海丰县仁荣中学数学校本教材

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1、广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材 前言数学是地球上最古老的科学之一，早在人类文化的启蒙时期，就已有了数学的萌芽。对于数学的博大精深，古往今来许多圣哲、贤人作过不少精彩的论述，著名数学家陈省身先生曾写道：“我们欣赏数学，我们需要数学。”虽然朴实无华,却十分耐人寻味。创新教学的先行者里斯特伯先生指出：“学生学习数学就是要解决生活问题，只有极少数人才能攻克艰深的高级数学问题，我们不能只为了培养尖端人才而忽略或者牺牲大多数学生的利益，所以数学首先应该是生活概念。”在生活中学数学，以学生生活中实实在在的鲜活材料来吸引学生对数学的兴趣就是我们编写校本教材的目的。在素质教育已成为全社会共识的今天，能不能

2、转变教育教学观念，将直接关系到素质教育的成败。我们深切感受到，只有立足本校实际，以课改理念为先导，以创新实践为动力，深入挖掘校本课程资源，不断丰富校园文化，让学生体会到数学就在身边，感受到数学的趣味和价值，体验到数学的魅力，从而培养学生的数学应用能力。愿数学校本课程能成为你数学学习的开胃苹果，让你每天喜欢数学更多一点，并最终提升数学发展的持续动力。“问渠那得清如许，为有源头活水来”。数学校本课程就是你数学活力的不竭源泉。目 录1.1 数与式的运算1.1.1绝对值 第3页1.1.2. 乘法公式 第4页1.1.3二次根式 第5-6页1.1.分式 第7-8页12 分解因式 第9-10页2.1 一元二

3、次方程2.1.1根的判别式 第11-12页2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 第13-16页22 二次函数2.2.1 二次函数yax2bxc的图像和性质 第17-21页2.2.2 二次函数的三种表示方式 第22-24页2.2.3 二次函数的简单应用 第25-27页2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法 第28-29页2.3.2 一元二次不等式解法 第30-34页1.1 数与式的运算1.1绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在

4、数轴上，数和数之间的距离例1 解不等式：4解法一：由，得；由，得；若，不等式可变为，即4，解得x0，又x1，x0；若，不等式可变为，即14，不存在满足条件的x；若，不等式可变为，即4， 解得x4又x3，x4综上所述，原不等式的解为 x0，或x413ABx04CDxP|x1|x3|图111解法二：如图111，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|x1|；|x3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|x3|所以，不等式4的几何意义即为|PA|PB|4由|AB|2，可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧 x0，或x41

5、.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；（2）立方差公式 ；（3）三数和平方公式 ；（4）两数和立方公式 ；（5）两数差立方公式 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明例1 计算：解法一：原式= = =解法二：原式= = =例2 已知，求的值解： 1.1.3二次根式 一般地，形如的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ，等是无理式，而，等是有理式1分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化为了进行分母（子）有

6、理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等 一般地，与，与，与互为有理化因式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式2二次根式的意义例1 将下列式子化为

7、最简二次根式：（1）； （2）； （3）解： （1）； （2）； （3）例2计算：解法一： 解法二： 例3 试比较下列各组数的大小：（1）和； （2）和.解： （1）， ，又， （2） 又 42，42， .例4化简：解： 例 5 化简：（1）； （2） 解：（1）原式 （2）原式=， 所以，原式例 6 已知，求的值 解：，1.1.分式 1分式的意义形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式当M0时，分式具有下列性质：； 上述性质被称为分式的基本性质2繁分式像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式例1若，求常数的值解： ， 解得 例2（1）试证：（其中n是正整数）； （2）计算：； （3

8、）证明：对任意大于1的正整数n， 有（1）证明：， （其中n是正整数）成立（2）解：由（1）可知 （3）证明： ， 又n2，且n是正整数， 一定为正数， 例3设，且e1，2c25ac2a20，求e的值解：在2c25ac2a20两边同除以a2，得 2e25e20， (2e1)(e2)0， e1，舍去；或e2 e212 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例1 分解因式： （1）x23x2； （2）x24x12； （3）； （4） 解：（1）如图121，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成1与2的乘

