篮球投射的数学模型MicrosoftW

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1、篮球投射的数学模型数学系20021112班 苏之品指导教师 铁 勇 摘 要：数学模型是数学中的重要内容之一，建立数学模型有着很强的实用性。该文从出手角度和出手速度等关系入手，对篮球投射问题深入分析，建立其数学模型，并给出详细的求解过程和结果。意在对篮球投射问题做一点研究，体现数学模型的实用性。关键词：篮球投射；出手角度；数学模型The Mathematical Model of Basketball ThrowingAbstract：Mathematical models are such an important part of the content of mathematics that

2、 establishing mathematical models is very practical. Starting with the relationship between throwing angle and throwing speed and so on, this paper thoroughly analyzes the issue of basketball throwing, establishes a mathematical model for it, and also gives its detailed solution procedure and its re

3、sults. It aims at making a research into the problem of basketball throwing so as to illustrate the practicality of mathematical models.Key words：basketball throwing; throwing angle; mathematical model1 引言目前，国外研究篮球问题的角度主要从组合、技术、营养、技巧等方面入手，全方位、多侧面考虑多种因素对投篮效果的影响，建立数学模型进行研究，并打造出了类似NBA的国际知名球赛国外研究考虑的因素虽比

4、较全面,有利于球员的充分发挥,但由于中国球员的身高、体力等与国外球员相比有较大差别, 因此, 此类数学模型不能全部照搬而国内著作在该方面的研究相对较少郭鼎文在文献2中对篮球投射如何使命中率提高作了很好阐述,但没有针对这个问题给出实际有效的模型，以便更好地分析问题；文献3、4、15分别从球员的攻防能力、得分能力、若干技术指标与队员比赛能力方面运用统计学的方法建立模型，并且主要针对CBA等职业球赛的球员的身高、体能等方面的因素作分析，虽然具有一定的实用性，但是缺乏普遍应用性，还有待于更深入地研究本文就是在这样的背景下,对篮球投射的问题作一点讨论运用运动力学的知识，建立有效的篮球投射模型, 从篮球投

5、射时球的出手角度、出手速度、出手高度和篮球球心与篮圈圈心的水平距离、篮球入射角之间的关系入手，分析各种因素对投篮命中率的影响，并作适当的假设，在合理估计出手点与篮圈圈心距离并保持出手速度稳定的情况下, 确定投篮的最佳出手角度和最佳出手速度，得出一个既能使投篮时不过多耗费体力又能提高投篮命中率的结论2 问题提出篮球是一种跳跃运动，而投射是一种常见的投篮动作1，但是运动员如何在投篮的过程中把握好投射，并准确有效地投篮呢？下面针对问题进行详细的分析,并建立数学模型.3 问题分析投射的关键是向上举球和起跳动作协调一致，同时保持篮球在空中最高点被迅速稳定地投出2投球的过程是一个抛物的过程，球飞行的弧线可

6、看作是一条抛物线过去的实验表明，投篮的抛物线过高，球飞行的时间过长，路程也大，受空气的阻力和风力的影响则大，不宜控制球的飞行方向，从而影响投篮的命中率3. 篮球飞行的抛物线太低，球的入射角较小，也难于将篮球投中考虑合理的出手角度和出手速度是解决问题的最大关键4，此时,篮球在飞行过程中受空气阻力、风力的影响等许多次要因素，则可以忽略(不影响投篮的实际效果)4 模型假设（1） 据物理学知识，假设投篮时，篮球与球板的碰撞是完全弹性碰撞5，没有能量损失;（2） 运动员掌握熟练的投篮技术，并能根据实际需要控制球的出手角度与相应出手速度，准确判断出手点与篮圈圈心的水平距离;（3） 运动员有良好的心理素质6

7、,防守队员的防守不影响投篮的命中率;（4） 投篮的运动曲线和篮圈圈心在同一平面内;（5） 忽略空气阻力，篮球在空中的旋转不影响投篮效果;（6） 篮球是一个质点，且这个质点的位置位于球的重心（球心）5 符号说明：出手点到篮圈圈心的水平距离； ：篮圈的半径（0.2m）；：篮圈高度（3.05m）；: 出手高度；：出手角度；：最佳出手角度；：阴影部分面积；：球出手时线速度；：球的飞行时间（以出手时为零时刻）；g：重力加速度；：水平方向上的横坐标（以篮球的出手点为坐标原点）；：竖直方向上的纵坐标（以篮球的出手点为坐标原点）；：篮圈的圈心坐标（以篮球的出手点为坐标原点）；：球的入射角度；6 模型建立及求解

