浙江省绍兴县杨汛桥镇中学中考数学 压轴测试题专题 综合问题

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1、2019届数学中考复习资料浙江省绍兴县杨汛桥镇中学中考数学压轴测试题专题15 综合问题一、选择题1. （2012广东湛江4分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是【 】A. B. C. D.【答案】B。【考点】反比例函数的性质和图象。【分析】根据题意，得xy=20，。故选B。2. （2012浙江湖州3分）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D当OD=AD=3时，这两

2、个二次函数的最大值之和等于【 】A B C3 D4 【答案】A。【考点】二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】过B作BFOA于F，过D作DEOA于E，过C作CMOA于M，BFOA，DEOA，CMOA，BFDECM。OD=AD=3，DEOA，OE=EA=OA=2。由勾股定理得：DE=。设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，BFDECM，OBFODE，ACMADE。，即，解得：。BF+CM=。故选A。3. （2012天津市3分）若关于x的一元二次方程（x2）（x3）=m有实数根x1,x2，且x1x2，有下列结论：x1=2，x2=3；二次函数

3、y=（xx1）（xx2）m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）其中，正确结论的个数是【 】（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】C。【考点】抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。【分析】一元二次方程实数根分别为x1、x2，x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故结论错误。一元二次方程（x2）（x3）=m化为一般形式得：x25x6m=0，方程有两个不相等的实数根x1、x2，=b24ac=（5）24（6m）=4m10，解得：。故结论正确。一元二次方程x25x6m=0实数根分别为x1、x2，x1x2=5，x1x2=6m。二次函数y=（

4、xx1）（xx2）+m=x2（x1x2）xx1x2m=x25x（6m）m=x25x6=（x2）（x3）。令y=0，即（x2）（x3）=0，解得：x=2或3。 抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论正确。综上所述，正确的结论有2个：。故选C。4. （2012四川广元3分） 已知关于x的方程有唯一实数解，且反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为【 】A. B. C. D. 【答案】D。【考点】一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质。【分析】关于x的方程化成一般形式是：2x2（22b）x（b21）=0，它有唯一实数解， =（22b）28（b21）=4（

5、b3）（b1）=0，解得：b=3或1。反比例函数 的图象在每个象限内y随x的增大而增大，1+b0。b1。b=3。反比例函数的解析式是，即。故选D。5. （2012四川凉山4分）如图，在平面直角坐标系中，O的半径为1，则直线与O的位置关系是【 】A相离 B相切 C相交 D以上三种情况都有可能【答案】B。【考点】坐标与图形性质，直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】如图，在中，令x=0，则y= ；令y=0，则x= ，A（0，），B（，0）。OA=OB= 2 。AOB是等腰直角三角形。AB=2，过点O作ODAB，则OD=BD=AB=×2=1。又O的半径为1，圆心

6、到直线的距离等于半径。直线y=x- 2 与O相切。故选B。6. （2012辽宁朝阳3分）如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上，若点A 的坐标为（2，3），则k的值为【 】A.1 B. 5 C. 4 D. 1或5【答案】D。【考点】矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征。【分析】如图：四边形ABCD、HBEO、OECF、GOFD为矩形，又BO为四边形HBEO的对角线，OD为四边形OGDF的对角线，。xy=k2+4k+1=6，解得，k=1或k=5。故选D。7. （2012贵州安顺3分）下列说法中正确的是【 】A是一个无理数B函数的自变量的

7、取值范围是x1C若点P（2，a）和点Q（b，3）关于x轴对称，则ab的值为1D8的立方根是2【答案】C。【考点】无理数，函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，关于x轴对称的点的坐标，立方根。【分析】A、=3是有理数，故此选项错误；B、函数的自变量的取值范围是x1，故此选项错误；C、若点P（2，a）和点Q（b，3）关于x轴对称，则b=2，a=3，故ab=32=1，故此选项正确；D、8的立方根式2，故此选项错误。故选C。8. （2012广西柳州3分）小兰画了一个函数的图象如图，那么关于x的分式方程的解是【 】Ax=1 Bx=2 Cx=3 Dx=4 【答案】A。【考点】反比例函数的图象，曲线上

