最新高三数学文教师用书：第三章三角函数、解三角形含答案

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1、 第三章第三章 三角函数、解三角形三角函数、解三角形 第一节第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数任意角和弧度制及任意角的三角函数 1角的概念的推广角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图从一个位置旋转到另一个位置所成的图形形 (2)分类分类 按旋转方向不同分为按旋转方向不同分为正角正角、负角负角、零角零角.按终边位置不同分为按终边位置不同分为象限角象限角和轴线角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角终边相同的角：所有与角 终边相同的角，连同角终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合在内，可构成一个

2、集合 S|k 360 ，kZ 2弧度制的定义和公式弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于定义：把长度等于半径长半径长的弧所对的圆心角叫做的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度记作弧度的角，弧度记作 rad (2)公式：公式： 角角 的弧度数公式的弧度数公式 |lr(l 表示弧长表示弧长) 角度与弧度的换算角度与弧度的换算 1 180 rad；1 rad 180 弧长公式弧长公式 l|r 扇形面积公式扇形面积公式 S12lr12|r2 3任意角的三角函数任意角的三角函数 三角函数三角函数 正弦正弦 余弦余弦 正切正切 定义定义 设设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点是一个任意角，它的终

3、边与单位圆交于点 P(x，y)，那么，那么 y 叫做叫做 的正弦，记的正弦，记作作 sin x 叫做叫做 的余弦，记的余弦，记作作 cos yx叫做叫做 的正切， 记作的正切， 记作tan 各象各象限符限符号号 一一 二二 三三 四四 三角函三角函 数线数线 有向线段有向线段 MP 为正弦为正弦线线 有向有向线段线段 OM 为余弦为余弦线线 有向线段有向线段 AT 为正切为正切线线 小题体验小题体验 1若若 满足满足 sin 0，则，则 的终边所在的象限为的终边所在的象限为( ) A第一象限第一象限 B第二象限第二象限 C第三象限第三象限 D第四象限第四象限 答案：答案：D 2已知角已知角 的

4、终边经过点的终边经过点(4，3)，则，则 cos ( ) A45 B45 C35 D35 答案：答案：B 3已知半径为已知半径为 120 mm 的圆上，有一条弧的长是的圆上，有一条弧的长是 144 mm，则该弧所对的圆心角的弧，则该弧所对的圆心角的弧度数为度数为_ 答案：答案：12 1注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于 90 的角是概念不同的三类角第一类的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、第三类是区间角是象限角，第二、第三类是区间角 2角度制与弧度制可利用角度制与弧度制可利用 180 rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度进行互化，在

5、同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不必须一致，不可混用可混用 3已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况 4三角函数的定义中，当三角函数的定义中，当 P(x，y)是单位圆上的点时有是单位圆上的点时有 sin y，cos x，tan yx，但若不是单位圆时，如圆的半径为但若不是单位圆时，如圆的半径为 r，则，则 sin yr，cos xr，tan yx 小题纠偏小题纠偏 1若角若角 终边上有一点终边上有一点 P(x,5)，且，且 cos x13(x0)，则，则 sin ( ) A513 B1213 C51

6、2 D513 答案：答案：A 23 900 是第是第_象限角，象限角，1 000 是第是第_象限角象限角 答案：答案：四四 一一 考点一考点一 角的集合表示及象限角的判定角的集合表示及象限角的判定 基础送分型考点基础送分型考点自主练透自主练透 题组练透题组练透 1给出给出下列四个命题：下列四个命题： 34是第二象限角；是第二象限角；43是第三象限角；是第三象限角；400 是第四象限角；是第四象限角；315 是第一象是第一象限角其中正确的命题有限角其中正确的命题有( ) A1 个个 B2 个个 C3 个个 D4 个个 解析：解析：选选 C 34是第三象限角，故是第三象限角，故错误；错误；433，

7、从而，从而43是第三象限角，故是第三象限角，故正确；正确；400 360 40 ，从而，从而正确；正确；315 360 45 ，从而，从而正确正确 2若若 是第二象限的角，则下列结论一定成立的是是第二象限的角，则下列结论一定成立的是( ) Asin20 Bcos20 Ctan20 Dsin2cos20 解析：解析：选选 C 22k2k，kZ， 4k20 一定成立，故选一定成立，故选 C 3在在720 0 范围内所有与范围内所有与 45 终边相同的角为终边相同的角为_ 解析：解析：所有与所有与 45 有相同终边的角可表示为：有相同终边的角可表示为： 45 k360 (kZ)， 则令则令720 4

8、5 k360 0 ， 得得765 k360 45 ，解得，解得765360k45360， 从而从而 k2 或或 k1，代入得，代入得 675 或或 315 答案：答案：675 或或315 4已知角已知角 的终边在直线的终边在直线 3xy0 上，则角上，则角 的集合的集合 S_ 解析：解析： 如图，直线如图，直线 3xy0 过原点，倾斜角为过原点，倾斜角为 60 ， 在在 0 360 范围内，范围内， 终边落在射线终边落在射线 OA 上的角是上的角是 60 ， 终边落在射线终边落在射线 OB 上的角是上的角是 240 ， 所以以射线所以以射线 OA，OB 为终边的角的集合为：为终边的角的集合为：