8、61 投空心篮时的情况分析以篮球出手时篮球球心为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图1：RP1P0P2x yo图1 由动力学知弧、的方程为一般性运动轨道方程，可用参数方程（1）描述时刻球的所在位置7, 即: ， (1)消去参数得到， (2) 若篮球球心恰好通过篮圈圈心，将代入（2）整理得到 . (3) 用mathematica软件画出(3)式的图像为（程序如附录1），如下图2：o图 2由抛物线的性质得知，出手角度增大，入射角度也增大，减小，也减小当减小到以下时, 篮球就会与篮圈相碰而很难进入圈中8, 故若要考虑篮球投中的情况, 则只需考虑大于的情况即可由图二可以分析出，当大于时, 大增大,增大，

9、这就说明要使篮球运动时通过篮圈圈心，且当篮球的出手角度增大时,球的出手速度也相应增大，由数学知识，结合运动学知识分析（如图3）发现，当球垂直（为时）进入圈中时，篮球可以通过的范围是整个篮圈,即直径为45cm的圆圈. 如图3中的甲图所示，小于时篮球可以通过篮圈的范围变成了一个椭圆（长轴等于篮圈的直径，如图3中的乙、丙），从上面可以看出，增大，增大，也增大，篮球可以通过的范围（椭圆面积）也增大，从一定程度上说提高了投篮命中率，反之，则使篮球可以通过的范围变小但是否、越大越好呢？我们将作进一步讨论甲乙丙图3据公式（3）可以求出当篮球的出手角度为时，要求能使篮球投入篮圈的出手速度为20米/秒，这个速度

10、远远超过了任何运动员用任何投球方式所能达到的速度9说明、并不是可以无限地增大，那么考虑、为多大时，才能使投球效果最佳，而又切合实际呢？根据(2)式设的方程为, (4) 由曲线过点,有, (5) 故的方程为 ， (6)同理，过点,且的方程为 ， (7)写出直线，的方程直线的方程为 ， (8)直线的方程为 ， (9)求阴影面积，有， (10)， (11) ， (12)故 . (13) 由的表达式可以看出，越大（即越大，），越大，但事实上,投篮初速度只能在某一范围内变化10，由（3）式知，相应的出手角度也只能在某一范围内变化，所以只可能在某一范围变化为求在所给定的范围内使达到最大时的值，我们把化为关

11、于初速度的函数来求极大值11回到运动方程 ， (14)设它过点,将此坐标代入(14)式有 ， (15)从而 ， (16)这是关于的一元二次方程，取其较小的根 ， (17) 其中，应满足 (18)解上述不等式，得到 (19)又因为 , (20)所以，是的严格单调减函数12，当 达到最小值时，达到最大值，由于 , (21)故有 , (22) (23)从（23）式可以看出，是关于的单调减函数，所以, ， (24)另一方面 , (25) 综上所述，一般投射角应控制在以下范围内，即 (26)相应地，由（3）式，出手速度应控制在 (27)范围之内62 投碰板篮时的情况分析现在假设与篮球板背面的那边也有一个

12、“篮圈”，这时根据假设（1），补出篮板背面的部分，篮球运动的曲线也构成一条抛物线，这种情况考虑为这条抛物线也通过篮板后面的那个篮圈13但这时球员要正确估计球出手点到虚拟篮圈圈心的水平距离，这时投篮的情况转化为投空心篮的情况给予考虑，（原变为+0.575，计算机程序如附录3），如图4: ox y图47 模型应用篮球运动员在投球的瞬间，需要大概估计出手点的所在高度和出手点与篮圈圈心的水平距离，这将影响投篮的效果14,下面根据投空心篮和碰板篮的不同情况给出结论 以出手点高=2.9m为例,篮球运动员投空心篮时,利用公式(26),可以求得在不同的落球点的相应出手角度范围如下（用Mathematica程序

