高三数学文教师用书：第八章解析几何Word版含答案

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1、高考数学精品复习资料 2019.5 第八章第八章 解析几何解析几何 第一节第一节直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率、直线的方程直线的方程 1直线的倾斜角直线的倾斜角 (1)定义：当直线定义：当直线 l 与与 x 轴相交时轴相交时，取取 x 轴作为基准轴作为基准，x 轴正向与直线轴正向与直线 l 向上方向向上方向之间所之间所成的角叫做直线成的角叫做直线 l 的倾斜角当直线的倾斜角当直线 l 与与 x 轴轴平行或重合平行或重合时时，规定它的倾斜角为规定它的倾斜角为 0 (2)范围：直线范围：直线 l 倾斜角的取值范围是倾斜角的取值范围是0，) 2斜率公式斜率公式 (1)直线直线 l 的倾斜角为的

2、倾斜角为 (2)，则斜率则斜率 ktan_ (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线在直线 l 上上，且且 x1x2，则则 l 的斜率的斜率 ky2y1x2x1 3直线方程的五种形式直线方程的五种形式 名称名称 方程方程 适用范围适用范围 点斜式点斜式 yy0k(xx0) 不含直线不含直线 xx0 斜截式斜截式 ykxb 不含垂直于不含垂直于 x 轴的直线轴的直线 两点式两点式 yy1y2y1xx1x2x1 不含直线不含直线 xx1(x1x2) 和直线和直线 yy1(y1y2) 截距式截距式 xayb1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式一般式 Ax

3、ByC0， A2B20 平面平面内所有直线都适用内所有直线都适用 小题体验小题体验 1(教材习题改编教材习题改编)若过两点若过两点 A(m,6)，B(1,3m)的直线的斜率为的直线的斜率为 12，则则 m_ 答案：答案：2 2(教材习题改编教材习题改编)已知三角形的三个顶点已知三角形的三个顶点 A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，则则 BC 边上中边上中线所在的直线方程为线所在的直线方程为_ 答案：答案：x13y50 3已知直线已知直线 l：axy2a0 在在 x 轴和轴和 y 轴上的截距相等轴上的截距相等，则实数则实数 a_ 解析：解析： 令令 x0， 则则 l 在在 y 轴的截距为轴

4、的截距为 2a； 令； 令 y0， 得直线得直线 l 在在 x 轴上的截距为轴上的截距为 12a 依依题意题意 2a12a，解得解得 a1 或或 a2 答案：答案：1 或或2 1点斜式点斜式、斜截式方程适用于不垂直于斜截式方程适用于不垂直于 x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于轴的直线；两点式方程不能表示垂直于 x，y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线 2截距不是距离截距不是距离，距离是非负值距离是非负值，而截距可正可负而截距可正可负，可为零可为零，在与截距有关的问题中在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零要注意

5、讨论截距是否为零 3求直线方程时求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时若不能断定直线是否具有斜率时，应注应注意分类讨论意分类讨论，即应对斜率是即应对斜率是否存在加以讨论否存在加以讨论 小题纠偏小题纠偏 1经过点经过点 A(2，3)，倾斜角等于直线倾斜角等于直线 yx 的的 2 倍的直线方程为倍的直线方程为_ 解析：解析：直线直线 yx 的斜率的斜率 k1，故倾斜角为故倾斜角为4，所以所求的直线的倾斜角为所以所求的直线的倾斜角为2，则所求的则所求的直线方程为直线方程为 x2 答案：答案：x2 2过点过点 M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程

6、为_ 解析：解析：若直线过原点若直线过原点，则则 k43， 所以所以 y43x， 即即 4x3y0 若直线不过若直线不过原点原点 设设xaya1，即即 xya 则则 a3(4)1， 所以直线的方程为所以直线的方程为 xy10 答案：答案：4x3y0 或或 xy10 考点一考点一 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 基础送分型考点基础送分型考点自主练透自主练透 题组练透题组练透 1(20 xx 绥化一模绥化一模)直线直线 xsin y20 的倾斜的倾斜角的取值范围是角的取值范围是( ) A0，) B 0，4 34， C 0，4 D 0，4 2， 解解析：析：选选 B 因为直线因为直线 xsin

7、 y20 的斜率的斜率 ksin ，又又1sin 1，所以所以1k1设直线设直线 xsin y20 的倾斜角为的倾斜角为 ，所以所以1tan 1，而而 0，)，故倾故倾斜角的取值范围是斜角的取值范围是 0，4 34， 2若点若点 A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线三点共线，则则 a 的值为的值为_ 解析：解析：kAC53641，kABa354a3由于由于 A，B，C 三点共线三点共线，所以所以 a31，即即 a4 答案：答案：4 3若直线若直线 l 经过点经过点 A(1,2)，在在 x 轴上的截距的取值范围是轴上的截距的取值范围是(3，3)，则其斜率的取值范则其斜率的取值范围是围

8、是_ 解析：解析：设直线设直线 l 的斜率为的斜率为 k，则直线方程为则直线方程为 y2k(x1)，在在 x 轴上的截距为轴上的截距为 12k令令312k3， 解得解得 k1 或或 k12 故其斜率的取值范围为故其斜率的取值范围为(，1) 12， 答案：答案：(，1) 12， 谨记通法谨记通法 1倾斜角与斜率倾斜角与斜率 k 的关系的关系 当当 0，2且由且由 0 增大到增大到2 2时时，k 的值由的值由 0 增大到增大到 当当 2， 时时，k 也是关于也是关于 的单调函数的单调函数，当当 在此区间内由在此区间内由2 2增大到增大到 ()时时，k 的值由的值由趋近于趋近于 0(k0) 2斜率的

