最新 人教高中数学必修二【课时训练】第三章：直线与方程含答案第三章　直线与方程

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1、最新精品资料最新精品资料最新精品资料第三章直线与方程31直线的倾斜角与斜率31.1倾斜角与斜率(教师用书独具)三维目标1知识与技能(1)理解直线的倾斜角和斜率概念(2)经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率公式2过程与方法(1)探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程(2)通过教学，使学生从生活中坡度的概念自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想(3)充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想3情感、态度与价值观(1)通过对直线

2、倾斜角的概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神重点难点重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式难点：倾斜角与斜率的关系及斜率公式的导出过程重难点突破：以确定直线位置的几何要素为切入点，通过让学生“实验猜想操作定义”四个环节，给出直线倾斜角的概念，重点之一得以解决；然后从学生熟知的概念“坡角”入手，充分利用学生已有的知识，引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计

3、算方法，引入斜率的概念，难点之一得以解决；对于斜率公式的导出过程，教学时可采用数形结合及分类讨论思想，化几何问题为代数运算，从而化难为易，突破难点(教师用书独具)教学建议 鉴于本节知识概念抽象、疑难点较多的特点，教学时，可采用观察发现、启发引导、探索实验相结合的教学方法，把概念化抽象为直观，突出概念的形成过程，另在直线斜率公式教学的导出过程中，应渗透几何问题代数化的解析几何研究思想引导学生将直线的位置问题(几何问题)转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题(代数问题)进行解决，使学生进一步体会“数形结合”的思想方法教学流程创设问题情境，引出问题：确定直线位置的几何要素是什么？课标解读

4、1.理解直线的倾斜角与斜率的概念(重点)2掌握倾斜角与斜率的对应关系(难点、易错点)3掌握过两点的直线的斜率公式(重点)直线的倾斜角【问题导思】1在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？【提示】不能2在平面直角坐标系中，过定点P(2,2)的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？【提示】不同1倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2倾斜角的范围直线的倾斜角的取值范围为0°<180°.3确定平面

5、直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点及它的倾斜角直线的斜率与倾斜角的关系【问题导思】如图(1)(2)，在日常生活中，我们常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”1上图(1)(2)中的坡度相同吗？【提示】不同，因为.2上图中的“坡度”与角，存在等量关系吗？【提示】存在，图(1)中，坡度tan ，图(2)中坡度tan .1直线的斜率把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率斜率常用小写字母k表示，即ktan_.2斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)0°0°<<90°90°90°<<180°斜率

6、(范围)0k>0不存在k<0过两点的直线的斜率公式直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k(x1x2).直线的倾斜角的理解设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A45°B135°C135°D当0°135°时，倾斜角为45°；当135°180°时，倾角为135°【思路探究】画出图象辅助理解，由于条件中未指明的范围，所以需综合考虑的可能取值，以使旋转后的直线的倾斜角在大于或等于0°而小于

7、180°的范围内【自主解答】根据题意，画出图形，如图所示：因为0°180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意通过画图(如图所示)可知：当0°135°，l1的倾斜角为45°；当135°180°时，l1的倾斜角为45°180°135°.故选D.【答案】D 1解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答2求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为(0°<

8、;<90°)，则其倾斜角为()AB180°C180°或90° D90°或90°【解析】如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°.故选D.【答案】D求直线的斜率求经过下列两点直线的斜率，并根据斜率指出其倾斜角(1)(3,0)，(2，)；(2)(1，2)，(5，2)；(3)(3,4)，(2,9)；(4)(3,0)；(3，)【思路探究】依据直线的斜率公式求解，注意公式使用的条件【自主解答】(1)直线的斜率ktan 60°，此直线的斜率为，倾斜角为

9、60°.(2)直线的斜率k0，此直线的斜率为0，故倾斜角为0°.(3)直线的斜率k1tan 135°，此直线的斜率为1，倾斜角为135°.(4)因为两点的横坐标都为3，故直线斜率不存在，倾斜角为90°.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求直线AB斜率和倾斜角的步骤：(1)当x1x2时，直线斜率不存在，其倾斜角为90°；(2)当x1x2时，直线的斜率k，倾斜角利用ktan 求得已知直线l经过两点M(2，m)，N(m,4)，若直线l的倾斜角为45°，求实数m的值【解】由直线l的倾斜角为45°，可知直线l的斜率