8、点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，关于x的分式方程的解就是函数中，纵坐标y=2时的横坐标x的值根据图象可以得到：当y=2时，x=1。故选A。9. （2012广西钦州3分）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y），若规定以下两种变换：f（x，y）=（y，x）如f（2，3）=（3，2）；g（x，y）=（x，y），如g（2，3）=（2，3）按照以上变换有：f（g（2，3）=f（2，3）=（3，2），那么g（f（6，7）等于【 】A（7，6） B（7，6） C（7，6） D（7，6）【答案】C。【考点】新定义，点的坐标。【分析】由题意应先进行f方式的变换，再进

9、行g方式的变换，注意运算顺序及坐标的符号变化：f（6，7）=（7，6），g（f（6，7）=g（7，6）=（7，6）。故选C。10. （2012吉林长春3分） 如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB,使OA=OB；再分别以点A, B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点C若点C的坐标为(m1,2n),则m与n的关系为【 】(A)m2n=1 (B)m2n=1 (C)2nm=1 (D)n2m=1【答案】B。【考点】作图（基本作图），角平分线性质，点到x轴、y轴距离。【分析】如图，根据题意作图知，OC为AOB的平分线，点C的坐标为(m1,2n)且在第一象限，点C到x轴C

10、D=2n，到y轴距离CE= m1。根据角平分线上的点到角两边距离相等，得m1=2n，即m2n=1 。故选B。11. （2012青海西宁3分）如图，将矩形沿图中虚线(其中xy)剪成四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形若y2，则x的值等于【 】A3 B21 C1 D1【答案】C。【考点】一元二次方程的应用（几何问题），图形的剪拼。【分析】如图所示，四块图形拼成一个正方形边长为x，根据剪拼前后图形的面积相等可得，y（x+y）=x2。y=2，2（x+2）=x2，整理得，x2-2x-4=0，解得x1=1，x2=1（舍去）。故选C。12. （2012内蒙古呼和浩特3分）下列命题中，真命题的个数有【 】一

11、个图形无论经过平移还是旋转，变换后的图形与原来图形的对应线段一定平行函数图象上的点P（x，y）一定在第二象限正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面使得|x|y=3和y+x2=0同时成立的x的取值为A3个 B1个 C4个 D2个【答案】D。【考点】命题与定理，平移和旋转的性质，非负数的性质，平行投影，公式法解一元二次方程，绝对值，二次根式有意义的条件。【分析】平移后对应线段平行；对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小没有发生变化；旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化。故此命题错误。根据二次根式的意义得x0，y0，故函数图象上的点P（x，y）一定在第二象限

12、。故此命题正确。根据正投影的定义得出，正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面。故此命题正确。使得|x|y=3和y+x2=0同时成立，即y=|x|3，y=x2，故|x|3=x2，x2|x|3=0。当x0，则x2x3=0，解得：x1=，x2=（不合题意舍去）；当x0，则x2+x3=0，解得：x1=（不合题意舍去），x2=。使得|x|y=3和y+x2=0同时成立的x的取值为：，。故此命题错误。故正确的有2个。故选D。13.（2012四川眉山3分）已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10 ，0），对角线OB、AC相交于D点，双曲线（）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB·

13、;AC160，有下列四个结论： 双曲线的解析式为（）E点的坐标是（4，8）sinCOA=AC+OB=，其中正确的结论有【 】A1个 B2个 C3个 D 4个【答案】C。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，锐角三角函数定义。【分析】四边形OABC是菱形，OB=2OD，AC=2AD，ACOB。OB·AC160，OD·AD40。在RtOAD中，AC=10，即。 取正数。OD、AD是方程的两个根，且ODAD（因为双曲线交BC的延长线于E点）。解得OD，AD。过点D作DHOA交OA于点H

