是否提高了精度？新仪器的更新换代，是否提高了精度？在仪器鉴定时，如何根据一部分的数据推出仪在仪器鉴定时，如何根据一部分的数据推出仪器是否满足标称精度：器是否满足标称精度：如何判断是否发生变形？如何判断一个平差系如何判断是否发生变形？如何判断一个平差系统的正确性？统的正确性？.1 假设检验的基本概念假设检验的基本概念若对若对参数参数有所有所了解了解但有怀但有怀疑猜测疑猜测需要证需要证实

2、之时实之时用假设用假设检验的检验的方法来方法来 处理处理若对参数若对参数一无所知一无所知用参数估计用参数估计的方法处理的方法处理 假设检验是对总体的概率分布或假设检验是对总体的概率分布或参数的某种假设，根据参数的某种假设，根据抽取的样本观抽取的样本观测值测值，运用，运用数理统计数理统计的分析方法，检的分析方法，检验这种假设是否成立，从而决定是否验这种假设是否成立，从而决定是否接受假设。接受假设。 所作假设可以是正确的所作假设可以是正确的, ,也可以是也可以是错误的错误的. . 什么是假设检验什么是假设检验? 例例1 1 为了检验某经纬仪的视距常数，利用为了检验某经纬仪的视距常数，利用1台仪器观

3、测一长度为精确台仪器观测一长度为精确100米的距离米的距离12次，测量数据服从正态分布次，测量数据服从正态分布 , 测得样本均值测得样本均值 ，假定观测方差不，假定观测方差不变，问能否认为该仪器的视距常数正确变，问能否认为该仪器的视距常数正确? )37.0 ,100(2N95.99x解：解：10010010：；：HH可取统计量可取统计量 ， nXU00在在 成立时，成立时， 0H) 10(，NU由由 过大是小概率事件，记过大是小概率事件，记，)(2uUPU利用样本观察值，得利用样本观察值，得 ，46.0U1.对对 ，有，有 ，296. 146. 0uU05. 0接受接受 ，拒绝，拒绝 .1H0

4、H注注1：在在 成立时，成立时， 即不能过大即不能过大 ， 也不能过小。从而，也不能过小。从而， 即不能过大即不能过大 ， 也不能过小。对某个正数也不能过小。对某个正数c，事件，事件 应是小概率事件，应是小概率事件， 得：得： .于是于是 的拒绝域为的拒绝域为 .0H0H0U )(cUP2uc 2uU 注注2：对不同的检验的显著性水平对不同的检验的显著性水平 ，同一，同一 个问题可能会得到不同的检验结果。个问题可能会得到不同的检验结果。因此，因此， 假设检验必须先给定显著性水假设检验必须先给定显著性水 平平 . 在例在例1 1中我们检验中我们检验“该仪器视距常数是该仪器视距常数是否小于否小于1

5、00100？”似乎更合理。似乎更合理。例例2 2解：解：设设10010010：；：HHnXU00仍取统计量仍取统计量 ，在在 成立时，成立时， 小一些更合理。由小一些更合理。由0HU，)(aUP得得 ，而，而 ，对对 ，有，有 ，于是于是 , 所以接受所以接受 ,拒绝拒绝 . ua46. 0U05. 0645. 1uuU0H1H双侧检验：双侧检验：拒绝域位于统计量拒绝域位于统计量 的取值两端，即的取值两端，即 检验假设提法：检验假设提法：)()(221gGgGG单侧检验：单侧检验：拒绝域位于统计量拒绝域位于统计量 的取值两端的取值两端. . G左侧单侧检验：左侧单侧检验：拒绝域位于统计量拒绝域

6、位于统计量 的的 取值左端，即取值左端，即 . .检验假设提法：检验假设提法： 或或 ；1gG0100：；：HHG0100：；：HH0100：；：HH 右侧单侧检验：右侧单侧检验：拒绝域位于统计量拒绝域位于统计量 的的 取值右端，即取值右端，即 . .检验假设提法：检验假设提法：GgG 0100：；：HH0100：；：HH或或yy2u2uu双侧检验双侧检验单侧检验单侧检验拒绝域拒绝域接受域接受域拒绝域假设检验步骤假设检验步骤(四部曲四部曲) 1.1.根据实际问题所关心的内容根据实际问题所关心的内容, ,建立建立H H0 0与与H H1 12.2.在在H H0 0为真时为真时, ,选择合适的统计