10、ktan 45°1，又直线l经过两点M(2，m)，N(m,4)，故k.由1得m1.斜率与倾斜角的应用已知某直线l的倾斜角45°，又P1(2，y1)，P2(x2,5)，P3(3,1)是此直线上的三点，求x2，y1的值【思路探究】直线l的倾斜角已知可以求出其斜率且P1、P2、P3均在直线l上，故任两点的斜率均等于直线l的斜率，从而可以解出x2，y1的值【自主解答】45°，直线l的斜率ktan 45°1，P1，P2，P3都在直线l上，kP1P2kP2P3k.1，解之得：x27，y10.用斜率公式可解决三点共线问题：如果三点A(2,1)，B(2，m)，C(6,8

11、)在同一条直线上，求m的值【解】kAB，kAC.A、B、C三点共线，kABkAC.即，m6.因忽略直线斜率不存在的情况致误求经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角的取值范围【错解】由斜率公式可得k.当m>1时，k>0，所以直线的倾斜角的取值范围是0°<<90°.当m<1时，k<0，所以直线的倾斜角的取值范围是90°<<180°.【错因分析】在上述解题过程中遗漏了m1的情况，当m1时，斜率不存在【防范措施】斜率公式k的适用前提条件为x1x2，因此在含字母的点的坐标中，需计算直线的斜率时，

12、要保证斜率公式有意义【正解】当m1时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角90°.当m1时，由斜率公式可得k.当m>1时，k>0，所以直线的倾斜角的取值范围是0°<<90°.当m<1时，k<0，所以直线的倾斜角的取值范围是90°<<180°.1倾斜角是一个几何概念，它直观地描述并表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度2直线的斜率是直线倾斜角的正切值，但两者并不是一一对应关系学会用数形结合的思想分析和理解直线的斜率同其倾斜角的关系3运用两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线斜率k应注意的问题：(

13、1)斜率公式与P1，P2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2x1，y2y1中x2与y2对应，x1与y1对应)(2)运用斜率公式的前提条件是“x1x2”，也就是直线不与x轴垂直，而当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在.1下图中能表示直线l的倾斜角的是()图311ABCD【解析】结合直线l的倾斜角的概念可知可以，选C.【答案】C2已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为()A. B. C1 D.【解析】由题意可知，ktan 30°.【答案】A3已知A(2,3)、B(1,4)，则直线AB的斜率是_【解析】直线AB的斜率k.【答案】

14、4已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(2，9a)在同一条直线上，求实数a的值【解】A、B、C三点共线，且32，BC的斜率存在，AB的斜率存在，且kABkBC，kAB，kBC，2527a219a27a，即9a220a40，解得a2或a.一、选择题图3121如图312，直线l的倾斜角为()A45°B135°C0° D不存在【解析】由图可知，直线l的倾斜角为45°90°135°.【答案】B2若A、B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是()A45°，1 B135°，1C90°，不存在 D180&#

15、176;，不存在【解析】由于A、B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在故选C.【答案】C3(2013·周口高一检测)过点M(，)、N(，)的直线的斜率是()A1 B1 C2 D.【解析】过点M、N的直线的斜率k1.【答案】B4若图313中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则有()图313Ak1<k2<k3 Bk2<k3<k1Ck1<k3<k2 Dk2<k1<k3【解析】设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为1，2，3，由图可知3<2<90°<1，故相应斜率

16、的关系为k1<0<k3<k2.【答案】C5下列各组中的三点共线的是()A(1,4)，(1,2)，(3,5)B(2，5)，(7,6)，(5,3)C(1,0)，(0，)，(7,2)D(0,0)，(2,4)，(1,3)【解析】对于A，故三点不共线；对于B，故三点不共线；对于C，故三点共线；对于D，故三点不共线【答案】C二、填空题6斜率的绝对值等于的直线的倾斜角为_【解析】设直线的倾斜角为，由题意可知tan ±，60°或120°.【答案】60°或120°7已知点A(1,2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°

17、，则点P的坐标为_【解析】由题意知kPA1，若P点在x轴上，则设P( m,0)，则1，若P点在y轴上，则设P(0，n)，则1，解得mn3，故P点坐标为(3,0)或(0,3)【答案】(3,0)或(0,3)8在下列叙述中：若一条直线的倾斜角为，则它的斜率ktan ；若直线斜率k1，则它的倾斜角为135°；若A(1，3)、B(1,3)，则直线AB的倾斜角为90°；若直线过点(1,2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过(3,4)点；若直线的斜率为，则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点所有正确命题的序号是_【解析】当90°时，斜率k不存在，故错误；当倾斜角