9、 S1|60 k 360 ，kZ， S2|240 k 360 ，kZ， 所以角所以角 的集合的集合 SS1S2 |60 k 360 ，kZ|60 180 k 360 ，kZ |60 2k 180 ，kZ|60 (2k1) 180 ，kZ |60 k 180 ，kZ 答案：答案：|60 k 180 ，kZ 谨记通法谨记通法 1终边在某直线上角的求法终边在某直线上角的求法 4 步骤步骤 (1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出按逆时针方向写出0,2)内的角；内的角； (3)再由终边相同角的表再由终边相同角的表示方法写出满足条件角

10、的集合；示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合求并集化简集合 2确定确定 k，k(kN*)的终边位置的终边位置 3 步骤步骤 (1)用终边相同角的形式表示出角用终边相同角的形式表示出角 的范围；的范围； (2)再写出再写出 k 或或k的范围；的范围； (3)然后根据然后根据 k 的可能取值讨论确定的可能取值讨论确定 k 或或k的终边所在位置的终边所在位置 考点二考点二 扇形的弧长及面积公式扇形的弧长及面积公式 基础送分型考点基础送分型考点自主练透自主练透 题组练透题组练透 1若一扇形的圆心角为若一扇形的圆心角为 72 ，半径为，半径为 20 cm，则扇形的面积为，则扇形的面积为(

11、) A40 cm2 B80 cm2 C40 cm2 D80 cm2 解析：解析：选选 B 72 25， S扇形扇形12|r2122520280(cm2) 2已知扇形的周长是已知扇形的周长是 6，面积是，面积是 2，则扇形的圆心角的弧度数是，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A1 B4 C1 或或 4 D2 或或 4 解析：解析：选选 C 设此扇形的半径为设此扇形的半径为 r，弧长为，弧长为 l， 则则 2rl6，12rl2，解得解得 r1，l4或或 r2，l2. 从而从而 lr414 或或 lr221 3扇形弧长为扇形弧长为 20 cm，圆心角为，圆心角为 100 ，则该扇形的面积为，则该扇形的

12、面积为_cm2 解析：解析：由弧长公式由弧长公式 l|r，得，得 r2010018036，S扇形扇形12lr122036360 答案：答案：360 谨记通法谨记通法 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)明确弧度制下弧长公式明确弧度制下弧长公式 l|r，扇形的面积公式是，扇形的面积公式是 S12lr12|r2(其中其中 l 是扇形的弧是扇形的弧长，长， 是扇形的圆心角是扇形的圆心角) (2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、 半径、 弧长三个量中的任意两个量， 如求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、 半径、 弧长三个量中的任意两个量， 如“题

13、题组练透组练透”第第 3 题题考点三考点三 三角函数的定义三角函数的定义 题点多变型考点题点多变型考点多角探明多角探明 锁定考向锁定考向 任意角的三角函数任意角的三角函数(正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容在高考中多以选择题、填的定义属于理解内容在高考中多以选择题、填空题的形式出现空题的形式出现 常见的命题角度有：常见的命题角度有： (1)三角函数定义的应用；三角函数定义的应用； (2)三角函数值的符号判定；三角函数值的符号判定； (3)三角函数线的应用三角函数线的应用 题点全练题点全练 角度一：三角函数定义的应用角度一：三角函数定义的应用 1已知角已知角 的终边经过点的终边

14、经过点 P(x，6)，且，且 cos 513，则，则1sin 1tan _ 解析：解析：角角 的终边经过点的终边经过点 P(x，6)，且，且 cos 513， cos xx236513，即，即 x52或或 x52(舍去舍去)， P 52，6 ， sin 1213，tan sin cos 125， 则则1sin 1tan 131251223 答案：答案：23 角度二：三角函数值的符号判定角度二：三角函数值的符号判定 2若若 sin tan 0，且，且cos tan 0，则角，则角 是是( ) A第一象限角第一象限角 B第二象限角第二象限角 C第三象限角第三象限角 D第四象限角第四象限角 解析：解

15、析：选选 C 由由 sin tan 0 可知可知 sin ，tan 异号，异号， 则则 为第二或第三象限角为第二或第三象限角 由由cos tan 0， sin2x34， 32sin x0 时，时，cos 55；当；当 t0 时，时，cos 55 因此因此 cos 22cos2125135 一抓基础，多练小题做到眼疾手快一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1已知点已知点 P(tan ，cos )在第三象限，则角在第三象限，则角 的终边在的终边在( ) A第一象限第一象限 B第二象限第二象限 C第三象限第三象限 D第四象第四象限限 解析：解析：选选 B 因为点因为点 P 在第三象限，所以在第三象限，所

16、以 tan 0，cos 0，所以所以 的终边在第二象限，故选的终边在第二象限，故选B 2设角设角 终边上一点终边上一点 P(4a,3a)(a0)，则，则 sin 的值为的值为( ) A35 B35 C45 D45 解析：解析：选选 B 设点设点 P 与原点间的距离为与原点间的距离为 r， P(4a,3a)，a0， r 4a 2 3a 2|5a|5a sin 3ar35 3若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角 (0)的弧度数为的弧度数为( ) A3 B2 C 3 D2 解析：解析：选选 C 设圆半径为设圆半径为 r，则其内接