9、斜率的 2 种求法种求法 (1)定义法： 若已知直线的倾斜角定义法： 若已知直线的倾斜角 或或 的某种三角函数值的某种三角函数值， 一般根据一般根据 ktan 求斜率求斜率 (2)公式法： 若已知直线上两点公式法： 若已知直线上两点 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 一般根据斜率公式一般根据斜率公式 ky2y1x2x1(x1x2)求斜率求斜率 考点二考点二 直线的方程直线的方程 重点保分型考点重点保分型考点师生共研师生共研 典例引领典例引领 (1)求过点求过点 A(1,3)，斜率是直线斜率是直线 y4x 的斜率的的斜率的13的直线方程；的直线方程； (2)求经过点求经过点 A(5,2

10、)，且在且在 x 轴上的截距等于在轴上的截距等于在 y 轴上截距的轴上截距的 2 倍的直线方程倍的直线方程 解：解：(1)设所求直线的斜率为设所求直线的斜率为 k，依题意依题意 k41343又直线经过点又直线经过点 A(1,3)，因此因此所求直线方程为所求直线方程为 y343(x1)，即即 4x3y130 (2)当直线不过原点时当直线不过原点时， 设所求直线方程为设所求直线方程为x2aya1， 将将(5,2)代入所设方程代入所设方程， 解得解得 a12， 所以直线方程为所以直线方程为 x2y10； 当直线过原点时当直线过原点时， 设直线方程为设直线方程为 ykx，则则5k2， 解得解得 k25

11、， 所以直线方程为所以直线方程为 y25x， 即即 2x5y0 故所求直线方程为故所求直线方程为 2x5y0 或或 x2y10 由题悟法由题悟法 求直线方程的求直线方程的 2 个注意点个注意点 (1)在求直线方程时在求直线方程时，应选择适当的形式应选择适当的形式，并注意各并注意各种形式的适用条件种形式的适用条件 (2)对于点斜式对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式若采用点斜式，应先考应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零应判断截距是否为零) 即时应用即时应用 已知点已知点

12、A(3,4)，求满足下列条件的直线方程：求满足下列条件的直线方程： (1)经过点经过点 A 且在两坐标轴上截距相等；且在两坐标轴上截距相等； (2)经过点经过点 A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形 解：解：(1)设直线在设直线在 x 轴轴，y 轴上的截距均为轴上的截距均为 a 若若 a0，即直线过点即直线过点(0,0)及及(3,4) 直线的方程为直线的方程为 y43x，即即 4x3y0 若若 a0，设所求直线的方程为设所求直线的方程为xaya1， 又点又点(3,4)在直线上在直线上，3a4a1，a7 直线的方程为直线的方程为 xy70 综合综合可知所求直线

13、的方程为可知所求直线的方程为 4x3y0 或或 xy70 (2)由题意可知由题意可知，所求直线的斜率为所求直线的斜率为 1 又过点又过点(3,4)，由点斜式得由点斜式得 y4 (x3) 故所求直线的方程为故所求直线的方程为 xy10 或或 xy70 考点三考点三 直线方程的综合应用直线方程的综合应用 题点多变型考点题点多变型考点多角探明多角探明 锁定考锁定考向向 直线方程的综合应用是常考内容之一直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数它常与函数、导数导数、不等式不等式、圆相结合圆相结合，命题命题多为客观题多为客观题 常见的命题角度有：常见的命题角度有： (1)与基本不等式相结合的最值问题；

14、与基本不等式相结合的最值问题； (2)与导数的几何意义相结合的问题；与导数的几何意义相结合的问题； (3)与圆相结合求直线方程的问题与圆相结合求直线方程的问题 题点全练题点全练 角度一：与基本不等式相结合的最值问题角度一：与基本不等式相结合的最值问题 1过点过点 P(4,1)作直线作直线 l 分别交分别交 x 轴轴，y 轴正半轴于轴正半轴于 A，B 两点两点，O 为坐标原点为坐标原点 (1)当当AOB 面积最小时面积最小时，求直线求直线 l 的方程的方程 (2)当当|OA|OB|取最小值时取最小值时，求直线求直线 l 的方程的方程 解：解：设直线设直线 l：xayb1(a0，b0)， 因为直线

15、因为直线 l 经过点经过点 P(4,1)，所以所以4a1b1 (1)4a1b124a1b4ab， 所以所以 ab16， 当且仅当当且仅当 a8，b2 时等号成立时等号成立， 所以当所以当 a8，b2 时时， AOB 的面积最小的面积最小， 此时直线此时直线 l 的方程为的方程为x8y21，即即 x4y80 (2)因为因为4a1b1，a0，b0， 所以所以|OA|OB|ab(ab) 4a1b5ab4ba52 ab4ba9，当且仅当当且仅当 a6，b3 时等号成立时等号成立， 所以当所以当|OA|OB|取最小值时取最小值时，直线直线 l 的方程为的方程为x6y31，即即 x2y60 角度二：与导数

16、的几何角度二：与导数的几何意义相结合的问题意义相结合的问题 2设设 P 为曲线为曲线 C：yx22x3 上的点上的点，且曲线且曲线 C 在点在点 P 处的切线倾斜角的取值范围处的切线倾斜角的取值范围为为 0，4，则点则点 P 横坐标的取值范围为横坐标的取值范围为( ) A 1，12 B1，0 C0,1 D 12，1 解析解析：选：选 A 由题意知由题意知 y2x2，设设 P(x0，y0)， 则则 k2x02 因为曲线因为曲线 C 在点在点 P 处的切线倾斜角的取值范围为处的切线倾斜角的取值范围为 0，4，所以所以 0k1， 即即 02x021，故故1x012 角度三：与圆相结合求直线方程的问题