18、的正切值为1时，倾斜角为135°，故正确；直线AB与x轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90°，故正确；直线过定点(1,2)，斜率为1，又1，所以直线必过(3,4)，故正确；斜率为的直线有无数条，所以直线不一定过(1,1)与(5,4)两点，故错误【答案】三、解答题9如图314所示，直线l1的倾斜角130°，直线l1l2，求l1，l2的斜率图314【解】l1的斜率k1tan 1tan 30°.l2的倾斜角290°30°120°，l2的斜率为k2tan 120°tan 60°.10在同一坐标系下，画出满足下列条件的

19、直线：(1)直线l1过原点，斜率为1；(2)直线l2过点(3,0)，斜率为；(3)直线l3过点(3,0)，斜率为；(4)直线l4过点(3,0)，斜率为.【解】(1)设A(x1，y1)是直线l1上一点，根据斜率公式有1，即x1y1，令x1y11，则直线l1过原点及点A(1,1)两点(2)同理，设B(x2，y2)是直线l2上一点，则，即y22x2，令x20，得y22，所以直线l2过点(3,0)及点B(0,2)(3)同理可知，直线l3过点(3,0)及(0，2)(4)同理可知，直线l4过点(3,0)及(0,2)四条直线的图象如图所示11已知A(1,1)，B(1,1)，C(2，1)，(1)求直线AB和A

20、C的斜率(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时，求直线CD的斜率的变化范围【解】(1)由斜率公式得kAB0.kBC.kAC.(2)如图所示设直线CD的斜率为k，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为，.(教师用书独具)过点M(0，3)的直线l与以点A(3,0)，B(4，1)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围【思路探究】【自主解答】如图所示，(1)直线l过点A(3,0)时，即为直线MA，倾斜角1为最小值，tan 11，145°.(2)直线l

21、过点B(4,1)时，即为直线MB，倾斜角2为最大值，tan 21，2135°.所以直线l倾斜角的取值范围是45°135°.当90°时，直线l的斜率不存在；当45°<90°时，直线l的斜率ktan 1；当90°<135°时，直线l的斜率ktan 1.所以直线l的斜率k的取值范围是(，11，)1直线l过点M，斜率变化时，可以理解为直线l绕定点M旋转，使直线l与线段AB的公共点P从端点A运动到端点B，直线l的倾斜角就由最小值1变到最大值2.这是数形结合的思想方法2当直线绕定点旋转时，若倾斜角为锐角，逆时针旋转

22、，倾斜角越来越大，斜率越来越大，顺时针旋转，倾斜角越来越小，斜率越来越小；若倾斜角为钝角，也具有同样的规律但倾斜角是锐角或钝角不确定时，逆时针旋转，倾斜角越来越大，但斜率并不一定随倾斜角的增大而增大已知直线l过P(2，1)，且与以A(4,2)、B(1,3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围【解】根据题中的条件可画出图形，如图所示：又可得直线PA的斜率kPA，直线PB的斜率kPB，结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90°，故斜率的取值范围为，)；当直线l由与y轴平行的位置变化到PA位置时，它的倾斜角由90°增大到PA的倾斜角故斜率

23、的变化范围是(，综上可知，直线l的斜率的取值范围是(，)31.2两条直线平行与垂直的判定(教师用书独具)三维目标1知识与技能(1)让学生掌握直线与直线的位置关系(2)让学生掌握用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直的方法2过程与方法(1)利用“两直线平行，倾斜角相等”这一性质，推出两直线平行的判定方法(2)利用两直线垂直时倾斜角的关系，得到两直线垂直的判定方法3情感、态度与价值观(1)通过本节课的学习让学生感受几何与代数有着密切的联系，对解析几何有了感性的认识(2)通过这节课的学习，培养学生用“联系”的观点看问题，提高学习数学的兴趣(3)通过课堂上的启发教学，培养学生勇于探索、创新的精神重

