最新向量知识点归纳总结优秀名师资料

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1、向量知识点归纳总结向量知识点归纳与常见题型总结 (与向量概念有关的问题 1?向量不同于数量，数量是只有大小的量(称标量)，而向量既有大小又有方向;数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“,”错了，ab而|,|才有意义. ab?有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性(大小和方向)，故我们只研究与起点无关的向量(既自由向量).当遇到与起点有关向量时，可平移向量. ?平行向量(既共线向量)不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件. 22?单位向量是模为1的向量，其坐标表示为(),其中、满足 ,1yxyx,yx，,AB(可用

2、(cos,sin)(0?2)表示).特别:表示与同向的单位向量。 AB,|ABACAB例如:向量所在直线过的内心(是的角平分线所在,()(0)，,ABC，BAC|ABAC直线); ABAC例1、O是平面上一个定点，A、B、C不共线，P满足OPOA,，,，,()0,).|AB|AC则点P的轨迹一定通过三角形的内心。 ?ABACABAC1?(变式)已知非零向量AB与AC满足( + )?BC=0且 ? = , 则?ABC为( ) 2?|AB|AC|AB|AC|A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 (06陕西) ?的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0

3、仅仅是一个无方向的实数. 0?有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段. (7)相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是,。) aa2(与向量运算有关的问题 ?向量与向量相加，其和仍是一个向量.(三角形法则和平行四边形法则) ?当两个向量和不共线时，的方向与、都不相同，且|,|，|; a，a，abbabbab?当两个向量和共线且同向时，、的方向都相同，且; |a，b|,|a|，|b|a，abbab?当向量和反向时，若|,|，与 方向相同 ，且|=|-|; ababa，baa，bab若|,|时,与 方向相同，且|，|=|-|. aba，bbabba?向量与向量相减

4、，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算. 三角形法则适用于首尾相接的向量求和;平行四边形法则适用于共起点的向量求和。 ; AB，BC,ACAB,AC,CB1 ,例2:P是三角形ABC内任一点，若，则P一定在( ) CBPAPBR,，,A、内部 B、AC边所在的直线上 C、AB边上 D、BC边上 ,ABC2例3、若，则?ABC是:A.Rt? B.锐角? C.钝角? D.等腰Rt? AB?BC，AB,0特别的:, a,b,a,b,a，b、已知向量，求的最大值。 例4a,(cos,sin,),b,(3,1)|2a,b|分析:通过向量的坐标运算，转化为函数(这里是三角)的最值问题，是通法。

5、22解:原式= (2cos,3)，(2sin,，1)|(2cos,3,2sin,，1)|,5,=。当且仅当时，有最大值 8，8sin(,),2k，(k,Z)|2a,b|4.,36评析:其实此类问题运用一个重要的向量不等式“”就显得|a|,|b|,|a,b|,|a|，|b|简洁明快。原式=，但要注意等号成立的条件(向,|2a|，|b|2|a|，|b|,2，1，2,4量同向)。 ?围成一周(首尾相接)的向量(有向线段表示)的和为零向量. 如，,(在?ABC中) .(?ABCD中) AB，BC，CA,0AB，BC，CD，DA,0?判定两向量共线的注意事项:共线向量定理 对空间任意两个向量a、b(b?

6、0 )，a?b,存在实数使a=b( 如果两个非零向量，使=(?R)，那么?; ababab反之，如?，且?0，那么=. abbab这里在“反之”中，没有指出是非零向量，其原因为=0时，与的方向规定为平行. aab?数量积的8个重要性质 ?两向量的夹角为0?.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向,量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数. ?设、都是非零向量，是单位向量，是与的夹角，则 abe,abe,a,a,e,|a|,cos,.(？|e|,1)?(?=90?， cos,0)a,b,0a,b,?在实数运算中=0=0或b=0.而在向量运算中=或=是错

7、误的，,aaba,b,a00b0或是=0的充分而不必要条件. 故a,0a,bb,0?当与同向时=(=0,cos=1); |a|,|b|a,bab,当与反向时，=-(=,cos=-1)，即?的另一个充要条件是|a|,|b|a,bab,ab.当为锐角时，,0，且不同向，是为锐角的必要|a,b|,|a|,|b|ab、 ab,0,ab,非充分条件;当为钝角时，,0，且不反向，是为钝角的必要非充ab、 ab,0,ab,分条件; ,例5.如已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是a,(,2,)b,(3,2)ab,2 41_(答:或且); ,033例6、已知,为相互垂直的单位向量，。且与的夹角为锐角，ja,