14、，设D（，），则由相似三角形的判定和性质，可得，8，4。D（8，4）。代入得，k32。双曲线的解析式为（）。结论错误。过点C作CGOA交OA于点G，则DH是ACG的中位线，CG=8。点E的纵坐标是8，代入得点E的横坐标为4，即E点的坐标是（4，8）。结论正确。根据菱形的性质，得OC=OA=10。在RtOCG中，OC =10，CG=8，。结论正确。，即。结论正确。综上所述，正确的结论有三个。故选C。二、填空题1. （2012山西省3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，OC=2，则点B的坐标是 【答案】（2，2）。【考点】矩

15、形的性质，平行的性质，坐标与图形性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】过点B作DEOE于E，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，CAO=30°。又OC=2，AC=4。OB=AC=4。又OBC=CAO=30°，DEOE，CBA=90°，OBE=30°。OE=2，BE=OB·cosOBE =2。点B的坐标是（2，2）。2. （2012陕西省3分）如图，从点A（0，2）发出的一束光，经x轴反射，过点B（4，3），则这束光从点A到点B所经过路径的长为 【答案】。【考点】跨学科问题，

16、坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】如图，过点B作BDx轴于D，A（0，2），B（4，3），OA=2，BD=3，OD=4。根据入射角等于反射角的原理得：ACO=BCD。AOC=BDC=90°，AOCBDC。OA：BD=OC：DC=AC：BC=2：3，设OC=x，则DC=4x，解得，即OC=。：BC=2：3，解得BC= 。AC+BC=，即这束光从点A到点B所经过的路径的长为。3. （2012广东佛山3分）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为 【答案】2m4。【考点】图形的变换，一元一次

17、方程的应用（几何问题）。【分析】根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解：设拼成的矩形的另一边长为x，则4x=（m4）2m2=（m4m）（m4m）=8m16，解得x=2m4。4. （2012浙江湖州4分）如图，将正ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若，则ABC的边长是 【答案】12。【考点】一元二次方程的应用（几何问题），菱形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义。【分析】设正ABC的边长为x，则由勾股定理，得高为，。所分成的都是正三角形，根据锐角三角函数定义，可得黑色菱形的较长的对角线为 ，较

18、短的对角线为。黑色菱形的面积=。，整理得，11x2144x144=0。解得（不符合题意，舍去），x2=12。所以，ABC的边长是12。5. （2012江苏连云港3分）如图，直线yk1xb与双曲线交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1xb的解集是【答案】5x1或x0。【考点】不等式的图象解法，平移的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，对称的性质。【分析】不等式k1xb的解集即k1xb的解集，根据不等式与直线和双曲线解析式的关系，可以理解为直线yk1xb在双曲线下方的自变量x的取值范围即可。而直线yk1xb的图象可以由yk1xb向下平移2b个单位得到，如图所示。根据函数图象的对称性可

19、得：直线yk1xb和yk1xb与双曲线的交点坐标关于原点对称。由关于原点对称的坐标点性质，直线yk1xb图象与双曲线图象交点A、B的横坐标为A、B两点横坐标的相反数，即为1，5。由图知，当5x1或x0时，直线yk1xb图象在双曲线图象下方。不等式k1xb的解集是5x1或x0。6. （2012江苏南通3分）无论a取什么实数，点P(a1，2a3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的点，则(2mn3)2的值等于 【答案】16。【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。【分析】由于a不论为何值此点均在直线l上，令a=0，则P1（1，3）；再令a=1，则P2（0，1）。设直线l的解

20、析式为y=kx+b（k0）， ，解得 。直线l的解析式为：y=2x1。Q（m，n）是直线l上的点，2m1=n，即2mn=1。(2mn3)2=（1+3）2=16。7. （2012福建龙岩3分）如图，平面直角坐标系中，O1过原点O，且O1与O2相外切，圆心O1与O2在x轴正半轴上，O1的半径O1P1、O2的半径O2P2都与x轴垂直，且点P1、P2在反比例函数（x>0）的图象上，则 【答案】。【考点】反比例函数综合题。【分析】O1过原点O，O1的半径O1P1，O1O=O1P1。O1的半径O1P1与x轴垂直，点P1（x1，y1）在反比例函数（x0）的图象上，x1=y1，x1y1=1。x1=y1=