24、点难点重点：根据直线的斜率判定两条直线平行与垂直难点：两条直线垂直判定条件的探究与证明重难点突破：以初中学习的平面内两直线平行和垂直关系为切入点，利用数形结合的思想，导出直线倾斜角间的关系，再通过直线的倾斜角同斜率的关系，猜想得出两条直线平行和垂直判定的方式为了更好的理解两直线垂直的条件，老师可利用几何画板直观演示，验证当两条直线的斜率之积为1时，它们是相互垂直的即可(教师用书独具)教学建议 本节课是在学习直线的倾斜角、斜率概念和斜率公式等知识的基础上，进一步探究如何用直线的斜率判定两条直线平行与垂直的位置关系核心内容是两条直线平行与垂直的判定结合本节知识的特点，建议采用引导发现法，先从学生已

25、有的知识经验出发，采用数形结合的思想，把两条直线平行与垂直的几何关系代数化，由于学生面对的是一种全新的思维方法，首次接触会感到不习惯，故教学过程中，教师应采取循序渐进的原则，注意到直线的倾斜角同斜率的关系，在几何关系代数化的过程中，注意向学生渗透分类讨论思想教学流程创设问题情境，引出问题：直线的平行与垂直同其斜率间分别存在什么关系？课标解读1.理解两条直线平行或垂直的判断条件(重点)2会利用斜率判断两条直线平行或垂直(难点)3利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论(易错点)两条直线平行与斜率之间的关系【问题导思】1若两条直线平行，其倾斜角什么关系？反之呢？【提示】两条直线平

26、行其倾斜角相等；反之不成立2有人说：两条直线平行，斜率一定相等这种说法对吗？【提示】不对，若两直线平行，只有在它们都存在斜率时，斜率相等，若两直线都垂直于x轴，虽然它们平行，但斜率都不存在两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为1，2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下：前提条件1290°1290°对应关系l1l2k1k2l1l2两直线斜率都不存在图示两条直线垂直与斜率之间的关系【问题导思】1如图，直线l1与l2的倾斜角分别为1与2，若l1l2，则1与2之间存在什么关系？【提示】2190°.2当直线l1的倾斜角为0

27、6;时，若直线l1l2，则l2的斜率应满足什么条件？【提示】直线l2的斜率不存在，如图，当直线l1的倾斜角为0°时，若l1l2，则l2的倾斜角为90°，其斜率不存在两条直线垂直与斜率的关系对应关系l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1l2k1·k21l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1l2图示两条直线平行关系的判定判断下列各组中的直线l1与l2是否平行：(1)l1经过点A(1，2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(1，1)；(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；(3)l1经过点A(0,

28、1)，B(1,0)，l2经过点M(1,3)，N(2,0)；(4)l1经过点A(3,2)，B(3,10)，l2经过点M(5，2)，N(5,5)【思路探究】依据两条直线平行的条件逐一判断便可【自主解答】(1)k11，k2，k1k2，l1与l2不平行(2)k11，k21，k1k2，l1l2或l1与l2重合(3)k11，k21，k1k2，而kMA21，l1l2.(4)l1与l2都与x轴垂直，l1l2. 判断两直线平行，要“三看”：一看斜率是否存在；在斜率都存在时，二看斜率是否相等；若两直线斜率都不存在或相等时，三看直线是否重合，若不重合则两直线平行已知直线l1经过两点(1，2)，(1,4)，直线l2经

29、过两点(2,1)，(x,6)，且l1l2，则x_.【解析】直线l1的斜率不存在，且l1l2，l2的斜率也不存在点(2,1)及(x,6)的横坐标相同，x2.【答案】2两条直线垂直关系的判定判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直：(1)l1经过点A(1，2)，B(1,2)，l2经过点M(2，1)，N(2,1)；(2)l1的斜率为10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(3)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(10,40)，N(10,40)【思路探究】求出斜率，利用l1l2k1k21或一条直线斜率为0，另一条斜率不存在来判断【自主解答】(1)直线l1的斜率k12，直线l2

30、的斜率k2，k1k21，故l1与l2不垂直(2)直线l1的斜率k110，直线l2的斜率k2，k1k21，故l1l2.(3)l1的倾斜角为90°，则l1x轴直线l2的斜率k20，则l2x轴故l1l2.使用斜率公式判定两直线垂直的步骤：(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式；(3)三求值：计算斜率的值，进行判断尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论已知直线l1l2，若直线l1的倾斜角为30°，则直线l2的斜率为_【解析】由题意可知直线l1的斜率k1tan 30