17、正三角形的边长为，则其内接正三角形的边长为 3r，所以，所以 3rr， 所以所以 3 4在直角坐标系中，在直角坐标系中，O 是原点，是原点，A( 3，1)，将点，将点 A 绕绕 O 逆时逆时针旋转针旋转 90 到到 B 点，则点，则 B点坐标为点坐标为_ 解析：解析：依题意知依题意知 OAOB2，AOx30 ，BOx120 ， 设点设点 B 坐标为坐标为(x，y)，所以，所以 x2cos 120 1，y2sin 120 3，即，即 B(1， 3) 答案：答案：(1， 3) 5已知角已知角 的顶点为坐标原点，始边为的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的非负半轴，若轴的非负半轴，若 P(4，y)是角是

18、角 终边上一终边上一点，且点，且 sin 2 55，则，则 y_ 解析：解析：因为因为 sin y42y22 55， 所以所以 y0，且，且 y264，所以，所以 y8 答案：答案：8 二保高考，全练题型做到高考达标二保高考，全练题型做到高考达标 1将表的分针拨快将表的分针拨快 10 分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A3 B6 C3 D6 解析：解析：选选 C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角故将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角故 A、B 不正确，又因为不正确，又因为拨快拨快 10 分钟，故应转过的角为圆周的分钟，故应转过的

19、角为圆周的16，即为，即为1623 2(20 xx 福州一模福州一模)设设 是第二象限角，是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且为其终边上的一点，且 cos 15x，则，则 tan ( ) A43 B34 C34 D43 解析：解析：选选 D 因为因为 是第二象限角，所以是第二象限角，所以 cos 15x0， 即即 x0又又 cos 15xxx216 解得解得 x3，所以，所以 tan 4x43 3已知角已知角 终边上一点终边上一点 P 的坐标是的坐标是(2sin 2，2cos 2)，则，则 sin 等于等于( ) Asin 2 Bsin 2 Ccos 2 Dcos 2 解析解析：选选

20、 D 因为因为 r 2sin 2 2 2cos 2 22，由任意三角函数的定义由任意三角函数的定义，得得 sin yrcos 2 4设设 是第三象限角，且是第三象限角，且 cos 2cos 2，则，则2是是( ) A第一象限角第一象限角 B第二象限角第二象限角 C第三象限角第三象限角 D第四象限角第四象限角 解析：解析：选选 B 由由 是第三象限角，知是第三象限角，知2为第二或第四象限角，为第二或第四象限角， cos 2cos 2，cos 2cos x 成立的成立的 x 的取值范围为的取值范围为_ 解析：解析：如图所示，找出在如图所示，找出在(0,2)内，使内，使 sin xcos x 的的

21、x 值，值，sin4cos422，sin54cos5422根据三角函数线的变化规律标出满足根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角题中条件的角 x 4，54 答案：答案： 4，54 10已知扇形已知扇形 AOB 的周长为的周长为 8 (1)若这个扇形的面积为若这个扇形的面积为 3，求圆心角的大小；，求圆心角的大小； (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB 解：解：设扇形设扇形 AOB 的半径为的半径为 r，弧长为，弧长为 l，圆心角为，圆心角为 ， (1)由题意可得由题意可得 2rl8，12lr3， 解得解得 r3，l2或或

22、 r1，l6， lr23或或 lr6 (2)法一：法一：2rl8， S扇扇12lr14l 2r14 l2r2214 8224， 当且仅当当且仅当 2rl，即，即 lr2 时，扇形面积取得最大值时，扇形面积取得最大值 4 圆心角圆心角 2，弦长，弦长 AB2sin 124sin 1 法二：法二：2rl8， S扇扇12lr12r(82r)r(4r)(r2)244， 当且仅当当且仅当 r2，即，即 lr2 时，扇形面积取得最大值时，扇形面积取得最大值 4 弦长弦长 AB2sin 124sin 1 三上台阶，自主选做志在冲刺名校三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1若若 是第三象限角，则下列各式中不成立的

23、是是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) Asin cos 0 Btan sin 0 Ccos tan 0 Dtan sin 0 解析：解析：选选 B 是第三象限角，是第三象限角，sin 0，cos 0，tan 0，则可排除，则可排除 A、C、D 2已知角已知角 2k5(kZ)，若角，若角 与角与角 的终边相同，则的终边相同，则 ysin |sin |cos |cos |tan |tan |的值为的值为( ) A1 B1 C3 D3 解析：解析：选选 B 由由 2k5(kZ)及终边相同的概念知，角及终边相同的概念知，角 的终边在第四象限，又角的终边在第四象限，又角 与角与角 的终边相同，的

24、终边相同，所以角所以角 是第四象限角，所以是第四象限角，所以 sin 0，cos 0，tan 0 所以所以 y1111 3已知已知 sin 0，tan 0 (1)求求 角的集合；角的集合； (2)求求2终边所在的象限；终边所在的象限； (3)试判断试判断 tan2sin 2cos2的符号的符号 解：解：(1)由由 sin 0，知，知 在第三、四象限或在第三、四象限或 y 轴的负半轴上；轴的负半轴上； 由由 tan 0, 知知 在第一、三象限，故在第一、三象限，故 角在第三象限，角在第三象限， 其集合为其集合为 2k2k32，kZ (2)由由 2k2k32，kZ， 得得 k22k34，kZ， 故

25、故2终边在第二、四象限终边在第二、四象限 (3)当当2在第二象限时，在第二象限时，tan 20， sin 20, cos 20， 所以所以 tan2 sin2 cos2取正号；取正号； 当当2在第四象限时，在第四象限时， tan20， sin20, cos20， 所以所以 tan2sin2cos2也取正号也取正号 因此，因此，tan2sin 2cos 2取正号取正号 第二节第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式同角三角函数的基本关系与诱导公式_ 1同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：平方关系： sin2cos21； (2)商数商数关系：关系： tan sin co