21、1。O1与O2相外切，O2的半径O2P2与x轴垂直，设两圆相切于点A，AO2=O2P2=y2，OO2=2+y2。P2点的坐标为：（2+y2，y2）。点P2在反比例函数（x0）的图象上，（2+y2）y2=1，解得：y2=1+ 或1（不合题意舍去）。y1+y2=1+（1+）= 。8. （2012湖北武汉3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC2设tanBOCm，则m的取值范围是 【答案】。【考点】锐角三角函数定义，勾股定理，一元二次方程根的判别式。【分析】如图，设C点坐标为（）。 tanBOCm，即。 A的坐标为(3，0)，DA=。

22、又AC2由勾股定理，得， 即，整理得 由得。 tanBOCm0，。9. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）平面直角坐标系中，M的圆心坐标为（0，2），半径为1，点N在x轴的正半轴上，如果以点N为圆心，半径为4的N与M相切，则圆心N的坐标为 【答案】（，0）或（，0）。【考点】相切两圆的性质，坐标与图形性质，勾股定理。【分析】分别从M与N内切或外切去分析：M与N外切，MN=4+1=5，圆心N的坐标为（，0）。M与N内切，MN=41=3，圆心N的坐标为（，0）。综上所述，圆心N的坐标为（，0）或（，0）。10. （2012辽宁阜新3分）如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小

23、正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2这个拼成的长方形的长为30，宽为20则图2中部分的面积是 【答案】100。【考点】解二元一次方程组的应用（几何问题）。【分析】由题意，得图2中部分长为b，宽为ab， ，解得。 图2中部分的面积是。11. （2012吉林长春3分）如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且ABx轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 .【答案】18。【考点】二次函数的性质，等边三角形的性质。【分析】根据二次函数的性质，抛物线的对称轴为x=3。 A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一 点，且ABx轴。 A，B关于

24、x=3对称。AB=6。又ABC是等边三角形，以AB为边的等边三角形ABC的周长为6×3=18。12. （2012甘肃兰州4分）如图，M为双曲线上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线yxm于点D、C两点，若直线yxm与y轴交于点A，与x轴相交于点B，则ADBC的值为 【答案】2。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】如图，作CEx轴于E，DFy轴于F， 在yxm中，令x0，则ym；令y0，xm0，解得xm。A(0，m)，B(m，0)。OAB等腰直角三角形。ADF和CEB都是等腰直角三角形。设M的坐标为(a，b)，则a

25、b，CEb，DFa。ADDFa，BCCEb，ADBCab2ab2。三、解答题1. （2012上海市12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，ADE=90°，tanDAE=，EFOD，垂足为F（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；（3）当ECA=OAC时，求t的值【答案】解：（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（1，0），解得。这个二次函数的解析式为：y=2x2+6x+8。（2）EFD=EDA=90&

26、#176;，DEF+EDF=90°，EDF+ODA=90°。DEF=ODA。EDFDAO。，。OD=t，EF=。同理，DF=2，OF=t2。（3）抛物线的解析式为：y=2x2+6x+8，C（0，8），OC=8。如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点ECA=OAC，OAC=GCA（等角的余角相等）。在CAG与OCA中，OAC=GCA，AC=CA，ECA=OAC，CAGOCA（ASA）。CG=AO=4，AG=OC=8。如图，过E点作EMx轴于点M，则在RtAEM中，EM=OF=t2，AM=OA+AM=OA+EF=4+，由勾股定理得： 。在RtAEG中，由勾股定理得：

27、。在RtECF中，EF=，CF=OCOF=10t，CE=CG+EG=4+由勾股定理得：EF2+CF2=CE2，即。解得t1=10（不合题意，舍去），t2=6。t=6。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）已知点A、B坐标，用待定系数法求抛物线解析式即可。 （2）先证明EDFDAO，然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求解。（3）通过作辅助线构造一对全等三角形：CAGOCA，得到CG、AG的长度；然后利用勾股定理求得AE、EG的长度（用含t的代数式表示）；最后在RtECF中，