31、76;，设直线l2的斜率为k2，则k1·k21，k2.【答案】直线平行与垂直关系的综合应用已知A(4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(3,0)四点，若顺次连接A、B、C、D四点，试判定图形ABCD的形状【思路探究】先由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明【自主解答】A、B、C、D四点在坐标平面内的位置如图，由斜率公式可得kAB，kCD，kAD3，kBC.kABkCD，由图可知AB与CD不重合，ABCD.由kADkBC，AD与BC不平行又kAB·kAD×(3)1，ABAD.故四边形ABCD为直角梯形1在顶点确定的情况下，确定多

32、边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明确定目标2证明两直线平行时，仅k1k2是不够的，注意排除重合的情况3判断四边形形状问题要进行到底，也就是要得到最具体的四边形已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明【解】四边形ABCD是平行四边形证明如下：如图所示，AB边所在直线的斜率kAB，CD边所在直线的斜率kCD，BC边所在直线的斜率kBC，DA边所在直线的斜率kDA.所以kABkCD，kBCkDA，由题意知ABCD，BCDA.故四边形ABCD是平行四边形分类讨论思想在直线平行与垂直中的应用(12

33、分)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(2，a2)(1)若l1l2，求a的值；(2)若l1l2，求a的值【思路点拨】(1)斜率存在,(2)【规范解答】设直线l2的斜率为k2，则k2.2分(1)若l1l2，设直线l的斜率为k1，则k1.又k1，则，a1或a6.4分经检验，当a1或a6时，l1l2.(2)若l1l2，当k20时，此时a0，k1，不符合题意.8分当k20时，l2的斜率存在，此时k1.由k2k11，可得a3或a4.所以，当a3或a4时，l1l2.12分1由l1l2比较k1，k2时，应首先考虑斜率是否存在，当k1k2时，还应排除两直线重合的情况

34、2由l1l2比较k1，k2时，既要考虑斜率是否存在，又要考虑斜率是否为0的情况3在l1l2及l1l2相关问题的处理中，树立分类讨论的意识1两条直线平行的条件是在两直线不重合且斜率存在的条件下得出的，即在此条件下有l1l2k1k2；若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则两直线也平行2两条直线垂直的条件也是在两条直线的斜率都存在的条件下得出的，即在此条件下有l1l2k1·k21；若一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率等于0，则两条直线也垂直3在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想1已知直线l1l2，直线l1的斜率k12，则直线l2的斜率k2()A不存在B.C2 D【解

35、析】l1l2且k12，k22.【答案】C2已知直线l1的斜率k1，直线l2的斜率k2，则l1与l2的位置关系为()A平行 B重合C垂直 D无法确定【解析】k1·k21，l1l2.【答案】C3直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(1，y)，若l1l2，则x_，y_.【解析】l1l2，且l1的斜率为2，则l2的斜率为，x1，y7.【答案】174(1)已知直线l1经过点M(3,0)，N(15，6)，l2经过点R(2，)，S(0，)，试判断l1与l2是否平行(2)l1的倾斜角为45°，l2经过点P(2，1)，Q(3，6)，问l1与l2是否垂直？【解】(

36、1)kMN，kRS，l1l2.(2)k1tan 45°1，k21，k1·k21.l1l2.一、选择题1下列说法正确的有()若两直线斜率相等，则两直线平行；若l1l2，则k1k2；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；若两直线斜率都不存在，则两直线平行A1个B2个C3个D4个【解析】当k1k2时，l1与l2平行或重合，不成立；中斜率不存在时，不正确；同也不正确只有正确，故选A.【答案】A2经过两点A(2,3)，B(1，x)的直线l1与斜率为1的直线l2平行，则实数x的值为()A0 B6 C6 D3【解析】直线l1的斜率k1，由题意可知1，x6.

37、【答案】C3若直线l1，l2的倾斜角分别为1，2，且l1l2，则()A1290° B2190°C|12|90° D12180°【解析】如图所示由图(1)可知1290°，由图(2)可知2190°，|12|90°.【答案】C4过点(，)，(0,3)的直线与过点(，)，(2,0)的直线的位置关系为()A垂直 B平行C重合 D以上都不正确【解析】过点(，)，(0,3)的直线的斜率k1；过点(，)，(2,0)的直线的斜率k2.因为k1·k21，所以两条直线垂直故选A.【答案】A5以A(1,1)，B(2，1)，C(1,4)为顶