9、积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是x23x2中的一次项，所以，有x23x2(x1)(x2)aybyxx图1242611图1231211图12212xx图121 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图121中的两个x用1来表示（如图122所示）（2）由图123，得x24x12(x2)(x6)（3）由图124，得11xy图125 （4）xy(xy)1(x1) (y+1) （如图125所示）2提取公因式法与分组分解法例2 分解因式： （1）； （2）解： （1）= = 或 （2）= =或 = = =3关于x的二次三项式ax2+bx+c(a0)的因式分解若关于x的方程的两

10、个实数根是、，则二次三项式就可分解为.例3把下列关于x的二次多项式分解因式：（1）； （2）解： （1）令=0，则解得， = =（2）令=0，则解得， =2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax2bxc0（a0），用配方法可以将其变形为 因为a0，所以，4a20于是（1）当b24ac0时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2；（2）当b24ac0时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1x2；（3）当b24ac0时，方程的右端是一个负数，而方程的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根由此可知，一元二次方程ax2bxc0

11、（a0）的根的情况可以由b24ac来判定，我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判别式，通常用符号“”来表示综上所述，对于一元二次方程ax2bxc0（a0），有（1） 当0时，方程有两个不相等的实数根 x1，2；（2）当0时，方程有两个相等的实数根 x1x2；（3）当0时，方程没有实数根例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根（1）x23x30； （2）x2ax10； （3） x2ax(a1)0； （4）x22xa0解：（1）3241330，方程没有实数根（2）该方程的根的判别式a241(1)a240，所以方程一定有两个不等

12、的实数根， （3）由于该方程的根的判别式为a241(a1)a24a4(a2)2，所以，当a2时，0，所以方程有两个相等的实数根 x1x21；当a2时，0， 所以方程有两个不相等的实数根 x11，x2a1（3）由于该方程的根的判别式为2241a44a4(1a)，所以当0，即4(1a) 0，即a1时，方程有两个不相等的实数根 ， ； 当0，即a1时，方程有两个相等的实数根 x1x21； 当0，即a1时，方程没有实数根说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要

13、的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程ax2bxc0（a0）有两个实数根 ，则有 ； 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax2bxc0（a0）的两根分别是x1，x2，那么x1x2，x1x2这一关系也被称为韦达定理特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1x2p，x1x2q，即 p(x1x2)，qx1x2，所以，方程x2pxq0可化为 x2(x1x2)xx1x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2

14、)xx1x20因此有以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2(x1x2)xx1x20例2 已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值解法一：2是方程的一个根，522k260，k7所以，方程就为5x27x60，解得x12，x2所以，方程的另一个根为，k的值为7解法二：设方程的另一个根为x1，则 2x1，x1由 （）2，得 k7所

15、以，方程的另一个根为，k的值为7例3 已知关于x的方程x22(m2)xm240有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1x22(m2)，x1x2m24 x12x22x1x221， (x1x2)23 x1x221，即 2(m2)23(m24)21，化简，得 m216m170， 解得 m1，或m17当m1时，方程为x26x50，0，满足题意；当m17时

16、，方程为x230x2930，302412930，不合题意，舍去综上，m17说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式是否大于或大于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根例4 已知两个数的和为4，积为12，求这两个数分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解解法一：设这两个数分别是x，y，则 xy4， xy12 由，得 y4x，

17、代入，得x(4x)12，即 x24x120，x12，x26 或因此，这两个数是2和6解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x24x120的两个根 解这个方程，得 x12，x26所以，这两个数是2和6说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷例5 若x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根（1）求| x1x2|的值； （2）求的值；（3）x13x23解：x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根， ，（1）| x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x2 6， | x1x2|（2）（3）x13x23(x1x2)( x1

