最新一轮北师大版理数学教案：第7章 第4节　垂直关系 Word版含解析

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1、 第四节垂直关系考纲传真1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题1直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直(2)定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直l性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行 ab2.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面(2)二面角的度量二面

2、角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角平面角是直角的二面角叫作直二面角3平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直l1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行()(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这

3、两条直线平行()(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m.()A若l，则B若，则lmC若l，则D若，则lmAl，l，(面面垂直的判定定理)，故A正确3(20xx浙江高考)已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足 m，n，则()AmlBmnCnlDmnCl，l.n，nl.4如图741，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_图7414PA平面ABC，PAAB，PAAC，PABC，则PAB，PAC为直角三角形由BCAC，且ACPAA，BC平面PAC

4、，从而BCPC.因此ABC，PBC也是直角三角形5边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为_. 【导学号：57962336】a如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO，则AOC是二面角ABDC的平面角即AOC90，又AOCOa，ACa，即折叠后AC的长(AC)为a.线面垂直的判定与性质如图742，在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，CDBD. 图742(1)求证：CD平面ABD；(2)若ABBDCD1，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积解(1)证明：因为AB平面BCD，CD平面BCD，所以ABCD.2分又因为CDBD，ABBDB，AB平面ABD，BD平面ABD，所

5、以CD平面ABD.5分(2)由AB平面BCD，得ABBD.又ABBD1，所以SABD12.8分因为M是AD的中点，所以SABMSABD.根据(1)知，CD平面ABD，则三棱锥CABM的高hCD1，故VAMBCVCABMSABMh.12分规律方法1.证明直线和平面垂直的常用方法：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(ab，ab)；(3)面面平行的性质(a，a)；(4)面面垂直的性质2证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想变式训练1如图743所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且ADDB，点C

6、为圆O上一点，且BCAC，PD平面ABC，PDDB.图743求证：PACD.证明因为AB为圆O的直径，所以ACCB，在RtABC中，由ACBC，得ABC30.3分设AD1，由3ADDB，得DB3，BC2，由余弦定理得CD2DB2BC22DBBCcos 303，所以CD2DB2BC2，即CDAO.8分因为PD平面ABC，CD平面ABC，所以PDCD，由PDAOD，得CD平面PAB，又PA平面PAB，所以PACD.12分面面垂直的判定与性质(20xx郑州调研)如图744，三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点 图744(1)求证：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，

7、求证：平面BCD平面EGH.证明(1)如图所示，连接DG，CD，设CDGFM，连接MH.1分在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DFGC，DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形.3分则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HMBD，由于HM平面FGH，BD平面FGH，故BD平面FGH.5分(2)连接HE，CE，CD.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GHAB.6分由ABBC，得GHBC.又H为BC的中点，所以EFHC，EFHC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CFHE.10分由于CFBC，所以HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH.所以BC平面EGH.又BC

8、平面BCD，所以平面BCD平面EGH.12分规律方法1.面面垂直的证明的两种思路：(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题2垂直问题的转化关系： 变式训练2如图745，在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，PAPB，M，N分别为AB，PA的中点图745(1)求证：PB平面MNC；(2)若ACBC，求证：PA平面MNC.证明(1)因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MNPB，2分又因为MN平面MNC，PB平面MNC，所以PB平面MNC.5分(2)因

9、为PAPB，MNPB，所以PAMN.因为ACBC，AMBM，所以CMAB.7分因为平面PAB平面ABC，CM平面ABC，平面PAB平面ABCAB.所以CM平面PAB.10分因为PA平面PAB，所以CMPA.又MNCMM，所以PA平面MNC.12分平行与垂直的综合问题角度1多面体中平行与垂直关系的证明(20xx江苏高考)如图746，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.图746求证：(1)直线DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.证明(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1AC.在ABC中，因为D

10、，E分别为AB，BC的中点，所以DEAC，于是DEA1C1.3分又因为DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直线DE平面A1C1F.5分(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面A1B1C1.因为A1C1平面A1B1C1，所以A1AA1C1.7分又因为A1C1A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1AA1B1A1，所以A1C1平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D.10分又因为B1DA1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1A1FA1，所以B1D平面A1C1F.因为直线B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面

11、A1C1F.12分规律方法1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化2垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用角度2平行垂直中探索开放问题(20xx秦皇岛调研)如图747(1)所示，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图747(2)所示(1)(2)图747(1)求证：A1FBE；(2)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？并说明理由. 【导学号：57962337】证明(1)由已知，得ACBC，且DEBC.所以DEAC，则DEDC，DEDA1

12、，因为DCDA1D，所以DE平面A1DC.2分由于A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因为A1FCD，CDDED，所以A1F平面BCDE，又BE平面BCDE，所以A1FBE.5分(2)线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.6分理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，则PQBC.又因为DEBC，则DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEQP.9分由(1)知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP.又DPDED，所以A1C平面DEQP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.12分规律方法1.

13、对命题条件探索性的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性2平行(垂直)中点的位置探索性问题：一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.线面角的求法与应用(20xx浙江高考)如图748，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.图748(1)求证：BF平面ACFD；(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值解(1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.1分因为平面BCFE平面ABC，且

14、ACBC，所以AC平面BCK，3分因此，BFAC.又因为EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK.所以BF平面ACFD.5分(2)因为BF平面ACK，所以BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.8分在RtBFD中，BF，DF，得cosBDF，所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为.12分规律方法1.利用综合法求空间角的步骤：(1)找：根据图形找出相关的线面角或二面角(2)证：证明找出的角即为所求的角(3)算：根据题目中的数据，通过解三角形求出所求角2线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解变式

15、训练3如图749，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点图749(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE平面PCD.解(1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，AB平面ABCD，故PAAB.又ABAD，PAADA，从而AB平面PAD，2分故PB在平面PAD内的射影为PA，从而APB为PB和平面PAD所成的角在RtPAB中，ABPA，故APB45.PB和平面PAD所成的角的大小为45.5分(2)证明：在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，故CDPA.由条件CDAC，PAACA，CD平面PAC.7

16、分又AE平面PAC，AECD.由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.10分又PCCDC，故AE平面PCD.12分思想与方法1证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a与内任一直线都垂直a；(2)判定定理1：l；(3)判定定理2：ab，ab；(4)面面垂直的性质：，l，a，ala.2证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.3转化思想：垂直关系的转化易错与防范1在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化2面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可