高考数学理科一轮【学案42】空间点、线、面之间的位置关系

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1、学案42空间点、线、面之间的位置关系导学目标： 1.理解空间直线、平面位置关系的含义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题自主梳理1平面的基本性质公理1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2：过_的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有_过该点的公共直线2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的_叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)范围：_.3直线与平面的位

2、置关系有_、_、_三种情况4平面与平面的位置关系有_、_两种情况5平行公理平行于_的两条直线互相平行6定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_自我检测1(2011泉州月考)若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是()A相交 B相交或异面C平行或异面 D平行、相交或异面2已知a，b是异面直线，直线c直线a，则c与b()A一定是异面直线 B一定是相交直线C不可能是平行直线 D不可能是相交直线3如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()4(2010全国)直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC

3、90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30 B45C60 D905下列命题：空间不同三点确定一个平面；有三个公共点的两个平面必重合；空间两两相交的三条直线确定一个平面；三角形是平面图形；平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；垂直于同一直线的两直线平行；一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；两组对边相等的四边形是平行四边形其中正确的命题是_(填序号)探究点一平面的基本性质例1如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AEEBCFFB21，CGGD31，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH.(1)求AHHD；(2)求证：EH、

4、FG、BD三线共点变式迁移1如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O.求证：B、D、O三点共线探究点二异面直线所成的角例2(2009全国)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()A. B. C. D.变式迁移2(2011淮南月考)在空间四边形ABCD中，已知AD1，BC，且ADBC，对角线BD，AC，求AC和BD所成的角转化与化归思想的应用例(12分)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD交于点O，PO平面AB

5、CD，PB与平面ABCD所成角为60.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值多角度审题对(1)只需求出高PO，易得体积；对(2)可利用定义，过E点作PA的平行线，构造三角形再求解【答题模板】解(1)在四棱锥PABCD中，PO平面ABCD，PBO是PB与平面ABCD所成的角，即PBO60，2分在RtAOB中，BOABsin 301，又POOB，POBOtan 60，底面菱形的面积S2222，四棱锥PABCD的体积VPABCD22.6分(2)取AB的中点F，连接EF，DF，E为PB中点，EFPA，DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角)8分在RtAOB

6、中，AOABcos 30，在RtPOA中，PA，EF.在正三角形ABD和正三角形PDB中，DFDE，由余弦定理得cosDEF10分.所以异面直线DE与PA所成角的余弦值为.12分【突破思维障碍】求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往将角的顶点取在其中的一条直线上，特别地，可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或异面线段的端点总之，顶点的选择要与已知量有关，以便于计算，具体步骤如下：(1)利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位

7、置上；(2)证明作出的角即为所求角；(3)利用三角形来求解，异面直线所成角的范围是(0，90【易错点剖析】1求异面直线所成的角时，仅指明哪个角，而不进行证明2忘记异面直线所成角的范围，余弦值回答为负值1利用平面基本性质证明“线共点”或“点共线”问题：(1)证明共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上，有时也可将问题转化为证明三点共线(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线2异面直线的判定方法：(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内(2)反证法：用此方法可以证明两直线是异

8、面直线3求异面直线所成的角的步骤：(1)一般是用平移法(可以借助三角形的中位线、平行四边形等)作出异面直线的夹角；(2)证明作出的角就是所求的角；(3)利用条件求出这个角；(4)如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A异面 B相交C平行 D异面或相交2给出下列命题：若平面上的直线a与平面上的直线b为异面直线，直线c是与的交线，那么c至多与a、b中的一条相交；若直线a与b异面，直线b与c异面，则直线a与c异面；一定存在平面同时和异面直线a、b都平行其中

9、正确的命题为()A B C D3(2011宁德月考)如图所示，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为()A90 B60 C45 D04(2009全国)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A. B. C. D.5(2011三明模拟)正四棱锥SABCD的侧棱长为，底面边长为，E为SA的中点，则异面直线BE和SC所成的角为()A30 B45 C60 D90二、填空题(每小题4分，共12分)6一个正方

10、体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD.则正确结论的序号是_7(2009四川)如图所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_8如图所示，正四面体PABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为_三、解答题(共38分)9(12分)(2011温州月考)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点10(12分)在棱长为a的正方体ABCDA1B

11、1C1D1中，P，Q，R分别是棱CC1，A1D1，A1B1的中点，画出过这三点的截面，并求这个截面的周长11(14分)(2011舟山模拟)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E为AB的中点(1)求证：AC平面BDD1；(2)求异面直线BD1与CE所成角的余弦值(3)求点B到平面A1EC的距离学案42空间点、线、面之间的位置关系自主梳理1两点不在一条直线上一条2.(1)平行相交(2)锐角或直角3.平行相交在平面内4平行相交5.同一条直线6.相等或互补自我检测1Da，c都与直线b异面，并不能确定直线a，c的关系2Ca，b是异面直线，直线c直线a.因而cD b，否则，若cb，则ab与已知