8、i,2jb,i，,jiab求实数的取值范围。 ,分析:由数量积的定义易得“”，但要注意问题的等价性。 ,a,b,a,b,01解:由与的夹角为锐角，得有 ,.aba,b,1,2,0.2,1t,而当即两向量同向共线时，有得此时其夹角不为锐角。 a,tb(t,0),2.,t,2,1,故，. ,2,2,2,评析:特别提醒的是:是锐角与不等价;同样是钝角与,a,b,a,b,a,b,0a,b,0不等价。极易疏忽特例“共线”。 22222特殊情况有=。或=. x，y|a|a|a,aaa,a,a如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,),(,),则yxyxa121222= (x,x)，(y,y)|a

9、|1212?。(因) cos,1|a,b|,|a|,|b|?数量积不适合乘法结合律. 如(因为与共线，而与共线) (a,b),c,a,(b,c).(a,b),ca,(b,c)ca?数量积的消去律不成立. 若、是非零向量且并不能得到这是因为向量不能作除数，ba,baca,c,b,c1即是无意义的. ca,b(6)向量b在方向上的投影,b,cos, a,a,(7) 和是平面一组基底,则该平面任一向量(,唯一) ,eea,e，,e11122122特别:. ,则是三点P、A、B共线的充要条件. ,，,1OP,OAOB，1212注意:起点相同，系数和是1。基底一定不共线 1例7、已知等差数列,a,的前n

10、项和为S，若，且A、B、COAaOC，,BOa,nn12002三点共线(该直线不过点O)，则S,( ) 200A(50 B. 51 C.100 D.101 例8、平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,B(,1,3),若点满足A(3,1)OC,其中且,则点的轨迹是_(直线AB) ,R,，,1,OA，,OBCOC,1212123 t,t例9、已知点A,B,C的坐标分别是.若存在实数, (3,1),(5,2),(2,2),使,则的值是:A. 0 B. 1 C. 0或1 D.不确定 OC,OA，(1,)OBt例10下列条件中，能确定三点不共线的是: A,B,P(2222A( B( MP,sin20:

11、MA，cos20:MBMP,sec20:MA,tan20:MB2222 C( D( MP,sin20:MA，cos70:MBMP,csc31:MA,cot31:MB分析:本题应知:“共线，等价于存在使且A,B,P,R,MP,MA，,MB”。 ,，,11(8)?在中，为的重心，特别地,ABCG,ABCPGPAPBPC,，()3,1为的重心;则过三角形的重心; AD，,PAPBPCP，,0,ABCABBCAD2例11、设平面向量、的和。如果向量、，满足，baaaaaa，,0bbba,2123123123iio且顺时针旋转后与同向，其中，则(D)(06河南高考) bai,1,2,330iiA( B

12、,，,bbb0bbb,，,0123123C( D( bbb，,0bbb，,0123123?为的垂心; PAPBPBPCPCPAP,ABCACAB?向量所在直线过的内心(的角分线所在直线); ,()(0)，,ABC，BAC|ABAC?的内心;(选) |0ABPCBCPACAPBP，,ABC1?S,; ?AOBxy,xyABBA2例12、若O是所在平面内一点，且满足，则ABCOBOCOBOCOA,，,2ABC的形状为_(答:直角三角形); 例13、若D为的边的中点，所在平面内有一点P，满足,ABCBC,ABC|AP，设，则的值为_(答:2); PABPCP，,0,|PD例14、若点是的外心，且，则

13、内角为_(答:); O?ABCOAOBCO，,0C120(9)、 P分的比为,则=,0内分;,0且?-1外分. PP,PP,PP11221,，OPOP12,;若,1 则,(+);设P(x,y),P(x,y), OP111OPOPOP1221，,，xx，xx,x，x，x,1212123,x,xx,1，23P(x,y)则;中点重心 222,y，y，y，y，yyy1231212,y,.,.yy,.,3,21，,说明:特别注意各点的顺序，分子是起点至分点，分母是分点至终点，不能改变顺序和 分子分母的位置。 ,例15、已知A(4，-3)，B(-2，6)，点P在直线AB上，且，则P点的坐|3|ABAP,4