26、s 2诱导公式诱导公式 组序组序 一一 二二 三三 四四 五五 六六 角角 2k (kZ) 2 2 正弦正弦 sin sin sin sin cos cos_ 余弦余弦 cos cos cos cos_ sin sin 组序组序 一一 二二 三三 四四 五五 六六 正切正切 tan tan tan tan_ 口诀口诀 函数名不变函数名不变 符号看符号看象限象限 函数名改变函数名改变 符号看象限符号看象限 记忆记忆 规律规律 奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限 小题体验小题体验 1已知已知 sin 2 35， 0，2，则，则 sin()_ 答案：答案：45 2若若 sin cos 12

27、，则，则 tan cos sin 的值为的值为_ 答答案：案：2 1利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负其步骤：去负脱周脱周化锐化锐 特别注意函数名称和符号的确定特别注意函数名称和符号的确定 2在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号 3注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化 小题纠偏小题纠偏 1已知已知 是第二象限角，是第二象限角，sin 5

28、13，则，则 cos _ 答案答案：1213 2(1)sin 314_， (2)tan 263_ 答案：答案：(1)22 (2) 3 考点一考点一 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式 基础送分型考点基础送分型考点自主练透自主练透 题组练透题组练透 1化简化简 sin(1 071 )sin 99 sin(171 )sin(261 )的结果为的结果为( ) A1 B1 C0 D2 解析：解析：选选 C 原式原式(sin 1 071 ) sin 99 sin 171 sin 261 sin(3360 9 )sin(90 9 )sin(180 9 ) sin(270 9 )sin 9 cos 9 s

29、in 9 cos 9 0 2已知已知 Asin k sin cos k cos (kZ)，则，则 A 的值构成的集合是的值构成的集合是( ) A1，1,2，2 B1,1 C2，2 D1，1,0,2，2 解析：解析：选选 C 当当 k 为偶数时，为偶数时，Asin sin cos cos 2； k 为奇数时，为奇数时，Asin sin cos cos 2 3已知已知 tan 6 33，则，则 tan 56 _ 解析：解析：tan 56 tan 6 tan 6 tan 6 33 答案：答案：33 4(易错题易错题)设设 f()2sin cos cos 1sin2cos 32 sin2 2 sin

30、12，则，则 f 236_ 解析：解析：f() 2sin cos cos 1sin2sin cos2 2sin cos cos 2sin2sin cos 12sin sin 12sin 1tan ， f 2361tan 2361tan 461tan6 3 答案：答案： 3 谨记通法谨记通法 1利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤 也就是：也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了负化正，大化小，化到锐角就好了” 2利用诱导公式化简三角函数的要求利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；化简过程是恒等变形； (

31、2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值，如结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值，如“题组练透题组练透”第第 4 题题 考点二考点二 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系 重点保分重点保分型考点型考点师生共研师生共研 典例引领典例引领 1已知已知sin 3cos 3cos sin 5，则，则 sin2sin cos 的值为的值为( ) A15 B25 C15 D25 解析：解析：选选 D 依题意得：依题意得：tan 33tan 5， tan 2 sin2sin cos sin2sin cos sin2cos2 tan2ta

32、n tan2122222125 2若若 是三角形的内角，且是三角形的内角，且 tan 13，则，则 sin cos 的值为的值为_ 解析：解析：由由 tan 13，得，得 sin 13cos ， 将其代入将其代入 sin2cos21， 得得109cos21，cos2910，易知，易知 cos 0， cos 3 1010，sin 1010， 故故 sin cos 105 答案：答案：105 由题悟法由题悟法 同角三角函数基本关系式的应用技巧同角三角函数基本关系式的应用技巧 技巧技巧 解读解读 适合题型适合题型 切弦切弦 互化互化 主要利用公式主要利用公式 tan sin cos 化成正化成正弦、

33、 余弦， 或者利用公式弦、 余弦， 或者利用公式sin cos tan 化成正切化成正切 表达式中含有表达式中含有 sin ，cos 与与 tan “1”的的 变换变换 1sin2cos2cos2(1tan2)tan4(sin cos )2 2sin cos 表达式中需要利用表达式中需要利用“1”转化转化 和积和积 转换转换 利用利用(sin cos )21 2sin cos 的的关系进行变形、转化关系进行变形、转化 表达式中含有表达式中含有 sin cos 或或 sin cos 即时应用即时应用 1若若 sin 513，且，且 为第四象限角，则为第四象限角，则 tan 的值等于的值等于( )

34、 A125 B125 C512 D512 解析：解析： 选选 D 法一法一： 因为： 因为 为第四象限的角， 故为第四象限的角， 故 cos 1sin2 1 51321213， 所以所以 tan sin cos 5131213512 法二法二：因为：因为 是第四象限角，且是第四象限角，且 sin 513，所，所以可在以可在 的终边上取一点的终边上取一点 P(12，5)，则则 tan yx512故选故选 D 2已知已知 sin cos 43， 0，4，则，则 sin cos 的值为的值为( ) A23 B23 C13 D13 解析：解析：选选 B 因为因为(sin cos )2sin2cos22

