精修版高中数学选修45人教A版练习：第二讲 复　习　课 Word版含解析

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1、精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理复复习习课课整合整合网络构建网络构建警示警示易错提醒易错提醒1比较法的一个易错点比较法的一个易错点忽略讨论导致错误忽略讨论导致错误， 当作差所得的结果当作差所得的结果“正负不明正负不明”时时， 应注意应注意分类讨论分类讨论2分析法和综合法的易错点分析法和综合法的易错点对证明方法不理解导致证明错误对证明方法不理解导致证明错误， 在不等式的证明过程中在不等式的证明过程中， 常因常因对分析法与综合法的证明思想不理解而导致错误对分析法与

2、综合法的证明思想不理解而导致错误3反证法与放缩法的反证法与放缩法的注意点注意点(1)反证法中对结论否定不全反证法中对结论否定不全(2)应用放缩法时放缩不恰当应用放缩法时放缩不恰当专题一专题一比较法证明不等式比较法证明不等式比较法证明不等式的大致步骤是比较法证明不等式的大致步骤是：作差作差(或商或商)恒等变形恒等变形判断判断差的符号差的符号(或商与或商与 1 的大小的大小)，其中其中，恒等变形是关键恒等变形是关键，目的在于判断目的在于判断差的符号或商与差的符号或商与 1 的大小的大小例例 1已知已知 ab0，求证：求证：2a3b32ab2a2b.证明证明： 因为因为 2a3b3(2ab2a2b)

3、(2a32ab2)(a2bb3)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)又因为又因为 ab0，所以所以 ab0，ab0，2ab0，所以所以(ab)(ab)(2ab)0，所以所以 2a3b3(2ab2a2b)0，所以所以 2a3b32ab2a2b.归纳升华归纳升华变形所用的方法要具体情况具体分析变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方可以配方、因式分解因式分解，可可运用一切恒等变形的方法运用一切恒等变形的方法变式训练变式训练已知已知 a0，b0，ab，求证求证：a6b6a4b2a2b4.证明：证明：因为因为 a6b6(a4b2a2b4)a4(a2b2)b4

4、(b2a2)(a2b2)(a4b4)(a2b2)(a2b2)(a2b2)(ab)2(ab)2(a2b2)因为因为 a0，b0，ab，所以所以(ab)20，(ab)20，a2b20，所以所以(a6b6)(a4b2a2b4)0，所以所以 a6b6a4b2a2b4.专题二专题二综合法证明不等式综合法证明不等式综合法证明不等式的思维方式是综合法证明不等式的思维方式是“顺推顺推”， 即由已知的不等式出即由已知的不等式出发发，逐步推出其必要条件逐步推出其必要条件(由因导果由因导果)，最后推导出所要证明的不等式最后推导出所要证明的不等式成立成立证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式证明时要注意的

5、是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知已知或已证或已证)成立的条件往往不同成立的条件往往不同， 应用时要先应用时要先考虑是否具备应有的条件考虑是否具备应有的条件，避免错误避免错误例例 2设设 a，b，c 均为正数均为正数，且且 abc1，求证：求证：a2bb2cc2a1.证明：证明：因为因为a2bb2a，b2cc2b，c2aa2c，故故a2bb2cc2a(abc)2(abc)，则则a2bb2cc2aabc.所以所以a2bb2cc2a1.归纳升华归纳升华用综合法证明不等式用综合法证明不等式， 可利用已经证过的不等式作为基础可利用已经证过的不等式作为基础， 再运再运用用不等式的性质推导出所要证

6、的不等式不等式的性质推导出所要证的不等式变式训练变式训练设设 a0，b0，ab1，求证：求证：1a1b1ab8.证明：证明：因为因为 a0，b0，ab1，所以所以 1ab2 ab， ab12，所以所以1ab4.所以所以1a1b1ab(ab)1a1b 1ab2 ab21ab48，所以所以1a1b1ab8，当且仅当当且仅当 ab12时时，等号成立等号成立专题三专题三用分析法证明不等式用分析法证明不等式分析法证明不等式的思维方法是分析法证明不等式的思维方法是“逆推逆推”， 即由待证的不等式出即由待证的不等式出发发，逐步逆求它要成立的充分条件逐步逆求它要成立的充分条件(执果索因执果索因)，最后得到的充

7、分条件最后得到的充分条件是已知是已知(或已证或已证)的不等式的不等式当要证的不等式不知从何入手时当要证的不等式不知从何入手时， 可考虑用分析法去证明可考虑用分析法去证明， 特别特别是对于条件简单而结论复杂的题目是对于条件简单而结论复杂的题目，往往更为有效往往更为有效例例 3求证：求证： 3 6 4 5.证明：证明：欲证欲证 3 6 4 5，只需证只需证( 3 6)2( 4 5)2，只需证只需证 96 294 5，即证即证 6 24 5.只需证只需证(6 2)2(4 5)2，即证即证 7280.上式明显成立上式明显成立，所以原不等式成立所以原不等式成立归纳升归纳升华华1分析法的格式是固定的分析法