7、量选择合适的统计量V V。给定显著性水平给定显著性水平 , ,其对应的拒绝域为其对应的拒绝域为3.3.确确定拒绝域形式定拒绝域形式4. 根据样本值计算根据样本值计算, ,并作出相应的判断并作出相应的判断. .)()(221gGgG双侧检验：双侧检验：左侧单侧检验：左侧单侧检验：右侧单侧检验：右侧单侧检验：1gGgG 假设检验是由局部推断总体假设检验是由局部推断总体, ,并且是在并且是在给定检验水平给定检验水平 的前提下进行推断的前提下进行推断, ,接接受还是拒绝原假设完全取决于样本值受还是拒绝原假设完全取决于样本值, , 因此所作检验可能导致以下两类错误因此所作检验可能导致以下两类错误的产生：

8、的产生： 第一类错误弃真错误第二类错误取伪错误（ 原本成立，经检验将其拒绝）（ 原本不成立，经检验将其接受）0H0H正确正确正确正确假设检验的两类错误假设检验的两类错误 犯第一类错误的概率通常记为犯第一类错误的概率通常记为 犯第二类错误的概率通常记为犯第二类错误的概率通常记为 H0 为真为真H0 为假为假真实情况真实情况所作判断所作判断接受接受 H0拒绝拒绝 H0第一类错误第一类错误( (弃真弃真) )第二类错误第二类错误( (取伪取伪) ) 任何检验方法都不能完全排除犯错任何检验方法都不能完全排除犯错 假设检验的指导思想是控制犯第一类假设检验的指导思想是控制犯第一类误的可能性误的可能性. .

9、理想的检验方法应使犯两类理想的检验方法应使犯两类错误的概率都很小错误的概率都很小, ,但在样本容量给定的但在样本容量给定的情形下情形下, ,不可能使两者都很小不可能使两者都很小, ,降低一个降低一个, , 往往使另一个增大往往使另一个增大. .错误的概率不超过错误的概率不超过 , , 然后然后, ,若有必要若有必要, ,通通过增大样本容量的方法来减少过增大样本容量的方法来减少 . . 一般一般, ,作假设检验时作假设检验时, ,先控制犯第一先控制犯第一类错误的概率类错误的概率 , ,在此基础上使在此基础上使 尽量尽量地小地小. .要降低要降低 一般要增大样本容量一般要增大样本容量. .当当H

10、H0 0不真时不真时, ,参数值越接近真值参数值越接近真值, , 越大越大. .备择假设可以是单侧备择假设可以是单侧, ,也可以双侧也可以双侧. .注注 1 1 注注 2 2 关于原假设与备择假设的选取关于原假设与备择假设的选取H H0 0与与H H1 1地位应平等地位应平等, ,但在控制犯第一类但在控制犯第一类错误的概率错误的概率 的原则下的原则下, ,使得采取拒使得采取拒绝绝H H0 0 的决策变得较慎重的决策变得较慎重, ,即即H H0 0 得到特得到特别的保护别的保护. .因而因而, ,通常把有把握的、有经验的结论通常把有把握的、有经验的结论作为原假设作为原假设, ,或者尽可能使后果严

11、重的或者尽可能使后果严重的错误成为第一类错误错误成为第一类错误. .注注 332 假设检验的基本方法假设检验的基本方法拒绝域的推导拒绝域的推导设 X N ( 2)，(1) 检验H0 : 0 ； H1 : 0选统计量 ) 1 , 0(0NnXU给定显著性水平与样本值(x1,x2,xn )关于总体均值关于总体均值 的检验的检验1.2 已知，由,)/()(00cnXPcUP所以，本检验的拒绝域为查表得2uc ./200unXU由于检验时采用 统计量，此法称为 U 检验法U(2) 检验H0 : 0 ； H1 : 0ua0H由 得 ,)( aUPuUub 0HuU 于是 的拒绝域为 .由 得 ,)( b