17、角度三：与圆相结合求直线方程的问题 3在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中中，设设 A 是半圆是半圆 O：x2y22(x0)上一点上一点，直线直线 OA 的倾的倾斜角为斜角为 45 ，过点过点 A 作作 x 轴的垂线轴的垂线，垂足为垂足为 H，过过 H 作作 OA 的平行线交半圆于点的平行线交半圆于点 B，则直则直线线 AB 的方程是的方程是_ 解析解析：直线：直线 OA 的方程为的方程为 yx，代入半圆方程得代入半圆方程得 A(1,1)， H(1,0)，直线直线 HB 的方程为的方程为 yx1， 代入半圆方程得代入半圆方程得 B 1 32，1 32 所以直线所以直线 AB 的方程为的

18、方程为y11 321x11 321， 即即 3xy 310 答案答案： 3xy 310 通法在握通法在握 处理直线方程综合应用的处理直线方程综合应用的 2 大策略大策略 (1)含有参数的直线方程可看作直线系方程含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系这时要能够整理成过定点的直线系，即能即能够看出够看出“动中有定动中有定” (2)求解与直线方程有关的最值问题求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数建立目标函数，再再利用基本不等式求解最值利用基本不等式求解最值演练冲关演练冲关 1设设 mR，过定点过定点 A 的动直线的动

19、直线 xmy0 和过定点和过定点 B 的动直线的动直线 mxym30 交交于点于点 P(x，y)，则则|PA| |PB|的最大值是的最大值是_ 解析：解析：易求定点易求定点 A(0,0)，B(1,3)当当 P 与与 A 和和 B 均不重合时均不重合时，因为因为 P 为直线为直线 xmy0与与 mxym30 的交点的交点， 且易知两直线垂直且易知两直线垂直， 则则 PAPB， 所以所以|PA|2|PB|2|AB|210，所以所以|PA| |PB|PA|2|PB|225(当且仅当当且仅当|PA|PB| 5时时， 等号成立等号成立)， 当当 P 与与 A 或或 B 重合重合时时，|PA| |PB|0

20、，故故|PA| |PB|的最大值是的最大值是 5 答案：答案：5 2(20 xx 衡阳一模衡阳一模)已知点已知点 P 在直线在直线 x3y20 上上，点点 Q 在直线在直线 x3y60 上上，线线段段 PQ 的中点为的中点为 M(x0，y0)，且且 y0 x02，则则y0 x0的取值范围是的取值范围是_ 解析解析：依题意可得：依题意可得|x03y02|10|x03y06|10，化简得化简得 x03y020，又又 y00，当当点点 M 位于射线位于射线 BN 上除上除 B 点外时点外时，kOM0且且 k20，所以所以6k2故选故选 A 4(20 xx 豫西五校联考豫西五校联考)曲线曲线 yx3x

21、5 上各点处的切线的倾斜角的取值范围为上各点处的切线的倾斜角的取值范围为_ 解析：解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为 (0，)， 因为因为 y3x211，所以所以 tan 1， 结合正切函数的图象可知结合正切函数的图象可知， 的取值范围为的取值范围为 0，2 34， 答案：答案： 0，2 34， 5如果如果 A C0，且且 B C0，那么直线那么直线 AxByC0 不经过第不经过第_象限象限 解析：解析： 由题意知由题意知 A B C0， 直线方程变形为直线方程变形为 yABxCB A C0， B C0，其斜率其斜率 kAB0直线过第一直线过第一、二二、

22、四象限四象限，不经过第三不经过第三象限象限 答案：答案：三三 二保高考二保高考，全练题型做到高考达标全练题型做到高考达标 1(20 xx 秦皇岛模拟秦皇岛模拟)倾斜角为倾斜角为 120 ，在在 x 轴上的截距为轴上的截距为1 的直线方程是的直线方程是( ) A 3xy10 B 3xy 30 C 3xy 30 D 3xy 30 解析：解析：选选 D 由于倾斜角为由于倾斜角为 120 ，故斜率故斜率 k 3又直线过点又直线过点(1,0)，所以直线方所以直线方程为程为 y 3(x1)，即即 3xy 30 2已知直线已知直线 l 过点过点(1,0)，且倾斜角为直线且倾斜角为直线 l0：x2y20 的倾

23、斜角的的倾斜角的 2 倍倍，则直线则直线 l的方程为的方程为( ) A4x3y30 B3x4y30 C3x4y40 D4x3y40 解析：解析：选选 D 由题意可设直线由题意可设直线 l0，l 的倾斜角分别为的倾斜角分别为 ，2， 因为直线因为直线 l0：x2y20 的斜率为的斜率为12，则则 tan 12， 所以直线所以直线 l 的斜的斜率率 ktan 22tan 1tan22121 12243， 所以由点斜式可得直线所以由点斜式可得直线 l 的方程为的方程为 y043(x1)， 即即 4x3y40 3(20 xx 福建高考福建高考)若直线若直线xayb1(a0，b0)过点过点(1,1)，则

24、则 ab 的最小值等于的最小值等于( ) A2 B3 C4 D5 解析：解析：选选 C 将将(1,1)代入直线代入直线xayb1 得得1a1b1，a0，b0，故故 ab(ab) 1a1b2baab224，等号当且仅当等号当且仅当 ab 时取到时取到，故选故选 C 4(20 xx 菏泽模拟菏泽模拟)若直线若直线 x2yb0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1，那么那么 b 的取值范围是的取值范围是( ) A2,2 B(，22，) C2,0)(0,2 D(，) 解析：解析：选选 C 令令 x0，得得 yb2，令令 y0，得得 xb，所以所求三角形面积为所以

25、所求三角形面积为12 b2|b|14b2，且且 b0，因为因为14b21，所以所以 b24，所以所以 b 的取值范围是的取值范围是2,0)(0,2 5已知点已知点 P(x，y)在直线在直线 xy40 上上，则则 x2y2的最小值是的最小值是( ) A8 B2 2 C 2 D16 解析：解析：选选 A 点点 P(x，y)在直线在直线 xy40 上上，y4x，x2y2x2(4x)22(x2)28，当当 x2 时时，x2y2取得最小值取得最小值 8 6过点过点(2，3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_ 解析：解析：若直线过原点若直线过原点，则直线