14、 标是( )(2，0)，(6，-6) ,x,x，h,(10)、点按平移得,则, 或 函数按P(x,y)a,(h,k)P(x,y)y,f(x)PPa,y,y，k,平移得函数方程为: a,(h,k)y,k,f(x,h)向量按向量平移，前后不变; 说明:(1(2)曲线按向量平移，分两步:?确定平移方向-与坐标轴的方向一致; ?按左加右减，上加下减(上减下加) 2例16、把函数的图象按向量平移后得到的解析式是_。yx,2a,(2,2)2 yxx,，286,例17、函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则y,sin2xy,cos2x，1aa,_(答:) (,1)4结论:已知,过的直线与交于点,则分

15、PPA(x,y),B(x,y),l:Ax，By，C,0A,Bl1122Ax，By，C11所成的比是,若用此结论,以下两题将变得很简单. AB,Ax，By，C22例18、已知有向线段的起点P和终点Q的坐标分别是，若直线的方程是(,1,1),(2,2)PQl，直线与的延长线相交,则的取值范围是_. x，my，m,0PQmlAx，By，C1,2m11,解:由得,因为直线与的延长线相交,故,PQ,1,l2，3mAx，By，C222,3,m,解得 3变式:已知点A(2,-1),B(5,3).若直线与线段AB相交,求的范围. l:kx,y，1,0kAx，By，C22k，211提示: 由 得:及直线过端点得

16、 ,1,k,0,5Ax，By，C5k,222(11)对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足， OPxOAyOBzOC,，则四点P、A、B、C是共面(注意:(1)起点相同 (2)系数和是1。 xyz，,1,ababab，112233(12) 空间两个向量的夹角公式 cosa，b=(a,，(,)aaa123222222aaabbb，123123b,). (,)bbb123(13)空间两点间的距离公式 若A，B，则 (,)xyz(,)xyz111222222 =,，,，,()()()xxyyzz. d|ABABAB,AB,212121122P(14)点到直线距离(点在直线上，直线的方向向量Qh

17、abab,(|)()lll|aPAa=，向量b=). PQabc(15)正弦定理 (R是三角形的外接圆半径) ,2RsinsinsinABC5 说明:正弦定理可直接进行边角转换; cosBb:在中，分别是角的对边，且，求B的大小。 例15abc,ABC,ABC,cos2Cac，cossin2BbB,提示: ,B，cos22sinsin3CacAC例16:在中，若，则此三角形必是_三角形(等腰) ,ABCsin2cossinCAB,222bca，,22提示: cAbcbab,2cos22bc(16)余弦定理 222222222; . abcbcA,，,2cosbcacaB,，,2coscabab

18、C,，,2cos111(17)面积定理?(分别表示a、b、c边上的高). hhh、Sahbhch,abcabc222111?. SabCbcAcaB,sinsinsin2221122?=(为的夹角) SOAOBOAOB,OAOB,OAOBtan(|)(),OAB22(18)三角形内角和定理 在?ABC中，有 CAB,，. ,，222()CAB,ABCCAB()，,，,222说明:(1)三角形具有丰富的内涵(隐含条件) ?:两边之和大于第三边;?:斜边大于直角边;?:正(余)弦定理; 0?:面积公式;?:内角和是;?:大角对大边 180?: tanA，tanB，tanC,tanA,tanB,ta

19、nC?:正弦、余弦函数的单调性; ,锐角三角形中有: ABABABB，,sinsin()cos222,钝角三角形中有(C是钝角): ABABABB，,sinsin()cos222例17:定义在R上的偶函数，且在上是减函数，是锐角三fxfx(1)()，,3,2,角形的两个角，则( )A、 B、 ff(sin)(cos),ff(sin)(cos),C、ff(sin)(sin), D、ff(cos)(cos), (19)平面两点间的距离公式 22=,，,()()xxyy(A，B). d(,)xy(,)xy|ABABAB,AB,11222121,(20)向量的平行与垂直 设a=(,)xy,b=(,)x

20、y，且b0，则 1122a?bb=a ,xyxy0. ,1221,ab(a0)a?b=0,，,xxyy0. ,1212PP(21)线段的定比分公式 设Pxy(,)，Pxy(,)，Pxy(,)是线段的分点,是实数，,11122212且，则 PPPP,126 xx，,12x,OPOP，,1,1，,12(). OPOPtOPtOP,，,(1),t,12yy，1,，1,12,y,1，,(22)平面向量的综合问题 向量的“双重身份”注定了它成为中学数学知识的一个重要交汇点，担当多项内容的媒介也就成了理所当然的事情，数的特性使得它与“函数，三角，数列，不等式，导数”有众多的联系，成为高考中一个新的亮点。形