35、sin cos 12sin cos 169，所，所以以 2sin cos 79，则，则(sin cos )2sin2cos22sin cos 12sin cos 29 又因为又因为 0，4，所以，所以 sin cos ，即，即 sin cos 0， 所以所以 sin cos 23 一抓基础，多练小题做到眼疾手快一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1若若 2，2，sin 35，则，则 cos()( ) A45 B45 C35 D35 解析：解析：选选 B 因为因为 2，2，sin 35，所以，所以 cos 45，即，即 cos()45 2已知已知 sin() 3cos(2)，|2，则，则 等于等于(

36、 ) A6 B3 C6 D3 解析：解析：选选 D sin() 3cos(2)， sin 3cos ，tan 3|2，3 3(20 xx 赣中南五校联考赣中南五校联考)已知倾斜角为已知倾斜角为 的直线的直线 l 与直线与直线 x2y30 垂直，则垂直，则cos 2 01722 的值为的值为( ) A45 B45 C2 D12 解析：解析：选选 A 由题意可得由题意可得 tan 2， 所以所以 cos 2 01722 sin 22sin cos sin2cos22tan tan2145故选故选 A 4已知已知 2， ，sin 45，则，则 tan _ 解析：解析： 2， ，cos 1sin235

37、， tan sin cos 43 答案：答案：43 5如果如果 sin(A)12，那么，那么 cos 32A 的值是的值是_ 解析：解析：sin(A)12，sin A12 cos 32A sin A12 答案：答案：12 二保高考，全练题型做到高考达标二保高考，全练题型做到高考达标 1已知已知 tan()34，且，且 2，32，则，则 sin 2( ) A45 B45 C35 D35 解析：解析：选选 B 因为因为 tan()34，所以，所以 tan 34 又因为又因为 2，32，所以，所以 为第三象限的角，为第三象限的角， sin 2cos 45 2已知已知 sin 413，则则 cos 4

38、 ( ) A2 23 B2 23 C13 D13 解析解析：选选 D cos 4 sin 2 4 sin 4 sin 413 3已知已知 f(x)asin(x)bcos(x)4，若若 f(2 016)5，则则 f(2 017)的值是的值是( ) A2 B3 C4 D5 解析解析：选选 B f(2 016)5， asin(2 016)bcos(2 016)45， 即即 asin bcos 1 f(2 017)asin(2 017)bcos(2 017)4asin bcos 4143 4(20 xx 广州模拟广州模拟)当当 为第二象限角，且为第二象限角，且 sin 2213时，时，1sin cos

39、2sin2的值是的值是( ) A1 B1 C 1 D0 解析：解析：选选 B sin 2213，cos213， 2在第一象限，且在第一象限，且 cos 20 时的情况时的情况 3三角函数存在多个单调区间时易错用三角函数存在多个单调区间时易错用“”联结联结 小题纠偏小题纠偏 1函数函数 y4sin(x)，x，的单调性是的单调性是( ) A在在，0上是增函数，在上是增函数，在0，上是减函数上是减函数 B在在 2，2上是增函数，在上是增函数，在 ，2和和 2， 上是减函数上是减函数 C在在0，上是增函数，在上是增函数，在，0上是减函数上是减函数 D在在 2， 和和 ，2上是增函数，在上是增函数，在

40、2，2上是减函数上是减函数 答案：答案：D 2函数函数 f(x)sin 2x4在区间在区间 0，2上的最小值为上的最小值为_ 解析：解析：由已知由已知 x 0，2，得，得 2x4 4，34， 所以所以 sin 2x4 22，1 ，故函数，故函数 f(x)sin 2x4在区间在区间 0，4上的上的最小值为最小值为22 答案：答案：22 考点一考点一 三角函数的定义域三角函数的定义域 基础送分型考点基础送分型考点自主练透自主练透 题组练透题组练透 1(易错题易错题)函数函数 y1tan x1的定义域为的定义域为_ 解析：解析：要使函数有意义，要使函数有意义， 必须有必须有 tan x10，x2k，

41、kZ， 即即 x4k，kZ，x2k，kZ. 故函数的定义域为故函数的定义域为 x x4k且且x2k，kZ 答案：答案： x x4k且且x2k，kZ 2函数函数 ylg(sin 2x) 9x2的定义域为的定义域为_ 解析：解析：由由 sin 2x0，9x20，得得 kxk2，kZ，3x3. 3x2或或0 x0)的最小正周期为的最小正周期为 ，则函数，则函数 f(x)的图象的图象( ) A关于直线关于直线 x4对称对称 B关于直线关于直线 x8对称对称 C关于点关于点 4，0 对称对称 D关于点关于点 8，0 对称对称 解析：解析：选选 B f(x)sin x4的最小正周期为的最小正周期为 ， 2

42、，2， f(x)sin 2x4当当 x4时，时，2x434， A、C 错误；当错误；当 x8时，时，2x42， B 正确，正确，D 错误错误 3若函数若函数 f(x)sin 12x 3 cos 12x |2的图象关于原点对称， 则角的图象关于原点对称， 则角 ( ) A6 B6 C3 D3 解析：解析： 选选 D f(x)2sin 12x3， 且， 且 f(x)的图象关于原点对称，的图象关于原点对称， f(0)2sin 30，即，即 sin 30，3k(kZ)，即，即 3k(kZ)又又|0)在区间在区间 0，3上单调递增，在区间上单调递增，在区间 3，2上单调递减上单调递减，则，则_ 解析：解