26、方程为则直线方程为 3x2y0； 若直线不过原点若直线不过原点，则斜率为则斜率为 1，方程为方程为 y3x2，即为即为 xy50，故所求直线方故所求直线方程为程为 3x2y0 或或 xy50 答案：答案：3x2y0 或或 xy50 7 设点设点A(1,0)， B(1,0)， 直线直线2xyb0与线段与线段AB相交相交， 则则b的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：b 为直线为直线 y2xb 在在 y 轴上的截距轴上的截距，如图如图，当直线当直线 y2xb 过点过点 A(1,0)和点和点 B(1,0)时时，b 分别取得最小值和最大值分别取得最小值和最大值b 的取值范围是的取值范围是2,2 答案

27、：答案：2,2 8(20 xx 沈阳一模沈阳一模)若直线若直线 l：xayb1(a0，b0)经过点经过点(1,2)，则直线则直线 l 在在 x 轴和轴和 y 轴轴上的截距之和的最小值是上的截距之和的最小值是_ 解析：解析：由直线由直线 l：xayb1(a0，b0)可知直线在可知直线在 x 轴上的截距为轴上的截距为 a，在在 y 轴上的截距为轴上的截距为b求直线在求直线在 x 轴和轴和 y 轴上的截距之和的最小值轴上的截距之和的最小值，即求即求 ab 的最小值由直线经过点的最小值由直线经过点(1,2)得得1a2b1 于是于是 ab(ab) 1a2b3ba2ab， 因为因为ba2ab2ba2ab2

28、 2当且仅当当且仅当ba2ab时取等号时取等号， 所以所以 ab32 2， 故直线故直线 l 在在 x 轴和轴和 y 轴上的截距之和的最小值为轴上的截距之和的最小值为 32 2 答案：答案：32 2 9 已知直线已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为与两坐标轴围成的三角形的面积为 3， 分别求满足下列条件的直线分别求满足下列条件的直线 l 的方的方程：程： (1)过过定点定点 A(3,4)； (2)斜率为斜率为16 解：解： (1)设直线设直线 l 的方程为的方程为 yk(x3)4， 它在它在 x 轴轴， y 轴上的截距分别是轴上的截距分别是4k3,3k4， 由已知由已知，得得(3k4)

29、 4k3 6， 解得解得 k123或或 k283 故直线故直线 l 的方程为的方程为 2x3y60 或或 8x3y120 (2)设直线设直线 l 在在 y 轴上的截距为轴上的截距为 b，则直线则直线 l 的方程是的方程是 y16xb，它在它在 x 轴上的截距是轴上的截距是6b， 由已知由已知，得得|6b b|6，b 1 直线直线 l 的方程为的方程为 x6y60 或或 x6y60 10如图如图，射线射线 OA，OB 分别与分别与 x 轴正半轴成轴正半轴成 45 和和 30 角角，过点过点 P(1，0)的直线的直线 AB 分别交分别交 OA，OB 于于 A，B 两点两点，当当 AB 的中点的中点

30、 C 恰好落在直线恰好落在直线y12x 上时上时，求直线求直线 AB 的方程的方程 解：解：由题意可得由题意可得 kOAtan 45 1， kOBtan(180 30 )33， 所以直线所以直线 lOA：yx，lOB：y33x 设设 A(m，m)，B( 3n，n)， 所以所以 AB 的中点的中点 C m 3n2，mn2， 由点由点 C 在直线在直线 y12x 上上，且且 A，P，B 三点共线得三点共线得 mn212m 3n2，m0m1n0 3n1， 解得解得 m 3，所以所以 A( 3， 3) 又又 P(1,0)，所以所以 kABkAP3313 32， 所以所以 lAB：y3 32(x1)，

31、即直线即直线 AB 的方程为的方程为(3 3)x2y3 30 三上台阶三上台阶，自主选做志在冲刺名校自主选做志在冲刺名校 1已知曲线已知曲线 y1ex1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为面积为_ 解析：解析： yex ex1 21ex1ex2， 因为因为 ex0， 所以所以 ex1ex2ex1ex2(当且仅当当且仅当 ex1ex，即即 x0 时取等号时取等号)，所以所以 ex1ex24，故故 y1ex1ex214(当且仅当当且仅当 x0 时取等号时取等号) 所以当所以当 x0 时时，曲线的切线斜率取得最小值曲线的

32、切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为此时切点的坐标为 0，12，切线的方程切线的方程为为 y1214(x0)，即即 x4y20该切线在该切线在 x 轴上的截距为轴上的截距为 2，在在 y 轴上的截距为轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积 S1221212 答案：答案：12 2已知直线已知直线 l：kxy12k0(kR) (1)证明：直线证明：直线 l 过定点；过定点； (2)若直线若直线 l 不经过第四象限不经过第四象限，求求 k 的取值范围；的取值范围； (3)若直线若直线 l 交交 x 轴负半轴于点轴负半轴于点 A，交交 y 轴

33、正半轴于点轴正半轴于点 B，O 为坐标原点为坐标原点，设设AOB 的的面积为面积为 S，求求 S 的最小值及此时直线的最小值及此时直线 l 的方程的方程 解：解： (1)证明：证明： 直线直线 l 的方程可化为的方程可化为 yk(x2)1， 故无论故无论 k 取何值取何值， 直线直线 l 总过定点总过定点(2,1) (2)直线直线 l 的方程为的方程为 ykx2k1，则直线则直线 l 在在 y 轴上的截距为轴上的截距为 2k1，要使直线要使直线 l 不经不经过第四象限过第四象限，则则 k0，12k0，解得解得 k0，故故 k 的取值范围是的取值范围是)0， (3)依题意依题意，直线直线 l 在