28、利用勾股定理，得到关于t的无理方程，解方程求出t的值。2. （2012福建莆田14分） 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(0，3)，B(6，3)，C(6，0)，抛物线过点A。(1)(2分)求c的值； (2)(6分)若al，且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E，求ADE的面积S的最大值；(3)(6分)若抛物线与矩形有且只有三个交点A、M、N，线段MN的垂直平分线l过点O，交线段BC于点F。当BF1时，求抛物线的解析式【答案】解：(1)抛物线过点A(0，3)，c3。(2) al， 如图，当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上时， 抛物线与直

29、线x6的交点应落在C点或C点下方。 当x6时，y0。，即。 又对称轴在y轴右侧，b0。0。 由抛物线的对称性可知： 。 又ADE的高BC3，S×b×3。0，S随b的增大而增大。当b时，S的最大值。 如图，当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边上时，抛物线与直线x6的交点应落在线段BC上且不与点B重合，即03。当x6，则，06b333，b6。BE3(6b33)366b。SAD·BE·b·(366b)3b2+18b。对称轴b3，随b的增大而减小。当b时，S的最大值。综上所述：S的最大值为。 (3)当a0时，符合题意要求的抛物线不存在。 当

30、a0时，符合题意要求的抛物线有两种情况：当点M、N分别在AB、OC边上时如图过M点作MGOC于点G，连接OM MGOA32MNO90°。 OF垂直平分MNOMON，1MNO=90°，12。 FB1，FC312。 tan1，tan2tan1。GNGM1。设N(n，0)，则G(n1，0)，M(n1，3)。 AMn1，ONnOM。 在RtAOM中， ，解得n5。M(4，3)，N(5，0)。把M(4，3)，N(5，0)分别代入，得，解得。抛物线的解析式为。当点M、N分别在AB、BC边上时如图，连接MF OF垂直平分MN，1NFO90°，MFFN。 又0CB90°

31、，2CFO=90°。 12。 BF1， FC2。tan1tan2。 在RtMBN，tan1，BN3MB。设N(6，n)则FN2n，BN3一n。MF2n，MB。在RtMBF中，。解得： (不合题意舍去)，。AM6，M(，3)，N(6，) 。把M(，3)，N(6，)分别代人，得，解得。抛物线的解析式为。综上所述，抛物线的解析式为或。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，解二元一次方程组。【分析】（1）将点A的坐标代入即可求得c的值。 （2）分抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上和抛物线与矩形的两个交点D、E

32、分别在AB、BC边两种情况应用二次函数性质分别求解。 （3）分抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上和抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边两种情况应用待定系数法分别求解。3. （2012甘肃兰州10分）若x1、x2是关于一元二次方程ax2bxc(a0)的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1x2，x1x2把它称为一元二次方程根与系数关系定理如果设二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：AB|x1x2|。参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数yax

33、2bxc(a0)的图象与x轴的两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线的顶点为C，显然ABC为等腰三角形(1)当ABC为直角三角形时，求b24ac的值；(2)当ABC为等边三角形时，求b24ac的值【答案】解：（1）当ABC为直角三角形时，过C作CEAB于E，则AB2CE。抛物线与x轴有两个交点，b24ac0，则|b24ac|b24ac。a0，AB。又CE，。，即。b24ac0，b24ac4。（2）当ABC为等边三角形时，由(1)可知CEAB，。b24ac0，b24ac12。【考点】抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，等腰三角形的性质，等边三角形的性质。【分析】（1）当ABC为直角三角形

34、时，由于ACBC，所以ABC为等腰直角三角形，过C作CEAB于E，则AB2CE根据本题定理和结论，得到AB，根据顶点坐标公式，得到CE，列出方程，解方程即可求出b24ac的值。（2）当ABC为等边三角形时，解直角ACE，得CEAB，据此列出方程，解方程即可求出b24ac的值。4. （2012湖北黄石10分）已知抛物线C1的函数解析式为，若抛物线C1经过点，方程的两根为，且。（1）求抛物线C1的顶点坐标.（2）已知实数，请证明：,并说明为何值时才会有.（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设， 是C2上的两个不同点，且满足： ，.请你用含有的表达式表示出AOB的面