43、析：f(x)sin x(0)过原点，过原点， 当当 0 x2，即，即 0 x2时，时，ysin x 是增函数；是增函数； 当当2x32，即，即2x32时，时，ysin x 是减函数是减函数 由由 f(x)sin x(0)在在 0，3上单调递增，上单调递增， 在在 3，2上单调递减知，上单调递减知，23，32 答案：答案：32 通法在握通法在握 1函数函数 f(x)Asin(x)的奇偶性、周期性和对称性的奇偶性、周期性和对称性 (1)若若 f(x)Asin(x)为偶函数，则当为偶函数，则当 x0 时，时，f(x)取得最大或最小值；若取得最大或最小值；若 f(x)Asin(x)为奇函数，则当为奇函

44、数，则当 x0 时，时，f(x)0 (2)对于函数对于函数 yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线定是函数的零点，因此在判断直线 xx0或点或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验通过检验 f(x0)的值进行判断的值进行判断 2求三角函数单调区间的求三角函数单调区间的 2 种方法种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角 u(或或 t)，利，

45、利用基本三角函数的单调性列不等式求解用基本三角函数的单调性列不等式求解 (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间 演练冲关演练冲关 1最小正周期为最小正周期为 且图象关于直线且图象关于直线 x3对称的函数是对称的函数是( ) Ay2sin 2x3 By2sin 2x6 Cy2sin x23 Dy2sin 2x3 解析：解析：选选 B 由函数的最小正周期为由函数的最小正周期为 ，排除，排除 C；由函数图象关于直线；由函数图象关于直线 x3对称知，对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，该直线过函数图象的最高点或最

46、低点，对于对于 B，因为，因为 sin 236sin 21，所以选，所以选 B 2函数函数 ycos 42x 的单调减区间为的单调减区间为_ 解析：解析：由由 ycos 42x cos 2x4得得 2k2x42k(kZ)， 解得解得 k8xk58(kZ) 所以函数的单调减区间为所以函数的单调减区间为 k8，k58(kZ) 答案：答案： k8，k58(kZ) 3函数函数 y|tan x|在在 2，32上的单调减区间为上的单调减区间为_ 解析：解析： 如图， 观察图象可知，如图， 观察图象可知， y|tan x|在在 2，32上的单调减区间为上的单调减区间为 2，0 和和 2， 答案：答案： 2，

47、0 和和 2， 一抓基础，多练小题做到眼疾手快一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1(20 xx 广州五校联考广州五校联考)下列函数中，周期为下列函数中，周期为 的奇函数为的奇函数为( ) Aysin xcos x Bysin2x Cytan 2x Dysin 2xcos 2x 解析：解析：选选 A ysin2x 为偶函数；为偶函数；ytan 2x 的周期为的周期为2；ysin 2xcos 2x 为非奇非偶为非奇非偶函数，故函数，故 B、C、D 都不正确，选都不正确，选 A 2(20 xx 合肥质检合肥质检)函数函数 ysin x6在在 x2 处取得最大值，则正数处取得最大值，则正数 的最小值为的

48、最小值为( ) A2 B3 C4 D6 解析：解析：选选 D 由题意得，由题意得，2622k(kZ)，解得，解得 6k(kZ)，0，当当k0 时，时，min6，故选，故选 D 3下列各点中，能作为函数下列各点中，能作为函数 ytan x5的一个对称中心的点是的一个对称中心的点是( ) A(0,0) B 5，0 C(，0) D 310，0 解析：解析：选选 D 由由 x5k2(kZ)，得，得 xk25(kZ)，当，当 k1 时，时，x310，所以函数，所以函数ytan x5的一个对称中心的点是的一个对称中心的点是 310，0 ，故选，故选 D 4 (20 xx 湖南六校联考湖南六校联考)函数函数

49、 y3sin x 3cos xx 0，2的单调递增区间是的单调递增区间是_ 解析：解析：化简可得化简可得 y2 3sin x6，由，由 2k2x62k2(kZ)，得，得232kx32k(kZ)，又，又 x 0，2，函数的单调递增区间是函数的单调递增区间是 0，3 答案：答案： 0，3 5函数函数 y32cos x4的最大值为的最大值为_，此时，此时 x_ 解析：解析： 函数函数y32cos x4的最大值为的最大值为325， 此时， 此时x42k， 即， 即x342k(kZ) 答案：答案：5 342k(kZ) 二保高考，全练题型做到高考达标二保高考，全练题型做到高考达标 1y|cos x|的一个

50、单调增区间是的一个单调增区间是( ) A 2，2 B0， C ，32 D 32，2 解析：解析：选选 D 将将 ycos x 的图象位于的图象位于 x 轴下方的图象关于轴下方的图象关于 x 轴对称，轴对称，x 轴上方轴上方(或或 x 轴轴上上)的图象不变，即得的图象不变，即得 y|cos x|的图象的图象(如图如图)故选故选 D 2设偶函数设偶函数 f(x)Asin(x)(A0，0,00)对任意对任意 x 都有都有 f 6x f 6x ，则，则 f 6的值为的值为( ) A2 或或 0 B2 或或 2 C0 D2 或或 0 解析：解析：选选 B 因为函数因为函数 f(x)2sin(x)对任意对

51、任意 x 都有都有 f 6x f 6x ，所以该函数，所以该函数图象关于直线图象关于直线 x6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选 B 4如果函数如果函数 y3cos(2x)的图象关于点的图象关于点 43，0 对称，那么对称，那么|的最小值为的最小值为( ) A6 B4 C3 D2 解析：解析：选选 A 由题意得由题意得 3cos 243 3cos2323cos 23 0， 23k2，kZ，k6，kZ，取，取 k0， 得得|的最小值为的最小值为6 5已知已知 0，函数，函数 f(x)sin x4在在 2， 上单调递减，