18、2x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ()()23()说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0（a0），则，| x1x2| 于是有下面的结论：若x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0（a0），则| x1x2|（其中b24ac）今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论例6 若关于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围解：设x1，x2是方程的两根，则 x1x2a40， 且(1)2

19、4(a4)0 由得 a4，由得 aa的取值范围是a422 二次函数2.2.1 二次函数yax2bxc的图像和性质问题1 函数yax2与yx2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y2x2，yx2，y2x2的图象，通过这些函数图象与函数yx2的图象之间的关系，推导出函数yax2与yx2的图象之间所存在的关系先画出函数yx2，y2x2的图象先列表：x3210123x294101492x2188202818yx2y2x2图2.2-1xOy从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了再描点、连线，就分别得到了函数yx2，y2x2的图象（如图21所示），从图

20、21我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y2x2的图象可以由函数yx2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到同学们也可以用类似于上面的方法画出函数yx2，y2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数yx2的图象之间的关系图2.2-2xyO1y2x2y2(x1)2y2(x1)21通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数yax2(a0)的图象可以由yx2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到在二次函数yax2(a0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小问题2 函数ya(xh)2k与yax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系

21、来研究它们之间的关系同学们可以作出函数y2(x1)21与y2x2的图象（如图22所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y2(x1)21的图象这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点类似地，还可以通过画函数y3x2，y3(x1)21的图象，研究它们图象之间的相互关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数ya(xh)2k(a0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”由上面的结论，我们可以得

22、到研究二次函数yax2bxc(a0)的图象的方法：由于yax2bxca(x2)ca(x2)c ，所以，yax2bxc(a0)的图象可以看作是将函数yax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数yax2bxc(a0)具有下列性质：（1）当a0时，函数yax2bxc图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，y随着x的增大而增大；当x时，函数取最小值y（2）当a0时，函数yax2bxc图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，y随着x的增大而增大；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，函数取最大值y 上述二次函数的性质可以分别通过图223和图2

23、24直观地表示出来因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题xyOxA图2.2-3xyOxA图2.2-4xOyx1A(1,4)D(0,1)BC图2.25例1 求二次函数y3x26x1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象解：y3x26x13(x1)24，函数图象的开口向下；对称轴是直线x1；顶点坐标为(1，4)；当x1时，函数y取最大值y4；当x1时，y随着x的增大而增大；当x1时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(1，4)，与x轴交于点B和C，与y轴的交

24、点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图25所示）说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：x /元130150165y/件705035若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润日销售量y(销售价x120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x

25、之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值解：由于y是x的一次函数，于是，设ykx（B）将x130，y70；x150，y50代入方程，有 解得 k1，b200 yx200设每天的利润为z（元），则z(x+200)(x120)x2320x24000 (x160)21600，当x160时，z取最大值1600答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元例3 把二次函数yx2bxc的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数yx2的图像，求b，c的值解法一：yx2bxc(x+)2，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到的图像，也就是函数yx2的图

26、像，所以， 解得b8，c14解法二：把二次函数yx2bxc的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数yx2的图像，等价于把二次函数yx2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数yx2bxc的图像由于把二次函数yx2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y(x4)22的图像，即为yx28x14的图像，函数yx28x14与函数yx2bxc表示同一个函数，b8，c14说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对

27、较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题例4 已知函数yx2，2xa，其中a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值 分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论解：（1）当a2时，函数yx2的图象仅仅对应着一个点(2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x2；（2）当2a0时，由图226可知，当x2时，函数取最大值y4；当xa时，函数取最小值ya2；（3）当0a2时，由图226可知，当x2时，函数取最大

28、值y4；当x0时，函数取最小值y0；（4）当a2时，由图226可知，当xa时，函数取最大值ya2；当x0时，函数取最小值y0xyO2axyO2aa24图2.26xyOa224a22xyOaa24说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题2.2.2 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1一般式：yax2bxc(a0)；2顶点式：ya(xh)2k (a0)，其中顶点坐标是(h，k)除了上述两