21、的特性又使它必然与“平面几何，解析几何，立体几何”紧密相关，以体现它的工具作用。我们应该首先做到的是具有向量语言的“翻译”能力。即把抽象的向量语言，转换成直观的“图形语言”或者可操作的“运算形式”。 一般来说，夹角问题总是从数量积入手，长度问题则从模的运算性质开始(一般需先平方)，而共线，共点问题多由数乘向量处理。 ,3113例19(设平面向量，若存在不同时为0的两个实数及实数a,(,),b,(,)s,t2222,2，使。 k,0x,a，(t,k)b,y,sa，tb且x,y(1)求函数关系式; s,f(t)(2)若函数在是单调函数，求的取值范围。 s,f(t)1,，,)k分析:由数量积的坐标运

22、算，不难得出的解析式，含参数必引起讨论，运用“整s,f(t)''体思想”可简化计算;在是单调函数，等价于“或在1,，,)1,，,)f(t)f(t),0f(t),0上恒成立”。 ,3113解:(1)，又 ？a,(,),b,(,)？|a|,|b|,1,且a,b,0？x,y2222,23即由此得: ？x,y,0a，(t,k)b,(,sa，tb),0s,t,kt'2(2)，又是单调函数， ？f(t)f(t),3t,k'2若是增函数，则，恒有， f(t)f(t),03t,k,而t,1,，,)？0,k,3'2若是减函数，则，恒有，这样的不存在 f(t)f(t),03

23、t,k,而t,1,，,)k125.145.20加与减（三）4 P68-74综上. 0,k,3评析:本题覆盖了许多重要的知识点和数学思想方法，与“在知识网络交汇点设计试题”的高考命题思想相吻合。 （1) 与圆相关的概念：AB,AC1BA,BC3,例20、在ABC中，,， ，又E点在BC边上，且满足,22|AB|BA|4.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。3，以A、B为焦点的双曲线经过C、E两点.求此双曲线的方程. BE,2EC分析:遇到的首要问题即“建系”和“向量语言”的解读。深刻理解向量运算的几何意义，就显得万分重要了。 解:以线段AB的中点O为原点，直线AB为x轴建

24、立平面直角坐标系， ?A(-1，0)，B(1，0) 周 次日 期教 学 内 容AB,AC111,AD作CD?AB于D，由已知， ?|cosA=，即|=， AC222|AB|6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。7 圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。BA,BC33同理又? ，?|=， BD,22|BA|5.二次函数与一元二次方程22xy1设双曲线的方程为 (a>

25、0,b>0),C(-,h), E(x,y) ,111222ab2,x,1 3，? 又?E、C两点在双曲线上， 又?,BE,2EC,5,h2,y,1,5,2,1h716,12222,22?,解答:a=,b=, ?双曲线的方程为:7x-=1. y,4ab,776244h22,，,1,1ab22,2525ab,六、教学措施：评析:解析几何与向量的综合，主要表现为用向量的语言来表述题意(如共线，垂直常表现为向量等式，有时也涉及向量的坐标形式)，其实其本质内容仍是本章节的知识的整合。本题中关键在理解两个向量等式(也即“向量的投影”)的几何意义，我们只要具备数学语言的“翻译”能力和简单的向量坐标运算

26、的基础知识就可以了。 11，例21(设，且，求证: (1，)(1，),9x，y,1x,y,Rxy面对新的社会要求，教师与学生应首先走了社会的前边，因此我们应该以新课标要求为指挥棒，采用所有可行的措施，尽量体现以人为本，培养学生创新，开放的思维方式。另一方面注意处理好内容与思想的衔接，内容要在学生上学期的水平之上发展并为以后学习打下基础，思想上注意新思维与我国传统的教学思想结合分析:观察不等式的结构特征，可以联想向量数量积的性质“”，构造向量a,b,|a|b|解决，不失为一种别致的想法。 11111证:设，则a,b,1，而。 a,(1,),b,(1,)|a|,|b|,(1，)(1，)xyxyxy4、在教师的具体指导和组织下，能够实事求事地批评自己、评价他人。211122222,(1，),9.由得， (1，)(1，),(1，)a,b,|a|b|(a,b),|a|b|x，yxyxy评析:根据题目所含代数式的结构特征，合理构造向量的坐标，运用向量数量积的性质 “”可以解决很多代数问题。同样将几何图形中的线段“向量化”也可研究a,b,|a|b|几何图形的性质。这就是新颖别致的解题方法 - 向量法。“构造法”是一种创造性思维，体现了更高层次的思维价值。该例子在于唤起大家的“向量应用意识”，仔细体会，别有情趣。 8