34、在 x 轴上的截距为轴上的截距为12kk，在在 y 轴上的截距为轴上的截距为 12k， A 12kk，0 ，B(0,12k) 又又12kk0，k0 故故 S12|OA|OB|1212kk(12k) 12 4k1k4 12(44)4， 当且仅当当且仅当 4k1k，即即 k12时时，取等号取等号 故故 S 的最小值为的最小值为 4，此时直线此时直线 l 的方程为的方程为 x2y40 第二节第二节两条直线的位置关系两条直线的位置关系 1两条直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：两条直线平行： 对于两条不重合的直线对于两条不重合的直线 l1，l2，若其斜率分别为若其斜率分别

35、为 k1，k2，则有则有 l1l2k1k2 当直线当直线 l1，l2不重合且斜率都不存在时不重合且斜率都不存在时，l1l2 (2)两条直线垂直：两条直线垂直： 如果两条直线如果两条直线 l1，l2的斜率存在的斜率存在，设为设为 k1，k2，则有则有 l1l2k1 k21 当其中一条直线的斜率不存在当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为而另一条直线的斜率为 0 时时，l1l2 2两条直线的交点的求法两条直线的交点的求法 直线直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则则 l1与与 l2的交点坐标就是方程组的交点坐标就是方程组 A1xB1yC10，A2xB2yC20的解的

36、解 3三种距离公式三种距离公式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离两点之间的距离 |P1P2| x2x1 2 y2y1 2 点点 P0(x0，y0)到直线到直线 l：AxByC0 的距离的距离 d|Ax0By0C|A2B2 平行线平行线 AxByC10 与与 AxByC20 间间距离距离 d|C1C2|A2B2 小题体验小题体验 1(教材习题改编教材习题改编)已知点已知点(a,2)(a0)到直线到直线 l：xy30 的距离为的距离为 1，则则 a 等于等于( ) A 2 B2 2 C 21 D 21 解析解析：选选 C 由题意知由题意知|a23|21，|a1| 2，又又 a0

37、，a 21 2 已知直线已知直线 l1： ax(3a)y10， l2： x2y0 若若 l1l2， 则实数则实数 a 的值为的值为_ 解析：解析：由题意由题意，得得aa32，解得解得 a2 答案：答案：2 1在判断两条直线的位置关系时在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条两条直线都有斜率可根据条件进行判断件进行判断，若无斜率若无斜率，要单独考虑要单独考虑 2运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的 x，y 的系数分别相等这一条件的系数分别相等这一条件盲目套用公盲目套用公式导致出错式导致出错 小题

38、纠偏小题纠偏 1已知已知 P：直线：直线 l1：xy10 与直线与直线 l2：xay20 平行平行，Q：a1，则则 P 是是 Q的的( ) A充要条件充要条件 B充分不必要条件充分不必要条件 C必要不充分条件必要不充分条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析：解析：选选 A 由于直线由于直线 l1：xy10 与直线与直线 l2：xay20 平行的充要条件是平行的充要条件是 1a(1)10，即即 a1 所以所以 P 是是 Q 的充要条件的充要条件 2 已知直线已知直线3x4y30与直线与直线6xmy140平行平行， 则它们之间的距离是则它们之间的距离是_ 解析：解析：63m4143

39、，m8，直线直线 6xmy140 可化为可化为 3x4y70，两平行线两平行线之间的距离之间的距离 d|37|32422 答案：答案：2 考点一考点一 两条直线的位置关系两条直线的位置关系(基础送分型考点基础送分型考点自主练透自主练透) 题组练透题组练透 1过点过点(1,0)且与直线且与直线 x2y20 平行的直线方程是平行的直线方程是( ) Ax2y10 Bx2y10 C2xy20 Dx2y10 解析：解析：选选 A 依题意依题意，设所求的直线方程为设所求的直线方程为 x2ya0，由于点由于点(1,0)在所求直线上在所求直线上，则则 1a0，即即 a1，则所求的直线方程为则所求的直线方程为

40、x2y10 2已知过点已知过点 A(2，m)和点和点 B(m,4)的直线为的直线为 l1，直线直线 2xy10 为为 l2，直线直线 xny10 为为 l3若若 l1l2，l2l3，则实数则实数 mn 的值为的值为( ) A10 B2 C0 D8 解析：解析：选选 A l1l2，4mm22(m2)，解得解得 m8(经检验经检验，l1与与 l2不重合不重合)，l2l3，211n0，解得解得 n2，mn10 3已知两直线已知两直线 l1：mx8yn0 和和 l2：2xmy10，试确定试确定 m，n 的值的值，使使 (1)l1与与 l2相交于点相交于点 P(m，1)； (2)l1l2； (3)l1l

41、2，且且 l1在在 y 轴上的截距为轴上的截距为1 解：解：(1)由题意得由题意得 m28n0，2mm10， 解得解得 m1，n7 即即 m1，n7 时时， l1与与 l2相交于点相交于点 P(m，1) (2)l1l2， m2160，m2n0， 解得解得 m4，n2或或 m4，n2. 即即 m4，n2 或或 m4，n2 时时，l1l2 (3)当且仅当当且仅当 2m8m0， 即即 m0 时时，l1l2 又又n81，n8 即即 m0，n8 时时，l1l2， 且且 l1在在 y 轴上的截距为轴上的截距为1 谨记通法谨记通法 1已知两直线的斜率存在已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法判断两直

42、线平行垂直的方法 (1)两直线平行两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； (2)两直线垂直两直线垂直两直线的斜率之积等于两直线的斜率之积等于1 提醒提醒 当直线斜率不确定时当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况要注意斜率不存在的情况 2由一般式确定两直线位置关系的方法由一般式确定两直线位置关系的方法 直线方程直线方程 l1：A1xB1yC10(A21B210) l2：A2xB2yC20(A22B220) l1与与 l2垂直垂直 的充要条件的充要条件 A1A2B1B20 l1与与 l2平行平行 A1A2B1B2C1C2(A2B2C20) 的