38、点的三角形是()A锐角三角形B钝角三角形C以A点为直角顶点的直角三角形D以B点为直角顶点的直角三角形【解析】kAB，kAC，kAB·kAC1，ABAC，A为直角【答案】C二、填空题6若A(4,2)，B(6，4)，C(12,6)，D(2,12)，则下面四个结论：ABCD；ABCD；ACBD；ACBD.其中正确的序号是_【解析】kAB，kCD，kAC，kBD4，kABkCD，kAC·kBD1，ABCD，ACBD.【答案】7经过点M(m,3)和N(2，m)的直线l与斜率为4的直线互相垂直，则m的值是_【解析】由题意知，直线MN的斜率存在，MNl，kMN，解得m.【答案】8(201

39、3·洛阳高一检测)已知平行四边形ABCD中，A(1,1)，B(2,3)，C(0，4)，则点D的坐标为_【解析】设D(x，y)，由题意可知，ABCD且ADBC.kABkCD且kADkBC，解得D点的坐标为(3，6)【答案】(3，6)三、解答题图3159如图315，在OABC中，O为坐标原点，点C(1，3)(1)求OC所在直线的斜率(2)过C作CDAB于D，求直线CD的斜率【解】(1)点O(0,0)，C(1,3)，OC所在直线的斜率kOC3.(2)在OABC中，ABOC，CDAB，CDOC，kOC·kCD1，kCD.故直线CD的斜率为.10在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶

40、点按逆时针顺序依次是O(0,0)，P(1，t)，Q(12t,2t)，R(2t,2)，其中t(0，)，试判断四边形OPQR的形状，并给出证明【解】OP边所在直线的斜率kOPt，QR边所在直线的斜率kQRt，OR边所在直线的斜率kOR.PQ边所在直线的斜率kPQ，kOPkQR，kORkPQ，OPQR，ORPQ，四边形OPQR是平行四边形又kQR·kORt×()1，QROR.四边形OPQR是矩形11已知A(0,3)，B(1,0)，C(3,0)，求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A、B、C、D按逆时针方向排列)【解】设所求点D的坐标为(x，y)，如图由于直线AB的斜率kAB

41、3，直线BC的斜率kBC0，则kAB·kBC01，即AB与BC不垂直故AB、BC都不可作为直角梯形的直角边(1)若CD是直角梯形的直角边，则BCCD，ADCD.kBC0，CD的斜率不存在从而有x3.又直线AD的斜率kADkBC，0，即y3.此时AB与CD不平行故所求点D的坐标为(3,3)，(2)若AD是直角梯形的直角边，则ADAB，ADCD.kAD，直线CD的斜率kCD，又由于ADAB，·31.又ABCD，3.由可得此时AD与BC不平行综上可知，使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为(3,3)或(，)(教师用书独具)已知A(m3,2)，B(2m4,4)，C(m，m)，

42、D(3,3m2)，若直线ABCD，求m的值【思路探究】分别计算直线AB和CD的斜率；注意斜率不存在的情形【自主解答】A，B两点纵坐标不等，AB与x轴不平行ABCD，CD与x轴不垂直，m3，m3.当AB与x轴垂直时，m32m4，解得m1.而m1时C，D纵坐标均为1，CDx轴，此时ABCD，满足题意；当AB与x轴不垂直时，由斜率公式kAB，kCD.ABCD，kAB·kCD1，即·1，解得m1.综上m的值为1或1.1本题以A，B两点的纵坐标不相等为切入点，按直线AB是否与x轴垂直为标准分类讨论，从而做到不重不漏2在点的坐标用参数表示的题目中，由于参数的取值可能导致直线的斜率不存在

43、，或使斜率为0，故求解时，常采用分类讨论的思想求解已知三点A(m1,2)，B(1,1)，C(3，m2m1)，若ABBC，求m的值【解】设直线AB，BC的斜率分别为k1，k2，则k2.当m20，即m2时，k1不存在，此时，k20，则ABBC；当m20，即m2时，k1.由k1k2·1，解得m3.综上，若ABBC，则m2或m3.3.2直线的方程32.1直线的点斜式方程(教师用书独具)三维目标1知识与技能(1)理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围(2)能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程(3)体会直线的斜截式方程与一次函数的关系2过程与方法(1)在已知直角坐标系内确定一条