13、求解，程序如附录2）:投空心篮时落球点与出手角度的情况统计表82562552542532 以出手点高为=2.5m,运动员投空心篮时,可以利用公式(26)在不同的落球点的相应出手角度范围如下:投空心篮时落球点与出手角度的情况统计表82562552542532 当出手高度为=2.5m投碰板篮,运动员投碰板篮时, 可以利用公式(26)在不同的落球点的相应出手角度范围如下(程序如附录3):投碰板篮时落球点与出手角度范围的情况统计表82562552542532 从表中可以看出，当投篮的出手点高=2.5m，在罚线线投球的最佳出手角度是，在三分线投球的最佳出手角度是这与现实中的投篮结果差异很小158 总结

14、本文对现实中的篮球投射问题作了一点点探讨.针对篮球运动员投空心篮与碰板篮的不同投篮情况，假设在保持合理有效的出手角度情况下,忽略空气阻力和风力对投篮效果的影响（这样的假设并不会影响投篮的实际效果,有利于问题解析的简化）, 根据各个运动员不同的身高、不同的位置和不同的出手点，建立数学模型,充分考虑影响投篮效果的出手速度和出手角度等主要因素，逐步分析导出投篮的出手点与所在位置的最佳出手角度（利用附录2、3，可以有效改变出手高度,进而影响出手角度和出手速度），并利用数学软件Mathematica的作图功能处理数据、绘出图形促进了问题的有效分析此外，现实篮球运动中还有很多情况可以通过建立数学模型进行有

15、效分析,数学模型的作用表现出越来越广泛的作用,建立模型需要的知识也越来越复杂.鉴于本人知识水平有限，还有很多不足的地方，有待于日后进一步学习和研究附录1In1：x0=6.25;y0=0.55;g=9.8;Plot（gx02/(2cos2(x0tan- y0)）(1/2)， ，0，pi/2附录2运行Mathematica源程序In1：=s0=6.25;R=0.2; high1=3.05; high2=2.5;In5：=temp1=(high1-high2)/(S0+R); temp2=(high1-high2)/(S0-R);In7：=thetal=ArcTantemp1+sqrttemp12+

16、1180/Npi out7：=47.44In8：= theta2=ArcTantemp2+sqrttemp22+1180/Npi out8：=47.60In9：=tempH=high1-high2;In10：v1=sqrt2(tempH+sqrttempH2+(S0-R)2 ) out10：=3.4502In11：v2=sqrt2(tempH+sqrttempH2+(S0+R)2 ) out11：=3.56421 附录3只须将附录2中的S0分别加上0.575即可求出相应出手角度与出手速度参考文献 1 郭洪宝篮球竞赛规则问答M北京：北京体育大学出版社，2004：76782 郭鼎文投篮的技巧M北京

17、：北京体育大学出版社，2003：10233 杨远波第六届中国大学生篮球联赛男子强攻防能力研究J成都体育学院学报，2006，(1)：72744 何惠民对CUBA男篮得分能力的研究与分析J杭州师范学院学报，2003，（10）：16185 程守洙，江之永普通物理学M北京：高等教育出版社，2001：1031046 张新仪，寇振声篮球运动理论与方法M山东：石油大学出版社，2001：374376 7 赵凯华，罗蔚茵力学M北京：高等教育出版社，2004：26278 汤小康，张怀钊街头篮球实战技巧M北京：北京体育大学出版社，2004：9092 9 张宏杰，陈钓篮球运动M北京：北京体育大学出版社，2004：11

18、1510 李尚志，陈发来，吴耀华数学实验M北京：高等教育出版社，2003：81011 孙薇荣，谢国瑞，郭镜明高等数学M北京：科学出版社，2004：18919012 欧阳光中，姚允龙，周渊数学分析M上海：复旦大学出版社，2004：14514713 胡运权，郭耀煌运筹学教程M北京：高等教育出版社，2003：44945114 斐博儒篮球策应技术与训练M北京：人民体育大学出版社，2003：13313615 翁荔CUBA若干技术指标与队员比赛能力的分析和探究J上海体育学院学报，2003，(1)：3738指导教师评语：苏之品同学的论文从数学模型的方面对篮球投射问题作了很好的理论探索。文章结构合理，符合数学建模的特点；写作层次分明，论证有理有据。从问题提出到模型建立及其求解，整个过程对所探讨的问题给予了详细有力地阐释，并深入剖析了出手角度、出手速度等因素与投射效果之间的关系。这类问题的探究，使现实中的实际问题与数学模型有机结合起来，同时也研究价值和论文的写作质量。 （注：素材和资料部分来自网络，供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注！）