43、充分条件的充分条件 l1与与 l2相交相交 的充分条件的充分条件 A1A2B1B2(A2B20) l1与与 l2重合重合 的充分条件的充分条件 A1A2B1B2C1C2(A2B2C20) 提醒提醒 在判断两直线位在判断两直线位置关系时置关系时，比例式比例式A1A2与与B1B2，C1C2的关系容易记住的关系容易记住，在解答选在解答选择择、填空题时填空题时，建议多用比例式来解答建议多用比例式来解答 考点二考点二 距离问题距离问题 重点保分型考点重点保分型考点师生共研师生共研 典例引领典例引领 已知已知 A(4，3)，B(2，1)和直线和直线 l：4x3y20，在坐标平面内求一点在坐标平面内求一点

44、P，使使|PA|PB|，且点且点 P 到直线到直线 l 的距离为的距离为 2 解：解：设点设点 P 的坐标为的坐标为(a，b) A(4，3)，B(2，1)， 线段线段 AB 的中的中点点 M 的坐标为的坐标为(3，2) 而而 AB 的斜率的斜率 kAB31421， 线段线段 AB 的垂直平分线方程为的垂直平分线方程为 y2x3， 即即 xy50 点点 P(a，b)在直线在直线 xy50 上上， ab50 又点又点 P(a，b)到直线到直线 l：4x3y20 的距离为的距离为 2， |4a3b2|52， 即即 4a3b2 10， 由由联立可得联立可得 a1，b4或或 a277，b87. 所求点所

45、求点 P 的坐标为的坐标为(1，4)或或 277，87 由题悟法由题悟法 处理距离问题的处理距离问题的 2 大策略大策略 (1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求 (2)动点到两定点距离相等动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便从而使计算简便，如本例中如本例中|PA|PB|这一条件的转化处这一条件的转化处理理 即时应用即时应用 1 已知已知 P 是直线是直线 2x3y60 上一

46、点上一点， O 为坐标原点为坐标原点， 且点且点 A 的坐标为的坐标为(1,1)， 若若|PO|PA|，则则 P 点的坐标为点的坐标为_ 解析：解析：法一：法一：设设 P(a，b)，则则 2a3b60，a2b2 a1 2 b1 2， 解得解得 a3，b4P 点的坐标为点的坐标为(3,4) 法二：法二：线段线段 OA 的中垂线方程为的中垂线方程为 xy10， 则由则由 2x3y60，xy10. 解得解得 x3，y4，则则 P 点的坐标为点的坐标为(3,4) 答案：答案：(3,4) 2已知直线已知直线 l1与与 l2：xy10 平行平行，且且 l1与与 l2的距离是的距离是 2，则直线则直线 l1

47、的方程为的方程为_ 解析：解析：因为因为 l1与与 l2：xy10 平行平行， 所以可设所以可设 l1的方程为的方程为 xyb0(b1) 又因为又因为 l1与与 l2的距离是的距离是 2， 所以所以|b1|1212 2，解得解得 b1 或或 b3， 即即 l1的方程为的方程为 xy10 或或 xy30 答案：答案：xy10 或或 xy30 3已知点已知点 P(4，a)到直线到直线 4x3y10 的距离不大于的距离不大于 3，则则 a 的取值范围为的取值范围为_ 解析：解析：由题意得由题意得，点点 P 到直线的距离为到直线的距离为 |443a1|5|153a|5 又又|153a|53，即即|15

48、3a|15， 解得解得 0a10，所以所以 a 的取值范围是的取值范围是0,10 答案：答案：0,10 考点三考点三 对称问题对称问题 题点多变型考点题点多变型考点多角探明多角探明 锁定考向锁定考向 对称问题是高考常考内容之一对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型也是考查学生转化能力的一种常见题型 常见的命题角度有：常见的命题角度有： (1)点关于点对称；点关于点对称； (2)点关于线对称；点关于线对称； (3)线关于线对称线关于线对称 题点全练题点全练 角度一：点关于点对称角度一：点关于点对称 1过点过点 P(0,1)作直线作直线 l 使它被直线使它被直线 l1：2x

49、y80 和和 l2：x3y100 截得的线段被截得的线段被点点 P 平分平分，则直线则直线 l 的方程为的方程为_ 解析：解析：设设 l1与与 l 的交点为的交点为 A(a,82a)， 则由题意知则由题意知，点点 A 关于点关于点 P 的对称的对称点点 B(a,2a6)在在 l2上上，把把 B 点坐标代入点坐标代入 l2的方程的方程得得a3(2a6)100， 解得解得 a4，即点即点 A(4,0)在直线在直线 l 上上， 所以由两点式得直线所以由两点式得直线 l 的方程为的方程为 x4y40 答案答案：x4y40 角度二：点关于线对称角度二：点关于线对称 2已知直线已知直线 l：2x3y10，

50、点点 A(1，2)，则点则点 A 关于直线关于直线 l 的对称点的对称点 A的坐的坐标为标为_ 解析：解析：设设 A(x，y)， 由已知得由已知得 y2x1231，2x123y2210，解得解得 x3313，y413， 故故 A 3313，413 答案：答案：A 3313，413 角度三：线关于线对称角度三：线关于线对称 3直线直线 2xy30 关于直线关于直线 xy20 对称的直线方程是对称的直线方程是( ) Ax2y30 Bx2y30 Cx2y10 Dx2y10 解析：解析： 选选 A 设所求直线上任意一点设所求直线上任意一点 P(x， y)， 则则 P 关于关于 xy20 的对称点为的对