44、直线的几何要素直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程(2)学生通过对比，理解“截距”与“距离”的区别3情感、态度与价值观通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题重点难点重点：直线的点斜式方程和斜截式方程难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用重难点突破：以“直角坐标系内确定一条直线的几何要素”为切入点，先由学生自主导出“过某一定点的直线方程”，再通过组内分析、交流，找出所求方程的差异，明其原因，最终达成共识，得出直线的点斜式的形式及适用前提，最后通过题组训

45、练，采用师生互动、讲练结合的方式，引出斜截式方程，并通过多媒体演示“截距”与“距离”的异同，化解难点(教师用书独具)教学建议 解析几何的实质是“用代数的知识来研究几何问题”，而直线方程恰恰体现了这种思想由于直线的点斜式方程是推导其他直线方程的基础，在直线方程中占有重要地位故本节课易采用“启发式”的教学方法，从学生原有的知识和能力出发，寻找过某一定点的直线方程的求解方法鉴于学生在“数”和“形”之间转换的难度，教师可引导学生通过合作、交流等方式，对难点予以突破；可通过多媒体直观演示，让学生明确点斜式方程和斜截式方程的适用条件对于斜截式方程，明确以下三点：(1)它是点斜式方程的特殊形式；(2)讲清“

46、截距”的概念；(3)了解其与一次函数的关系，其他问题不必扩充太多由于点斜式方程是学习其他方程的前提，故教师可适当的补充教学案例，让学生在训练中进一步感知解析法的思想教学流程创设问题情境，引出问题：过某一定点的直线方程，如何求解？课标解读1.了解直线方程的点斜式的推导过程(难点)2掌握直线方程的点斜式并会应用(重点)3掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念(重点、易错点)直线的点斜式方程【问题导思】1已知直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？【提示】yy0k(xx0)2经过点P0(x0，y0)且斜率不存在的直线l如何

47、表示？【提示】xx0.方程yy0k(xx0)由直线上一定点P0(x0，y0)及斜率k确定，我们把这个方程称为直线的点斜式方程，简称点斜式，适用于斜率存在的直线直线的斜截式方程【问题导思】经过定点(0，b)且斜率为k的直线l的方程如何表示？【提示】ykxb.1直线l在y轴上的截距直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为直线在y轴上的截距2直线的斜截式方程方程ykxb由直线的斜率k和它在y轴上的截距b确定，我们称这个方程为直线的斜截式方程，简称为斜截式适用范围是斜率存在的直线.直线的点斜式方程根据下列条件，求直线的方程(1)经过点A(2,5)，斜率是4；(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45

48、76;；(3)经过点C(1，1)，与x轴平行；(4)经过点D(1,1)，与x轴垂直【思路探究】注意斜率是否存在若存在，方程为yy0k(xx0)；若不存在，方程为xx0.【自主解答】(1)由点斜式方程可知，所求直线的方程为y54(x2)，即4xy30.(2)直线的倾斜角为45°，此直线的斜率ktan 45°1，直线的点斜式方程为y3x2，即xy10.(3)直线与x轴平行，倾斜角为0°，斜率k0，直线方程为y10×(x1)，即y1.(4)直线与x轴垂直，斜率不存在，故不能用点斜式表示这条直线的方程，由于直线所有点的横坐标都是1，故这条直线方程为x1. 求直线

49、的点斜式方程，步骤如下：根据条件写出下列各题中的直线方程(1)经过点A(1,2)，斜率为2；(2)经过点B(1,4)，倾斜角为135°；(3)经过点C(4,2)，倾斜角为90°；(4)经过坐标原点，倾斜角为60°.【解】(1)由直线方程的点斜式可得，所求直线的方程为y22(x1)，即2xy0.(2)由题意可知，直线的斜率ktan 135°1，所以直线的点斜式方程为y4(x1)，即xy30.(3)由题意可知，直线的斜率不存在，且直线经过点C(4,2)，所以直线的方程为x4.(4)由题意可知，直线的斜率ktan 60°，所以直线的点斜式方程为yx.