35、积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式。（参考公式：在平面直角坐标系中，若，则P，Q两点间的距离）【答案】解：（1）抛物线过（,）点，3a。a 。x2bx x2bx=的两根为x1，x2且，且b。b。抛物线的顶点坐标为（，）。（2）x，。当时，即当x时，有。 （3）由平移的性质，得C2的解析式为：yx2 。(m，m2)，B（n，n2）。AOB为直角三角形，OA2OB2=AB2。m2m4n2n4（mn）2（m2n2）2，化简得：m n。AOB=，m n，AOB。AOB的最小值为，此时m,(,)。直线OA的一次函数解析式为x。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，

36、一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，不等式的知识。【分析】（1）求抛物线的顶点坐标，即要先求出抛物线的解析式，即确定待定系数a、b的值已知抛物线图象与y轴交点，可确定解析式中的常数项（由此得到a的值）；然后从方程入手求b的值，题目给出了两根差的绝对值，将其进行适当变形（转化为两根和、两根积的形式），结合根与系数的关系即可求出b的值。（2）将配成完全平方式，然后根据平方的非负性即可得证。（3）结合（1）的抛物线的解析式以及函数的平移规律，可得出抛物线C2的解析式；在RtOAB中，由勾股定理可确定m、n的关系式，然后用m列出AOB的面积表达式，结合不等式的相关知识可确定OAB的最小面积值以

37、及此时m的值，从而由待定系数法确定一次函数OA的解析式。别解：由题意可求抛物线C2的解析式为：yx2。(m，m2)，B（n，n2）。过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则由 得 ，即。AOB的最小值为，此时m,(,)。直线OA的一次函数解析式为x。5. （2012江苏无锡8分）对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1x2|+|y1y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2）（1）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；（2）设P0

38、（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离试求点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离【答案】解：（1）由题意，得|x|+|y|=1。所有符合条件的点P组成的图形如图所示：（2）d（M，Q）=|x2|+|y1|=|x2|+|x+21|=|x2|+|x+1|，又x可取一切实数，|x2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和1所对应的点的距离之和，其最小值为3。点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离为3。【考点】新定义，一次函数综合题，绝对值与数轴的关系。【分析】（1）根据新定义知|x|+|y|=1，据

39、此可以画出符合题意的图形。（2）根据新定义知d（M，Q）=|x2|+|y1|=|x2|+|x+21|=|x2|+|x+1|，然后由绝对值与数轴的关系可知，|x2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和1所对应的点的距离之和，其最小值为3。6. （2012山东济南9分）如图1，抛物线y=ax2bx3与x轴相交于点A（3，0），B（1，0），与y轴相交于点C，O1为ABC的外接圆，交抛物线于另一点D（1）求抛物线的解析式；（2）求cosCAB的值和O1的半径；（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足BMNBPC，请直接写出所有符合条件的

40、点N的坐标【答案】解：（1）抛物线y=ax2bx3与x轴相交于点A（3，0），B（1，0），解得。抛物线的解析式为：y=x24x3。（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x24x3，令x=0，得y=3，C（0，3）。OC=OA=3，则AOC为等腰直角三角形。CAB=45°，cosCAB=。在RtBOC中，由勾股定理得：BC=。如图1所示，连接O1B、O1C，由圆周角定理得：BO1C=2BAC=90°。BO1C为等腰直角三角形，O1的半径O1B=。（3）点N的坐标为（，）或（，）。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊

41、角的三角函数值，圆周角定理，圆及抛物线的对称性质，相似三角形的性质，勾股定理。【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图1所示，由AOC为等腰直角三角形，确定CAB=45°，从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定BO1C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度。（3）如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标，从而求出点M的坐标和线段BM的长度；点B、P、C的坐标已知，求出线段BP、BC、PC的长度；然后利用BMNBPC相似三角形比例线段关系，求出线段BN和MN的长度；最后利用勾股定理，列出方程组，求出点N的坐标。抛物线y=x24x3=（x2）21，顶点P坐