12、矛盾，因而cDb.3CA中PQRS；B中RSPQ；D中RS和PQ相交4C将直三棱柱ABCA1B1C1补成如图所示的几何体由已知易知：该几何体为正方体连接C1D，则C1DBA1.异面直线BA1与AC1所成的角为AC1D(或补角)，在等边AC1D中，AC1D60.5课堂活动区例1解题导引证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线，点看作是两平面的公共点，由公理3得证(1)解2，EFAC.EF平面ACD.而EF平面EFGH，且平面EFGH平面ACDGH，EFGH.而EFAC，ACGH.3，即AHHD31.(2)证明EFGH，且，EFGH，四边形EFGH为梯形令EH

13、FGP，则PEH，而EH平面ABD，PFG，FG平面BCD，平面ABD平面BCDBD，PBD.EH、FG、BD三线共点变式迁移1证明EAB，HAD，E平面ABD，H平面ABD.EH平面ABD.EHFGO，O平面ABD.同理可证O平面BCD，O平面ABD平面BCD，即OBD，B、D、O三点共线例2解题导引高考中对异面直线所成角的考查，一般出现在综合题的某一步，求异面直线所成角的一般步骤为：(1)平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角(3)寻找：在

14、立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之(4)取舍：因为异面直线所成角的取值范围是090，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角D如图，A1D平面ABC，且D为BC的中点，设三棱柱的各棱长为1，则AD，由A1D平面ABC知A1D，RtA1BD中，易求A1B.CC1AA1，AB与AA1所成的角即为AB与CC1所成的角在A1BA中，由余弦定理可知cosA1AB.AB与CC1所成的角的余弦值为.变式迁移2解如图所示，分别取AD、CD、AB、BD的中点E、F、G、H，连接EF、FH、HG、GE、GF.由三角形的中位线定理知，EFAC，且EF，GEBD，且GE.GE和EF所成的锐角

15、(或直角)就是AC和BD所成的角同理，GHAD，HFBC.GH，HF，又ADBC，GHF90，GF2GH2HF21.在EFG中，EG2EF21GF2，GEF90，即AC和BD所成的角为90.课后练习区1D2C错，c可与a、b都相交；错，因为a、c可能相交也可能平行；正确，例如过异面直线a、b的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即可满足条件3B将三角形折成三棱锥，如图所示，HG与IJ为一对异面直线，过D分别作HG与IJ的平行线，因GHDF，IJAD，所以ADF为所求，因此HG与IJ所成角为60.4C如图所示，连接A1B，则A1BC D1故异面直线BE与CD1所成的角即为BE与A1B所成的角设AB

16、a，则A1Ea，A1Ba，BEa.A1BE中，由余弦定理得cosA1BE.5C设AC中点为O，则OESC，连接BO，则BEO(或其补角)即为异面直线BE和SC所成的角，EOSC，BOBD，在SAB中，cos A，BE.在BEO中，cosBEO，BEO60.6解析把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，易知ABEF，ABCM，EF与MN异面，MNCD，故正确790解析延长A1B1至D，使A1B1B1D，则AB1BD，MBD就是直线AB1和BM所成的角设三棱柱的各条棱长为2，则BM，BD2，C1D2A1D2A1C2A1DA1C1cos 601642412.DM2C1D2C1M213，co

17、sDBM0，DBM90.8.解析如图，取PB中点N，连接CN、MN.CMN为PA与CM所成的角(或补角)，设PA2，则CM，MN1，CN.cosCMN.9证明(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B，E、F分别是AB和AA1的中点，EFA1B，且EFA1B，(2分)又A1D1綊BC，四边形A1BCD1是平行四边形，A1BCD1，EFCD1，EF与CD1确定一个平面，E，F，C，D1，即E，C，D1，F四点共面(6分)(2)由(1)知EFCD1，且EFCD1，四边形CD1FE是梯形，CE与D1F必相交，设交点为P，(8分)则PCE平面ABCD，且PD1F平面A1ADD1，P平面ABCD且P平面A

18、1ADD1.(10分)又平面ABCD平面A1ADD1AD，PAD，CE，D1F，DA三线共点(12分)10解如图所示，连接QR并延长，分别与C1B1，C1D1的延长线交于E，F两点连接EP交BB1于M点，连接FP交DD1于N点再连接RM，QN，则五边形PMRQN为过三点P，Q，R的截面(3分)由Q，R分别是边A1D1，A1B1的中点，知QRA1ERB1，(6分)B1EQA1a，由EB1MEC1P，知EMEPEB1EC113，(9分)PMEPa，同理PNPMa，易求RMQNa，QRa，五边形PMRQN的周长为a.(12分)11(1)证明由已知有D1D平面ABCD得ACD1D，又由ABCD是正方形，得ACBD，D1D与BD相交，AC平面BDD1.(4分)(2)解延长DC至G，使CGEB，连接BG、D1G，CG綊EB，四边形EBGC是平行四边形BGEC.D1BG就是异面直线BD1与CE所成的角(6分)在D1BG中，D1B2，BG，D1G.cosD1BG.异面直线BD1与CE所成角的余弦值是.(8分)(3)解连接A1B，A1AECBE，A1ECE.又A1C2，点E到A1C的距离d.SA1ECA1Cd，SA1EBEBA1A1.(11分)又VBA1ECVCA1EB，设点B到平面A1EC的距离为h，SA1EChSA1EBCB，h2，h.点B到平面A1EC的距离为.(14分)