51、称点为 P(x0，y0)， 由由 xx02yy0220，xx0 yy0 ，得得 x0y2，y0 x2， 由点由点 P(x0，y0)在直线在直线 2xy30 上上， 2(y2)(x2)30， 即即 x2y30 通法在握通法在握 1中心对称问题的中心对称问题的 2 个类型及求解方法个类型及求解方法 (1)点关于点对称：点关于点对称： 若点若点 M(x1，y1)及及 N(x，y)关于关于 P(a，b)对称对称，则由中点坐标公式得则由中点坐标公式得 x2ax1，y2by1，进而进而求解求解 (2)直线关于点的对称直线关于点的对称，主要求解方法是：主要求解方法是： 在已知直线上取两点在已知直线上取两点，

52、利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再再由两点式求出直线方程；由两点式求出直线方程； 求出一个对称点求出一个对称点，再利用两对称直线平行再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程由点斜式得到所求直线方程 2轴对称问轴对称问题的题的 2 个类型及求解方法个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：点关于直线的对称： 若两点若两点 P1(x1，y1)与与 P2(x2，y2)关于直线关于直线 l：AxByC0 对称对称，由方程组由方程组 A x1x22B y1y22C0，y2y1x2x1 AB1， 可得到点可得到点 P1关于关于 l 对

53、称的点对称的点 P2的坐标的坐标(x2，y2)(其中其中 B0，x1x2) (2)直线关于直线的对称：直线关于直线的对称： 一般转化为点关于直线的对称来解决一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行是已知直线与对称轴平行 演练冲关演练冲关 1与直线与直线 3x4y50 关于关于 x 轴对称的直线方程为轴对称的直线方程为_ 解析：解析：设设 A(x，y)为所求直线上的任意一点为所求直线上的任意一点， 则则 A(x，y)在直线在直线 3x4y50 上上， 即即 3x4(y)50，故所求直线方程为故所求直线

54、方程为 3x4y50 答案：答案：3x4y50 2已知点已知点 A(1,3)关于直线关于直线 ykxb 对对称的点是称的点是 B(2,1)，则直线则直线 ykxb 在在 x 轴上轴上的截距是的截距是_ 解析：解析：由题意得线段由题意得线段 AB 的中点的中点 12，2 在直线在直线 ykxb 上上，故故 23 k1，12kb2，解解得得 k32，b54，所以直线方程为所以直线方程为 y32x54令令 y0，即即32x540，解得解得 x56，故直故直线线 ykxb 在在 x 轴上的截距为轴上的截距为56 答案：答案：56 3 已知入射光线经过点已知入射光线经过点 M(3,4)，被直线被直线 l

55、：xy30 反射反射，反射光线经过点反射光线经过点 N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为则反射光线所在直线的方程为_ 解析：解析：设点设点 M(3,4)关于直线关于直线 l：xy30 的对称点为的对称点为 M(a，b)，则反射光线所在则反射光线所在直线过点直线过点 M， 所以所以 b4a 3 11，3a2b4230，解得解得 a1，b0 又反射光线经过点又反射光线经过点 N(2,6)， 所以所求直线的方程为所以所求直线的方程为y060 x121， 即即 6xy60 答案：答案：6xy60 一抓基础一抓基础，多练小题做到眼疾手快多练小题做到眼疾手快 1直线直线 2xym0 和和 x2yn0

56、的位置关系是的位置关系是( ) A平行平行 B垂直垂直 C相交但不垂直相交但不垂直 D不能确定不能确定 解析：解析：选选 C 由由 2xym0，x2yn0，可得可得 3x2mn0，由于由于 3x2mn0 有唯一解有唯一解，故方程组有唯一解故方程组有唯一解，故两直线相交故两直线相交，两直线的斜率分别为两直线的斜率分别为2，12，斜率之积不等于斜率之积不等于1，故不垂直故不垂直 2过点过点(1,0)且与直线且与直线 x2y20 垂直的直线方程是垂直的直线方程是( ) Ax2y10 Bx2y10 C2xy20 Dx2y10 解析：解析：选选 C 因为直线因为直线 x2y20 的斜率为的斜率为12，所

57、以所求直线的斜率所以所求直线的斜率 k2所以所所以所求直线的方程为求直线的方程为 y02(x1)，即即 2xy20故选故选 C 3直线直线 x2y10 关于直线关于直线 x1 对称的直线方程是对称的直线方程是( ) Ax2y10 B2xy10 C2xy30 Dx2y30 解析：解析：选选 D 由题意得直线由题意得直线 x2y10 与直线与直线 x1 的交点坐标为的交点坐标为(1,1) 又直线又直线 x2y10 上的点上的点(1,0)关于直线关于直线 x1 的对称点为的对称点为(3,0)， 所以由直线方程的两点式所以由直线方程的两点式，得得y010 x313，即即 x2y30 4与直线与直线 l

58、1：3x2y60 和直线和直线 l2：6x4y30 等距离的直线方程是等距离的直线方程是_ 解析：解析：l2：6x4y30 化为化为 3x2y320，所以所以 l1与与 l2平行平行，设与设与 l1，l2等距离的直等距离的直线线 l 的方程为的方程为 3x2yc0，则则|c6| c32，解得解得 c154，所以所以 l 的方程为的方程为 12x8y150 答案：答案：12x8y150 5若直线若直线 2xy10，yx1，yax2 交于一点交于一点，则则 a 的值为的值为_ 解析：解析：解方程组解方程组 2xy10，yx1，可得可得 x9，y8， 所以直线所以直线 2xy10 与与 yx1 的交