42、标为（2，1），对称轴为x= 2。又A（3，0），B（1，0），可知点A、B关于对称轴x=2对称。如图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称。D（4，3）。又点M为BD中点，B（1，0），M（）。BM=。在BPC中，B（1，0），P（2，1），C（0，3），由勾股定理得：BP=，BC=，PC=。BMNBPC，即。解得：BN=，MN。设N（x，y），由勾股定理可得：，解得，。点N的坐标为（，）或（，）。7. （2012浙江宁波12分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（1，0），B（2，0），交y轴于C（0，2），过A，C画直线（1）求二次函数的解析

43、式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H若M在y轴右侧，且CHMAOC（点C与点A对应），求点M的坐标；若M的半径为，求点M的坐标【答案】解：（1）二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（1，0），B（2，0）设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x2）， 将x=0，y=2代入，得2=a（0+1）（02），解得a=1。抛物线的解析式为y=（x+1）（x2），即y=x2x2。（2）设OP=x，则PC=PA=x+1，在RtPOC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，解得，x=，即OP=。（3）CHMA

44、OC，MCH=CAO。（i）如图1，当H在点C下方时，MCH=CAO，CMx轴，yM=2。x2x2=2，解得x1=0（舍去），x2=1。M（1，2）。（ii）如图2，当H在点C上方时，MCH=CAO，PA=PC。由（2）得，M为直线CP与抛物线的另一交点，设直线CM的解析式为y=kx2，把P（，0）的坐标代入，得k2=0，解得k=。y=x2。由x2=x2x2，解得x1=0（舍去），x2=。此时y=×。M（）。在x轴上取一点D，如图3，过点D作DEAC于点E，使DE=，在RtAOC中，AC=。COA=DEA=90°，OAC=EAD，AEDAOC，即，解得AD=2。D（1，0）

45、或D（3，0）。过点D作DMAC，交抛物线于M，如图则直线DM的解析式为：y=2x+2或y=2x6。当2x6=x2x2时，即x2+x+4=0，方程无实数根，当2x+2=x2x2时，即x2+x4=0，解得。 点M的坐标为（）或（）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。【分析】（1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，故设出交点式解析式，然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式。 （2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在RtPOC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可。（3）根据相

46、似三角形对应角相等可得MCH=CAO，然后分（i）点H在点C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CMx轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是-2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标。在x轴上取一点D，过点D作DEAC于点E，可以证明AED和AOC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DMAC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M

47、的坐标。8. （2012江苏镇江9分）对于二次函数和一次函数，把称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E。现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t=2时，抛物线的顶点坐标为 。（2）判断点A是否在抛物线E上；（3）求n的值。【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为 。【应用1】二次函数是二次函数和一次函数的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由；【应用2】以AB为边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，或抛物线E经过A、B、C、D其中的一点，

48、求出所有符合条件的t的值。【答案】解：【尝试】（1）（1，2）。 （2）点A在抛物线E上，理由如下： 将x=2代入得y=0。 点A在抛物线E上。（3）将（1，n）代入得 。【发现】A（2，0）和B（1，6）。【应用1】不是。 将x=1代入，得， 二次函数的图象不经过点B。 二次函数不是二次函数和一次函数的一个“再生二次函数”。【应用2】如图，作矩形ABC1D1和ABC2D2，过点B作BKy轴于点K，过点D1作D1Gx轴于点G，过点C2作C2Hy轴于点H，过点B作BMx轴于点M，C2H与BM相交于点T。易得AM=3，BM=6，BK=1，KBC1NBA，则，即，得。C1（0，）。易得KBC1GAD