29、种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴交点个数当抛物线yax2bxc(a0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2bxc0 并且方程的解就是抛物线yax2bxc(a0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交点个数与方程的解的个数有关，而方程的解的个数又与方程的根的判别式b24ac有关，由此可知，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交点个数与根的判别式b24ac存在下列关系：（1）当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线yax2bxc(a0

30、)与x轴有两个交点，则0也成立（2）当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线yax2bxc(a0)与x轴有一个交点，则0也成立（3）当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线yax2bxc(a0)与x轴没有交点，则0也成立于是，若抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2bxc0的两根，所以x1x2，x1x2，即 (x1x2)， x1x2所以，yax2bxca() = ax2(x1x2)xx1x2 a(xx1) (xx2) 由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线

31、yax2bxc(a0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为ya(xx1) (xx2) (a0)这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3交点式：ya(xx1) (xx2) (a0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题 例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线yx1上，并且图象经过点（3，1），求二次函数的解析式分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点

32、来求解出系数a解：二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，顶点的纵坐标为2又顶点在直线yx1上，所以，2x1，x1顶点坐标是（1，2）设该二次函数的解析式为，二次函数的图像经过点（3，1），解得a2二次函数的解析式为，即y2x28x7说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题例2 已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函

33、数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式解法一：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，可设二次函数为ya(x3) (x1) (a0)，展开，得 yax22ax3a， 顶点的纵坐标为 ，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，|4a|2，即a所以，二次函数的表达式为y，或y分析二：由于二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式解法二：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，对称轴为直线x

34、1又顶点到x轴的距离为2，顶点的纵坐标为2，或2于是可设二次函数为ya(x1)22，或ya(x1)22，由于函数图象过点(1，0)，0a(11)22，或0a(11)22a，或a所以，所求的二次函数为y(x1)22，或y(x1)22说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题例3 已知二次函数的图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，求此二次函数的表达式解：设该二次函数为yax2bxc(a0)由函数图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，可得 解得 a2，b12，c8所以，所

35、求的二次函数为y2x212x82.2.3 二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1平移变换问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可例1 求把二次函数yx24x3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（

36、即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式解：二次函数y2x24x3的解析式可变为 y2(x1)21，其顶点坐标为(1，1)（1）把函数y2(x1)21的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y2(x3)22（2）把函数y2(x1)21的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(1， 2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函

37、数表达式就为 y2(x1)222对称变换问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题xyOx1A(1,1)图2.27例2 求把二次函数y2x24x1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：（1）直线x1；（2）直线y1解：（1）如图227，把二次函数y2x24x1的图象关于直线x1作对

38、称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状由于y2x24x12(x1)21，可知，函数y2x24x1图象的顶点为A(1,1)，所以，对称后所得到图象的顶点为A1(3，1)，所以，二次函数y2x24x1的图象关于直线x1对称后所得到图象的函数解析式为y2(x3)21，即y2x212x17xyOy1A(1,1)B(1，3)图2.28（2）如图228，把二次函数y2x24x1的图象关于直线x1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状由于y2x24x12(x1)21，可知，函数y2x24x1图象的顶点为A(1,1)，所以，对称后所得到图象的顶点为B(1，3)，且开口向下，所以，二次

39、函数y2x24x1的图象关于直线y1对称后所得到图象的函数解析式为y2(x1)23，即y2x24x1二、分段函数一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数 例3 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg(0x100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象分析：由于当自变量x在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式在解题时，需要注意的是，当x在各个小范围内（如20x40）变化时，它所对

40、应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）解：设每封信的邮资为y（单位：分），则y是x的函数这个函数的解析式为x(克)y(分)O图2.29 20 40 60 80 10040032024016080 由上述的函数解析式，可以得到其图象如图229所示2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法方程 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程其中,叫做这个方程的二次项,叫做一次项,6叫做常数项我们看下面的两个方程组： 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方