52、则上单调递减，则 的取值范围是的取值范围是( ) A 12，54 B 12，34 C 0，12 D(0,2 解析：解析：选选 A 由由2x 得得24x40)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2，且该函数，且该函数图象关于点图象关于点(x0,0)成中心对称，成中心对称，x0 0，2，则，则 x0_ 解析：解析：由题意得由题意得T22，T，2又又 2x06k(kZ)，x0k212(kZ)，而，而 x0 0，2，所以，所以 x0512 答案：答案：512 9已知函数已知函数 f(x)(sin xcos x)22cos2x2 (1)求求 f(x)的单调递增区间；的单调

53、递增区间； (2)当当 x 4，34时，求函数时，求函数 f(x)的最大值，最小值的最大值，最小值 解：解：(1)f(x)sin 2xcos 2x 2sin 2x4， 令令 2k22x42k2，kZ， 得得 k38xk8，kZ 故故 f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为 k38，k8，kZ (2)x 4，34，342x474， 1sin 2x422， 2f(x)1， 当当 x 4，34时，函数时，函数 f(x)的最大值为的最大值为 1，最小值为，最小值为 2 10已知函数已知函数 f(x)sin(x) 023的最小正周期为的最小正周期为 (1)求当求当 f(x)为偶函数时为偶函数时 的值；

54、的值； (2)若若 f(x)的图象过点的图象过点 6，32，求，求 f(x)的单调递增区间的单调递增区间 解：解：f(x)的最小正周期为的最小正周期为 ，则，则 T2，2 f(x)sin(2x) (1)当当 f(x)为偶函数时，为偶函数时，2k，kZ， cos 0，023，2 (2)f(x)的图象过点的图象过点 6，32时，时，sin 26 32， 即即 sin 3 32 又又023，33 323，3 f(x)sin 2x3 令令 2k22x32k2，kZ， 得得 k512xk12，kZ f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为 k512，k12，kZ 三上台阶，自主选做志在冲刺名校三上台阶，

55、自主选做志在冲刺名校 1(20 xx 衡水中学检测衡水中学检测)已知已知 x03是函数是函数 f(x)sin(2x)的一个极大值点，则的一个极大值点，则 f(x)的的一个单调递减区间是一个单调递减区间是( ) A 6，23 B 3，56 C 2， D 23， 解析：解析：选选 B x03是函数是函数 f(x)sin(2x)的一个极大值点，的一个极大值点，sin 23 1，232k2，kZ，解得，解得 2k6，kZ， 不妨取不妨取 6，此时，此时 f(x)sin 2x6， 令令 2k22x62k32，kZ， 可得可得 k3x0，0) 振幅振幅 周期周期 频率频率 相位相位 初相初相 A T2 f

56、1T2 x 2用五点法画用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简图一个周期内的简图 用五点法画用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x 2 32 2 x 0 2 32 2 yAsin(x) 0 A 0 A 0 3由函数由函数 ysin x 的图象变换得到的图象变换得到 yAsin(x)(A0，0)的图象的两种方法的图象的两种方法 小题体验小题体验 1(20 xx 浙江高考浙江高考)函数函数 ysin x2的图象是的图象是( ) 答案：答案：D 2函数函数 y23sin 12x4的振幅为的振幅为_，周期为，

57、周期为_，初相为，初相为_ 答案：答案：23 4 4 3 用五点法作函数 用五点法作函数 ysin x6在一个周期内的图象时， 主要确定的五个点是在一个周期内的图象时， 主要确定的五个点是_、_、_、_、_ 答案：答案： 6，0 23，1 76，0 53，1 136，0 1函数图象变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象函数图象变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象 2要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数函数 3由由 yAsin x 的图象得

58、到的图象得到 yAsin(x)的图象时，需平移的单位数应为的图象时，需平移的单位数应为 ，而，而不是不是| 小题纠偏小题纠偏 1把把 ysin 12x 的图象上点的横坐标变为原来的的图象上点的横坐标变为原来的 2 倍得到倍得到 ysin x 的图象，则的图象，则 的的值为值为_ 答案：答案：14 2要得到函数要得到函数 ysin 2x 的图象，只需把函数的图象，只需把函数 ysin 2x3的图象向右平移的图象向右平移_个个单位长度单位长度 答案：答案：6 考点一考点一 函数函数yAsin x 的图象与变换的图象与变换 重点保分型考点重点保分型考点师生共研师生共研 典例引领典例引领 某同学用某同

59、学用“五点法五点法”画函数画函数 f(x)Asin(x)0，|0)个单位长度，得到个单位长度，得到 yg(x)的图象若的图象若 yg(x)图象的一个对称中心为图象的一个对称中心为 512，0 ，求，求 的最小值的最小值 (3)作出函数作出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象在长度为一个周期的闭区间上的图象 解：解：(1)根据表中已知数据，解得根据表中已知数据，解得 A5，2，6，数据补全如下表：，数据补全如下表： x 0 2 32 2 x 12 3 712 56 1312 Asin(x) 0 5 0 5 0 且函数解析式为且函数解析式为 f(x)5sin 2x6 (2)由由(1)知知

