15讲梁的挠曲线方程与积分解法

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1、第十三讲 梁的挠曲线方程与积分解法 湖南理工学院曾纪杰 梁的挠度和转角梁的挠度和转角 ypxccwx1 1、度量弯曲变形的两个量：、度量弯曲变形的两个量：（1 1）挠度：梁轴线上的点在垂直于梁轴线方向的所发生的线）挠度：梁轴线上的点在垂直于梁轴线方向的所发生的线位移位移称为挠度。（工程上的一般忽略水平线位移）称为挠度。（工程上的一般忽略水平线位移）（2 2）转角：梁变形后的横截面相对于原来横截面绕中性轴所）转角：梁变形后的横截面相对于原来横截面绕中性轴所转过的角位移转过的角位移称为转角。称为转角。一一 弯曲变形的量度及符号规定弯曲变形的量度及符号规定 梁的挠度和转角梁的挠度和转角 ypxccw

2、x（2 2）挠度的符号规定：向上为正，向下为负。）挠度的符号规定：向上为正，向下为负。2 2、符号规定：、符号规定：（1 1）坐标系的建立：）坐标系的建立： 坐标原点一般设在梁的左端，并规坐标原点一般设在梁的左端，并规定：以变形前的梁轴线为定：以变形前的梁轴线为x x轴，向右为正；以轴，向右为正；以y y轴代表曲线轴代表曲线的纵坐标（挠度），向上为正。的纵坐标（挠度），向上为正。（3 3）转角的符号规定：逆时针转向的转角为正；）转角的符号规定：逆时针转向的转角为正； 顺时针转向的转角为负。顺时针转向的转角为负。W（-） （- -）1 1、挠曲线：、挠曲线： 在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线在

3、弯曲平面内在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线在弯曲平面内成为一条平面曲线，这条曲线称为挠曲线。成为一条平面曲线，这条曲线称为挠曲线。轴线轴线纵向对称面纵向对称面FqM弯曲后梁的轴线弯曲后梁的轴线（挠曲线）（挠曲线）纯弯曲纯弯曲 横力弯曲横力弯曲（ lh5）2 2、挠曲线的近似微分方程、挠曲线的近似微分方程(1)曲率与弯矩、抗弯刚度的关系.0175.010maxrador横力弯曲横力弯曲max（0.010.001）l ；MEId2 2d dx2（x）2 2owxMM0022Mdxdw选取如图坐标系，则选取如图坐标系，则 弯矩弯矩M与与 恒为同号恒为同号22dxd(2)(2)挠曲线近似微分方程符号

4、及近似解释挠曲线近似微分方程符号及近似解释MEId2 2d dx2（x）近似解释：（近似解释：（1 1）忽略了）忽略了 剪力的影响；剪力的影响；（2 2）由于小变形，略去）由于小变形，略去 了曲线方程中的高次项。了曲线方程中的高次项。2 22 2(3)(3)选用不同坐标系下的挠曲线近似微分方程选用不同坐标系下的挠曲线近似微分方程1 1、积分法、积分法基本方法基本方法 利用积分法求梁变形的一般步骤：利用积分法求梁变形的一般步骤：（1 1）建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求支座反力，）建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求支座反力，分段列弯矩方程；分段列弯矩方程； 分段的原则分段的

5、原则: :凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间 的相互作用力，故应作为分段点；的相互作用力，故应作为分段点；二二 计算弯曲变形的两种方法计算弯曲变形的两种方法(2)(2)分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分两次分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分两次对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程：对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程：再

6、积分一次，得挠曲线方程：再积分一次，得挠曲线方程：)(1)(cdxxMEIdxdxDcxdxxMEIx)(1)(3)(3)利用边界条件、连续条件确定积分常数利用边界条件、连续条件确定积分常数 积分常数的数目积分常数的数目取决于的分段数取决于的分段数 M (x) n n 段段 积分常数积分常数2n2n个个举例：举例：)(xM分分2段，则积分常数段，则积分常数2x2=4个个积分常数的确定积分常数的确定边界条件和连续条件：边界条件和连续条件： 边界条件：边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的已知条件称为边界条件。的已知条件称为边界条件。 连续条件：连