50、直线的斜截式方程根据条件写出下列直线的斜截式方程(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.【思路探究】【自主解答】(1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y2x5.(2)倾斜角150°，斜率ktan 150°.由斜截式可得方程为yx2.(3)直线的倾斜角为60°，其斜率ktan 60°，直线与y轴的交点到原点的距离为3，直线在y轴上的截距b3或b3.所求直线方程为yx3或yx3.1本题(3)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏

51、掉解“yx3”2截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零直线l与直线l1：y2x6在y轴上有相同的截距，且l的斜率与l1的斜率互为相反数，求直线l的方程【解】由直线l1的方程可知它的斜率为2，它在y轴上的截距为6，所以直线l的斜率为2，在y轴上的截距为6.由斜截式可得直线l的方程为y2x6.平行与垂直的应用当a为何值时，直线l1：yx2a与直线l2：y(a22)x2(1)平行？(2)垂直？【思路探究】已知两直线的方程，且方程中含有参数，可利用l1l2k1k2且b1b2，；l1l2k1·k21求解【自主解答】(1)要使l1l2，则需满足解得a1.故

52、当a1时，直线l1与直线l2平行(2)要使l1l2，则需满足(a22)×(1)1，a±.故当a±时，直线l1与直线l2垂直已知直线l1：yk1xb1与直线l2：yk2xb2.(1)若l1l2，则k1k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1b2；反之k1k2且b1b2时，l1l2.所以有l1l2k1k2且b1b2.(2)若l1l2，则k1·k21；反之k1·k21时，l1l2.所以有l1l2k1·k21.(1)已知直线yax2和y(a2)x1互相垂直，则a_；(2)若直线l1yx与直线l2y3x1互相平行，则a_.【解析】(1)由题意可

53、知a·(a2)1，解得a1.(2)由题意可知解得a.【答案】(1)1(2)误把“截距”当“距离”致误已知斜率为的直线l，与两坐标轴围成的三角形面积为6，求l的方程【错解】设l：yxb，令x0得yb；令y0得xb，由题意得·b·(b)6，b>0，b4，直线l的方程为yx4.【错因分析】上述解法的错误主要在于“误把直线在两轴上的截距当作距离”【防范措施】直线在两轴上的截距是直线与坐标轴交点的横、纵坐标，而不是距离，因此本题在先求得截距后，应对截距取绝对值再建立面积表达式【正解】设l：yxb，令x0得yb；令y0得xb，由题意得·|b|·|b|

54、6，b216，b±4.故直线l的方程为yx±4.1建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为yy1k(xx1)才是整条直线的方程当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为xx1.2斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b)点、斜率为k的直线ybk(x0)，即ykxb，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数如yc是直线的斜截式方程，而2y3x4不是直线的斜截式方程1直线的点斜式方程yy0k(xx0)可以表示

55、()A任何一条直线B不过原点的直线C不与坐标轴垂直的直线 D不与x轴垂直的直线【解析】点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线【答案】D2直线l过点A(1,2)，斜率为3，则直线l的点斜式方程为()Ay13(x2) By23(x1)Cy23(x1) Dy23(x1)【解析】过点(x0，y0)，斜率为k的直线的点斜式方程为yy0k(xx0)【答案】D3已知直线l的点斜式方程为y1x1，那么直线l的斜率为_，倾斜角为_，在y轴上的截距为_【解析】直线y1x1的斜率为1，由tan 45°1可知，倾斜角为45°；令x0得y0，故在y轴上的截距为0.【答案】1

56、45°04(1)求经过点(1,1)且与直线y2x7平行的直线方程；(2)求经过点(1,1)且与直线y2x7垂直的直线方程【解】(1)由y2x7得其斜率k12，所求直线与已知直线平行，设其斜率为k2，k2k12，所求直线方程为y12(x1)，即2xy10.(2)由y2x7得其斜率k12，所求直线与已知直线垂直，设其斜率为k2，k1·k21，k2，所求直线为y1(x1)，即x2y30.一、选择题1已知直线的方程是y2x1，则()A直线经过点(1,2)，斜率为1B直线经过点(1,2)，斜率为1C直线经过点(1，2)，斜率为1D直线经过点(1，2)，斜率为1【解析】结合直线的点斜式

57、方程yy0k(xx0)得C选项正确【答案】C2已知两条直线yax2和y(2a)x1互相平行，则a等于()A2B1C0D1【解析】由a2a，得a1.【答案】B3下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程是()Ax3 By5C2yx Dx4y1【解析】直线方程的斜截式ykxb，等号左边为y，其系数为1，右边x的系数为斜率k，b为直线在y轴上的截距，当k0，b5时，即为y5，即B项的方程可看成直线的斜截式方程【答案】B4(2013·临沂高一检测)过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是()Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y10【解析】直线x2y20的斜率为，又所求直线过点(1,0)，故由点斜式方程可得，所求直线方程为y(x1)，即x2y10.【答案】A5