59、点坐标为的交点坐标为(9，8)， 代入代入 yax2，得得8a (9)2， 所以所以 a23 答案：答案：23 二保高考二保高考，全练题型做到高考达标全练题型做到高考达标 1 已知已知 A(2,3)， B(4,0)， P(3,1)， Q(m， m1)， 若直线若直线 ABPQ， 则则 m 的值为的值为( ) A1 B0 C1 D2 解析：解析：选选 C ABPQ， kABkPQ，即即0342m11m 3 ， 解得解得 m1，故选故选 C 2 若直线若直线 l1： xay60 与与 l2： (a2)x3y2a0 平行平行， 则则 l1与与 l2之间的距离为之间的距离为( ) A4 23 B4 2

60、 C8 23 D2 2 解析：解析：选选 C l1l2， 1a2a362a， 解得解得 a1， l1与与 l2的方程分别为的方程分别为 l1：xy60，l2：xy230， l1与与 l2的距离的距离 d 62328 23 3(20 xx 浙江温州第二次适应性浙江温州第二次适应性)已知直已知直线线 l1：mxy10 与直线与直线 l2：(m2)xmy10，则则“m1”是是“l1l2”的的( ) A充分不必要条件充分不必要条件 B充要条件充要条件 C必要不充分条件必要不充分条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析：解析：选选 A 由由 l1l2，得得 m(m2)m0，解得解得 m0

61、或或 m1，所以所以“m1”是是“l1l2”的充分不必要条件的充分不必要条件，故选故选 A 4若直线若直线 l1：yk(x4)与直线与直线 l2关于点关于点(2,1)对称对称，则直线则直线 l2恒过定点恒过定点( ) A(0,4) B(0,2) C(2,4) D(4，2) 解析：解析：选选 B 由于直线由于直线 l1：yk(x4)恒过定点恒过定点(4,0)，其关于点其关于点(2,1)对称的点为对称的点为(0,2)，又由于直线又由于直线 l1：yk(x4)与直线与直线 l2关于点关于点(2,1)对称对称，所以直线所以直线 l2恒过定点恒过定点(0,2) 5已知直线已知直线 l：xy10，l1：2

62、xy20若直线若直线 l2与与 l1关于关于 l 对称对称，则则 l2的方程的方程是是( ) Ax2y10 Bx2y10 Cxy10 Dx2y10 解析：解析：选选 B 因为因为 l1与与 l2关于关于 l 对称对称，所以所以 l1上任一点关于上任一点关于 l 的对称点都在的对称点都在 l2上上，故故 l与与 l1的交点的交点(1,0)在在 l2上又易知上又易知(0，2)为为 l1上一点上一点，设它关于设它关于 l 的对称点为的对称点为(x，y)，则则 x02y2210，y2x11，解得解得 x1，y1，即即(1,0)，(1，1) 为为 l2上两点上两点，可得可得 l2的方程为的方程为 x2y

63、10 6已知点已知点 A(3，4)，B(6,3)到直线到直线 l：axy10 的距离相等的距离相等，则实数则实数 a 的值为的值为_ 解析：解析：由题意及点到直线的距离公式得由题意及点到直线的距离公式得|3a41|a21|6a31|a21，解得解得 a13或或79 答案：答案：13或或79 7 以点以点 A(4,1)， B(1,5)， C(3,2)， D(0， ， 2)为顶点的四边形为顶点的四边形 ABCD 的面积为的面积为_ 解析：解析：因为因为 kAB511443，kDC2 2 3043 kAD210434，kBC253134 则则 kABkDC，kADkBC，所以四边形所以四边形 ABC

64、D 为平行四边形为平行四边形 又又 kAD kAB1，即即 ADAB， 故四边形故四边形 ABCD 为矩形为矩形 故故 S|AB| |AD| 14 2 51 2 04 2 21 225 答案：答案：25 8l1，l2是分别经过点是分别经过点 A(1,1)，B(0，1)的两条平行直线的两条平行直线，当当 l1，l2间的距离最大时间的距离最大时，直线直线 l1的方程是的方程是_ 解析：解析：当两条平行直线与当两条平行直线与 A，B 两点连线垂直时两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大因为两条平行直线间的距离最大因为A(1,1)，B(0，1)，所以所以 kAB11012，所以当所以当 l1，l2间

65、的距离最大时间的距离最大时，直线直线 l1的斜率为的斜率为k12，所以当所以当 l1，l2间的距离最大时间的距离最大时，直线直线 l1的方程是的方程是 y112(x1)，即即 x2y30 答案：答案：x2y30 9已知直线已知直线 l1：ax2y60 和直线和直线 l2：x(a1)ya210 (1)当当 l1l2时时，求求 a 的值；的值； (2)当当 l1l2时时，求求 a 的值的值 解：解：(1)法一：法一：当当 a1 时时，l1：x2y60， l2：x0，l1不平行于不平行于 l2； 当当 a0 时时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于不平行于 l2； 当当 a1 且且 a0 时时

66、， 两直线方程可化为两直线方程可化为 l1：ya2x3，l2：y11ax(a1)， 由由 l1l2可得可得 a211a，3 a1 ，解得解得 a1 综上可知综上可知，a1 法二：法二：由由 l1l2知知 A1B2A2B10，A1C2A2C10， 即即 a a1 120，a a21 160 a2a20，a a21 6a1 (2)法一法一：当：当 a1 时时，l1：x2y60，l2：x0，l1与与 l2不垂直不垂直，故故 a1 不符合；不符合； 当当 a1 时时，l1：ya2x3，l2：y11ax(a1)， 由由 l1l2，得得 a211a1a23 法二：法二：l1l2， A1A2B1B20， 即即 a2(a1)0，得得 a23 10已知已知ABC 的顶点的顶点 A(5,1)，AB 边上的中线边上的中线 CM 所在直线方程为所在直线方程为 2xy50，AC边上的高边上的高 BH 所在直线方程为所在直线方程为 x2y50，求直线求直线 BC 的方程的方程 解：解：依题意知：依题意知：kAC2，A(5,1)， lAC的方程为的方程为 2xy110， 联立联立 2xy110，2xy50，得得 C