7、续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转因此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。角值，这样的已知条件称为连续条件。 边界条件边界条件积分常数积分常数2n2n个个= =2n2n个个 连续条件连续条件00AA右左右左BBBB边界条件：边界条件： 连续条件：连续条件：列出图示结构的边界条件和连续条件。列出图示结构的边界条件和连续条件。列出图示结构的边界条件和连续条件。列出图示结构的边界条件和连续条件。000CAA右左右左右左BBDDDD解：边界条件：解：边界条

8、件： 连续条件：连续条件： 积分常数的物理意义和几何意义积分常数的物理意义和几何意义物理意义：将物理意义：将x=0 x=0代入转角方程和挠曲线方程，得代入转角方程和挠曲线方程，得 即坐标原点处梁的转角，它的即坐标原点处梁的转角，它的EIEI倍就是积分常数倍就是积分常数C C； 即坐标原点处梁的挠度的即坐标原点处梁的挠度的EIEI倍就是积分常数倍就是积分常数D D。几何意义：几何意义：C C转角转角 D D挠度挠度(4)(4)建立转角方程和挠曲线方程；建立转角方程和挠曲线方程；(5)(5)计算指定截面的转角和挠度值，特别注意计算指定截面的转角和挠度值，特别注意 和和 及其及其 所在截面。所在截面

9、。oEICoEIDmaxmaxAqBLA例例题题1: 悬臂梁受力如图所示。求悬臂梁受力如图所示。求 和和 。AXyx取参考坐标系取参考坐标系Axy。解：解：1、列出梁的弯矩方程、列出梁的弯矩方程221)(qxxM)0(Lx2、22dxdzEIxM)(221qxEI积分一次：积分一次：CqxEIEI361积分二次：积分二次：DCxqxEI4241（1）（2）3、确定常数、确定常数C、D.由边界条件：由边界条件：0,Lx代入（代入（1）得：）得：361qLC0,yLx代入（代入（2）得：）得：481qLD代入（代入（1）（）（2）得：）得：)6161(133qLqxEI)86241(1434qLx

10、qLqxEIEIqLA630 x代入得：代入得：将将（与（与C比较知：比较知： ）CEIAEIqLA84（与（与D比较知：比较知： ）DEIA常数常数C表示起始截面的转角表示起始截面的转角刚度刚度( (EI) )因此因此常数常数D表示起始截面的挠度表示起始截面的挠度刚度刚度( (EI) )例例题题2: 一简支梁受力如图所示。试求一简支梁受力如图所示。试求 和和 。)(),(xxmax,AALFCabAyFByFyx解：解：1、求支座反力、求支座反力,LFbFAyLFaFByx2、分段列出梁的弯矩方程、分段列出梁的弯矩方程,)(1xLFbxFxMA,1xLFbEI)(LxaBC段段x)0 (ax

11、AC段段B),()(2axFxLFbxM),(2axFxLFbEI,21211CxLFbEIEI)(LxaBC段段)0 (axAC段段,)(2222222CaxFxLFbEIEI,61131DxCxLFbEI,)(6622332DxCaxFxLFbEI3、确定常数、确定常数由边界条件：由边界条件：0, 0Ax（1）0,BLx（2）由光滑连续条件：由光滑连续条件：21 时，ax（3）21 时，ax（4）可解得：可解得：)(6221bLLFbC,2C021 DD则简支梁的转角方程和挠度方程为则简支梁的转角方程和挠度方程为),(36)(2221bLxLEIFbx)(LxaBC段段)0 (axAC段段

12、,)(6)(2231xbLxLEIFbx,2)()(36)(22222axFbLxLEIFbx)(6)(6)(32232axLxbLxLEIFbx4、求转角、求转角0 x代入得：代入得：LEIbLFbxA6)(2201Lx代入得：代入得：LEIaLFabLxB6)(25、求、求 。max0dxd由求得求得 的位置值的位置值x。max, 06)(22LEIbLFbA)(03)(1baLEIbaFabaxC段。在AC00)(36)(2221bLxLEIFbx则由则由解得：解得：322bLx)(1xy代入代入 得：得：EIbLFb39)(2322max2Lba若若 则：则：EIFLLx4832maxmax 作业：刘鸿文，作业：刘鸿文，材料力学材料力学（第五版）（第五版） 6-3 d6-3 d；6-4 d6-4 d