12、UP于是 的拒绝域为 . 0 0 =0 = 0 02uU uUuU U U 检验法检验法 ( 2 2 已知已知) )原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域) 1 , 0(/0NnXU2.2 未知，取统计量) 1(/0ntnSXT类似于 已知，有双侧检验的拒绝域为：左侧单侧检验的拒绝域为：右左侧单侧检验的拒绝域为：2由于检验时采用 统计量， 此法称为 T 检验法T22/tT tTtT 0 0 = 0 =02tT 0tT tT) 1(/0ntnSXTT T 检验法检验法 ( 2 2 未知未知) )原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域)()(1212

13、202nXnii总体方差总体方差 的检验的检验当 已知时，取统计量：当 未知时，取统计量：) 1() 1(22022nSn两种检验都称为 检验法检验法22).(),(22/22/1nbna, 2/)()(22bPaP2得得的值即不能过大，也不能过小。的值即不能过大，也不能过小。由由对对 查表得，查表得，,1 . 06 .12)6()(,64. 1)6()(205. 022/295. 022/1nn 2= 02 2 02)(22n 2 02) 1(22n 2 02) 1(212n 2= 02 2= 02 2 02) 1() 1(2221222nn或原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为

14、真时的分布拒绝域) 1() 1(22022nSn( 未知) 检验法检验法（均值未知）（均值未知）23 两正态总体的参数检验两正态总体的参数检验两相互独立的正态分布为：),(21xnXXX及两相互独立的简单随机样本为：),(21ynYYY及两样本均值分别记为：和两样本方差分别记为：和显著性水平为),(2xxNX),(2yyNYYX2xS2yS关于均值关于均值的比较的比较1. 及 已知U 检验法检验法取统计量在 时，2x2yyyxxnnYXU22yx) 1, 0( NU（1） 对 由 得 的拒绝域（2） 对（3） 对由 得 的拒绝域类似可 得 的拒绝域 yxyxH；：0,)(2/ uUP0Hyxy

15、xH；：02/uU 0HyxyxH；：00HuU uU,)( uUP2. 及 未知，但 已知取统计量在 时，其中T检验法检验法2x2y22yxyxnnSYXT112) 1() 1(22yxyyxxnnSnSnSyx)2(yxnntT 关于均值关于均值的检验的检验( 方差已知方差已知)原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域) 1, 0(22NnnYXUyyxxyxyxyxyxyxyx2/uU uUuU 其中拒绝域检验统计量及其在H0为真时的分布备择假设 H1原假设 H0关于均值关于均值的检验的检验( 方差未知方差未知,但方差相等已知但方差相等已知)yxyxyxyxyxy

16、xyxnnSYXT11)2(yxnnt2/tT tTtT 2) 1() 1(22yxyyxxnnSnSnS关于方差关于方差的比较的比较1. 及 已知F检验法检验法取统计量在 时，（1） 对由xyynjyjxnixinXnXFyx1212)()(),(yxnnFF22yx22220yxyxH；：, 2/)()(bFPaFP得得或于是， 的拒绝域为（2） 对（3） 对由类似可得于是， 的拒绝域为的拒绝域为).,(),(2/2/1yxyxnnFbnnFa，0H),(2/1yxnnFF).,(2/yxnnFF22220yxyxH；：,)( aFP，),(1yxnnFa0H).,(1yxnnFF2222

17、0yxyxH；：0H).,(yxnnFF2. 及 未知取统计量在 时，三种检验的 拒绝域分别为：或；.；xy22yxSSF 22yx) 1, 1(yxnnFF0H) 1, 1(21yxnnFF) 1, 1(2yxnnFF) 1, 1(1yxnnFF) 1, 1(yxnnFF 关于方差关于方差的检验（均值已知）的检验（均值已知）原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域已知已知或或22yx22yxynjyjxnixinXnXFyx1212)()(),(2/1yxnnFF).,(2/yxnnFF).,(1yxnnFF),(yxnnFyx,).,(yxnnFF22yx22yx22yx22yx 关于方差关于方差的检验（均值未知）的检验（均值未知）原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域未知未知或或22yx22yx) 1, 1(22yxyxnnFSSF) 1, 1(2yxnnFF) 1, 1(21yxnnFF) 1, 1(1yxnnFF) 1, 1(yxnnFF22yx22yx22yx22yxyx,