60、 f(x)5sin 2x6， 则则 g(x)5sin 2x26 因为函数因为函数 ysin x 图象的对称中心为图象的对称中心为(k，0)，kZ， 令令 2x26k，kZ，解得，解得 xk212，kZ 由于函数由于函数 yg(x)的图象关于点的图象关于点 512，0 成中心对称，成中心对称， 所以令所以令k212512， 解得解得 k23，kZ 由由 0 可知，当可知，当 k1 时，时， 取得最小值取得最小值6 (3)由数据作出的图象如图所示：由数据作出的图象如图所示： 由题悟法由题悟法 函数函数 yAsin(x)(A0，0)的图象的两种作法的图象的两种作法 五点法五点法 设设 zx，由，由

61、z 取取 0，2，32，2 来求出相应的来求出相应的 x，通过列表，计算得，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象出五点坐标，描点后得出图象 图象变换法图象变换法 由函数由函数 ysin x 的图象通过变换得到的图象通过变换得到 yAsin(x)的图象，有两种主要途的图象，有两种主要途径径“先平移后伸缩先平移后伸缩”与与“先伸缩后平移先伸缩后平移” 提醒提醒 平移变换和伸缩变换都是针对平移变换和伸缩变换都是针对 x 而言， 即而言， 即 x 本身加减多少值， 而不是依赖于本身加减多少值， 而不是依赖于 x加减多少值加减多少值 即时应用即时应用 1(20 xx 全国乙卷全国乙卷)将函数将函数

62、 y2sin 2x6的图象向右平移的图象向右平移14个周期后， 所得图象对应的个周期后， 所得图象对应的函数为函数为( ) Ay2sin 2x4 By2sin 2x3 Cy2sin 2x4 Dy2sin 2x3 解析：解析：选选 D 函数函数 y2sin 2x6的周期为的周期为 ，将函数，将函数 y2sin 2x6的图象向右平移的图象向右平移14个周期即个周期即4个单位长度，所得图象对应的函数为个单位长度，所得图象对应的函数为 y2sin 2 x462sin 2x3，故选，故选D 2(20 xx 西安质检西安质检)将函数将函数 f(x)sin x6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到的图象上

63、各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的原来的 2 倍，所得图象的一条对称轴方程可能是倍，所得图象的一条对称轴方程可能是( ) Ax12 Bx12 Cx3 Dx23 解析：解析： 选选 D 将函数将函数 f(x)sin x6的图象上各点的纵坐标不变， 横坐标伸长到原来的的图象上各点的纵坐标不变， 横坐标伸长到原来的2 倍，得到函数倍，得到函数 ysin 12x6的图象，由的图象，由12x62k，kZ，得，得 x232k，kZ，当当 k0 时，函数图象的对称轴为时，函数图象的对称轴为 x23，故选，故选 D 考点二考点二 求函数求函数yAsin x 的解析式的解析式 重点保分型考点重点保分型考点师生

64、共研师生共研 典例引领典例引领 1(20 xx 石家庄一模石家庄一模)函数函数 f(x)Asin(x)A0，0，|0，0)的最大值为的最大值为 4，最小值为，最小值为 0，最小正周期为，最小正周期为2，直线，直线 x3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( ) Ay4sin 4x6 By2sin 2x32 Cy2sin 4x32 Dy2sin 4x62 解析：解析： 选选 D 由函数由函数 yAsin(x)b 的最大值为的最大值为 4， 最小值为， 最小值为 0， 可知， 可知 b2， A2 由由函数的最小正周期为函数的最小正

65、周期为2， 可知， 可知22， 得， 得 4 由直线由直线 x3是其图象的一条对称轴， 可知是其图象的一条对称轴， 可知 43k2，kZ，从而，从而 k56，kZ，故满足题意的是，故满足题意的是 y2sin 4x62 由题悟法由题悟法 确定确定 yAsin(x)b(A0，0)中参数的方法中参数的方法 (1)求求 A，b：确定函数的最大值：确定函数的最大值 M 和最小值和最小值 m，则，则 AMm2，bMm2； (2)求求 ：确定函数的周期：确定函数的周期 T，则可得，则可得 2T； (3)求求 ：常用的方法有：常用的方法有： 代入法：把图象上的一个已知点代入代入法：把图象上的一个已知点代入(此

66、时此时 A，b 已知已知)或代入图或代入图象与直线象与直线 yb 的的交点求解交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上) 五点法：确定五点法：确定 值时，往往以寻找值时，往往以寻找“五点法五点法”中的某一个点为突破口具体如下：中的某一个点为突破口具体如下： 第一点第一点 图象上升时与图象上升时与 x 轴的交点轴的交点 x0 第二点第二点 图象的图象的“峰点峰点” x2 第三点第三点 图象下降时与图象下降时与 x 轴的交点轴的交点 x 第四点第四点 图象的图象的“谷点谷点” x32 第五点第五点 x2 即时应用即时应用 1(20 xx 福州模拟福州模拟)已知函数已知函数 f(x)Asin x4(A0，0)的部分图象如图所示，的部分图象如图所示，EFG 是边长为是边长为 2 的等边三角形，为了得到的等边三角形，为了得到 g(x)Asin x 的图象，只需将的图象，只需将 f(x)的图象的图象( ) A向左平移向左平移12个长度单位个长度单位 B向右平移向右平移12个长度单位个长度单位 C向左平移向左平移4个长度单位个长度单位 D向右平移