41、程组下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解例1 解方程组 分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式注意到方程是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题解：由,得 x2y2， 把代入,整理,得 8y28y0，即 y(y1)0 解得 y10，y21 把y10代入, 得 x12； 把y21代入, 得x20 所以原方程组的解是 说明：在解类似于本例的二元二次方程组

42、时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解例2 解方程组 解法一：由，得 把代入，整理，得解这个方程，得把代入，得；把代入，得所以原方程的解是 解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求这个方程组的是一元二次方程的两个根，解这个方程，得，或所以原方程组的解是2.3.2 一元二次不等式解法二次函数yx2x6的对应值表与图象如下：x32101234y60466406由对应值表及函数图象(如图2.31)可知当x2，或x3时，y0，即x2x60；当x2，或x3时，y0，即x2x60；当2x3时，y0，即x2x60这就是说，如果

43、抛物线y= x2x6与x轴的交点是(2，0)与(3，0)，那么xO23yx2x6yy0y0y0图2.31一元二次方程x2x60的解就是x12，x23；同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到一元二次不等式x2x60的解是 x2，或x3；一元二次不等式 x2x60的解是 2x3上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集 那么，怎样解一元二次不等式ax2bxc0(a0)呢？ 我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数yax2bxc(a0)的图象来解一元二次不等式ax2bxc0(a0) 为了方便起见，我们先来研究二次项系数a0时的一元二次不等式的解

44、xyOx1x2xyOx1= x2yxO图2.32我们知道，对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，设b24ac，它的解的情形按照0，=0，0分别为下列三种情况有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线yax2bxc（a0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.32所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2bxc0（a0）与ax2bxc0（a0）的解（1）（1）当0时，抛物线yax2bxc（a0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2bxc0有两个不相等的实数根x1和x2(x1x2)，由图2.32可知不等式ax

45、2bxc0的解为 xx1，或xx2； 不等式ax2bxc0的解为 x1xx2 （2）当0时，抛物线yax2bxc（a0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2bxc0有两个相等的实数根x1x2，由图2.32可知不等式ax2bxc0的解为 x； 不等式ax2bxc0无解（3）如果0，抛物线yax2bxc（a0）与x轴没有公共点，方程ax2bxc0没有实数根，由图2.32可知不等式ax2bxc0的解为一切实数；不等式ax2bxc0无解今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以1，将不等式变成二次项系数大于零的形式

46、，再利用上面的结论去解不等式例3 解不等式： （1）x22x30； （2）xx260； （3）4x24x10； （4）x26x90； （5）4xx20 解：（1）0，方程x22x30的解是 x13，x21 不等式的解为 3x1 （2）整理，得 x2x60 0，方程x2x6=0的解为 x12，x23所以，原不等式的解为 x2，或x3（3）整理，得 (2x1)20.由于上式对任意实数x都成立，原不等式的解为一切实数（4）整理，得 (x3)20.由于当x3时，(x3)20成立；而对任意的实数x，(x3)20都不成立，原不等式的解为 x3（5）整理，得 x2x400，所以，原不等式的解为一切实数例4

47、已知不等式的解是求不等式的解解：由不等式的解为，可知，且方程的两根分别为2和3，即 由于，所以不等式可变为 ，即 整理，得 所以，不等式的解是 x1，或x说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题例5 解关于的一元二次不等式为实数).分析 对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已满足这一要求,欲求一元二次不等式的解,要讨论根的判别式的符号,而这里的是关于未知系数的代数式, 的符号取决于未知系数的取值范围，因此,再根据解题的需要,对的符号进行分类讨论. 解: , 当 所以,原不等式的解集为 或； 当0，即a2时，原不等式的解为 x； 当为一切实数 . 综上,当a2，或a2时，原不等式的解是 或；当为一切实数 例6 已知函数yx22ax1(a为常数)在2x1上的最小值为n，试将n用a表示出来分析：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关，于是需要对对称轴的位置进行分类讨论 解：y(xa)21a2， 抛物线yx22ax1的对称轴方程是xa （1）若2a1，由图2.3-3可知,当xa时，该函数取最小值 n1a2； (2)