49、1，得AG=1，GD1=。D1（3，）。易得OAD2GAD1，则，由AG=1，OA=2，GD1=得，得OD2=1。D2（0，1）。易得TBC2OD2A，得TC2=AO=2，BT=OD2=1。C2（3，5）。抛物线E总过定点A、B，符合条件的三点只可能是A、B、C或A、B、D。当抛物线经过A、B、C1时，将C1（0，）代入得；当抛物线经过A、B、D1时，将D1（3，）代入得；当抛物线经过A、B、C2时，将C2（3，5）代入得；当抛物线经过A、B、D2时，将D2（0，1）代入得。满足条件的所有t值为，。【考点】新定义，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质。【分析】【尝试】（1）当

50、t=2时，抛物线为，抛物线的顶点坐标为（1，2）。 （2）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系验证即可。 （3）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（1，n）代入函数关系式即可求得n的值。【发现】由（1）可得。【应用1】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系验证即可。【应用2】根据条件，作出矩形，求出各点坐标，根据新定义求出t的值。9. （2012四川泸州11分）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A、B(点在点的左侧)，与y轴相交于点C，顶点D在第一象限.过点D作x轴的垂线，垂足为H。(1)当时，求tanADH的值；(2)当60°ADB90°时，求m的变化范围；(3

51、)设BCD和ABC的面积分别为S1、S2，且满足S1=S2，求点D到直线BC的距离。【答案】解：（1）)当时，。D。DH=。 在中令，即，解得。 A（1，0）。AH=。tanADH=。（2），D。 DH=。在中令，即，解得。顶点D在第一象限，。A（1，0）。AH=。 当ADB=600时，ADH=300，tanADH=。 ，解得（增根，舍去）。 当ADB=900时，ADH=450，AH=DH，即，解得（不符合，舍去）。当60°ADB90°时，。（3）设DH与BC交于点M，则点M的横坐标为m，设过点B（，0），C（0，）的直线为，则 ，解得。 直线BC为。 当时，。 M（m，）

52、。DM=，AB=。 SBCD=DM·OB，SABC=AB·OC，SBCD=SABC， 。 又顶点D在第一象限，解得。 当时 ，A（1，0），B（5，0），C（0，）。 BC=，SABC=。 设点D到BC的距离为d，SDBC=， ，解得。 答：点D到直线BC的距离为。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，待定系数法，锐角三角函数定义，点到直线的距离，解二元一次方程组和一元二次方程。【分析】（1）求出顶点D和A的坐标，根据锐角三角函数定义即可求出tanADH的值。 （2）求出ADB=600和ADB=900时的m的值即可得出m的变化范围。（3）设点D

53、到BC的距离为d，根据SDBC=和SBCD=SABC，求出BC和SABC即可求得点D到直线BC的距离d。10. （2012宁夏区10分）在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作APPE，垂足为P，PE交CD于点E.(1)连接AE，当APE与ADE全等时，求BP的长；(2)若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式。当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？(3)若PEBD，试求出此时BP的长.【答案】解：（1）APEADE，AP=AD=3。在RtABP中，AB=2，BP=。（2）APPE，RtABPRtPCE。 ，即。 当时，y的值最大，最大

54、值是。（2）设BP=x, 由（2）得。PEBD，CPECBD。， 即，化简得。解得或（不合题意，舍去）。当BP= 时， PEBD。【考点】矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，平行的性质，解一元二次方程。【分析】（1）由APEADE可得AP=AD=3，在RtABP中，应用勾股定理即可求得BP的长。（2）由APPE，得RtABPRtPCE，根据相似三角形的对应边成比例可列式得y与x的函数关系式。化为顶点式即可求得当时，y的值最大，最大值是。（3）由PEBD，得CPECBD，根据相似三角形的对应边成比例可列式可求得BP的长。11. （2012贵州黔东南12

55、分）如图，已知抛物线经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MNy轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由【答案】解：（1）抛物线经过点A（1，0）、B（3，0）两点， 设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x3）， 将C（0，3）代入，得a（0+1）（03）=3，a=1。抛物线的解析式：y=（x+1）（x3）=x2+2x+3。（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： ，解得。直线BC的解析式：y=x+3。已知点M的横坐标为m