8、的格式是固定的，但是必须注意推演过程中的每一步但是必须注意推演过程中的每一步都是寻求相应结论成立的充分条件都是寻求相应结论成立的充分条件2分析法是分析法是“执果索因执果索因”，逐步寻求上一步成立的充分条件逐步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是而综合法是“由因导果由因导果”， 逐步推导出不等式成立的必要条件逐步推导出不等式成立的必要条件， 两者两者是对立统一的是对立统一的一般来说一般来说，对于较复杂的不等式对于较复杂的不等式，直接用综合法往往直接用综合法往往不易入手不易入手， 因此通常用分析法探索证题途径因此通常用分析法探索证题途径， 然后用综合法加以证明然后用综合法加以证明，所以分析法和综合

9、法可结合使用所以分析法和综合法可结合使用变式训练变式训练已知已知 ab0，求证：求证： a b ab.证明：证明：要证要证 a b ab，即证即证 a b ab，只需证只需证 ab2 （ab）bab，只需证只需证 02 （ab）b.由由 ab0 知最后一个不等式成立知最后一个不等式成立，故原不等式成立故原不等式成立专专题四题四用反证法证明不等式用反证法证明不等式反证法常用于直接证明困难或结论以否定形式出现的命题反证法常用于直接证明困难或结论以否定形式出现的命题， 涉及涉及“都是都是”“”“都不是都不是”“”“至少至少”“”“至多至多”等形式的命题等形式的命题例例 4若若 a3b32，求证：求证

10、：ab2.证明：证明：法一：法一：假设假设 ab2，则则 a2b，故故 2a3b3(2b)3b3，即即 2812b6b2，即即(b1)20，这不可能这不可能，假设不成立假设不成立，从而从而 ab2.法二：法二：假设假设 ab2，则则(ab)3a3b33ab(ab)8.由由 a3b32，得得 3ab(ab)6.故故 ab(ab)2.又又 a3b3(ab)(a2abb2)2，所以所以 ab(ab)(ab)(a2abb2)，所以所以 a2abb2ab，即即(ab)20，这不可能这不可能，假设不成立假设不成立，故故 ab2.归纳升华归纳升华反证法是从否定结论出发反证法是从否定结论出发，经过推理论证经过

11、推理论证，得出矛盾得出矛盾，从而肯定从而肯定原命题正确的证明方法原命题正确的证明方法，其步骤为：其步骤为：(1)分清命题的条件和结论分清命题的条件和结论，作作出与命题结论相矛盾的假定命题出与命题结论相矛盾的假定命题(否定结论否定结论)(2)从假定和条件出发从假定和条件出发，应用正确的推理方法应用正确的推理方法，推出矛盾推出矛盾(3)断定产生矛盾的原因在于开始断定产生矛盾的原因在于开始所作的假设不正确所作的假设不正确， 于是原命题成立于是原命题成立， 从而间接证明了原命题为真命从而间接证明了原命题为真命题题变式训练变式训练若若 a，b，c 均为实数均为实数，且且 ax22y2，by22z3，cz

12、22x6，求证：求证：a，b，c 中至少有一个大于中至少有一个大于 0.证明：证明：假设假设 a，b，c 都不大于都不大于 0，即即 a0，b0，c0，则有则有 abc0.因因为为 abcx22y2 y22z3 z22x6 (x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)2(3)，所以所以 abc0.这与这与 abc0 矛盾矛盾，故假设不成立故假设不成立所以所以 a，b，c 中至少有一个大于中至少有一个大于 0.专题五专题五用放缩法证明不等式用放缩法证明不等式在证明不等式时在证明不等式时，有时需要舍去或添加一些有时需要舍去或添加一些项，有时需要拆项项，有时需要拆项、添项添项，

13、使不等式的一边放大或缩小使不等式的一边放大或缩小， 然后利用不等式的传递性达到证然后利用不等式的传递性达到证明的目的明的目的运用放缩法证明的关键是放缩要适当运用放缩法证明的关键是放缩要适当，既不能太大既不能太大，也不也不能太小能太小例例 5设设 a，b，cR且且 abc1，求证：求证：11ab11bc11ca1.证明：证明：设设 ax3，by3，cz3且且 x，y，zR.由题意得：由题意得：xyz1，所以所以 1abxyzx3y3.所以所以 x3y3(x2yxy2)x2(xy)y2(yx)(xy)2(xy)0.所以所以 x3y3x2yxy2.所以所以 1abxyzx3y3xyzxy(xy)xy

14、(xyz)所以所以11ab1xy（xyz）zxyz.同理同理，可得可得11bcxxyz，11cayxyz，三式相加得三式相加得11ab11bc11caxyzxyz1.所以命题得证所以命题得证归纳升华归纳升华用放缩法证明不等式时用放缩法证明不等式时， 常见的放缩依据或技巧是不等式的传递常见的放缩依据或技巧是不等式的传递性性缩小分母缩小分母，扩大分子扩大分子，分式值增大分式值增大；缩小分子缩小分子，扩大分母扩大分母，分式分式值减小值减小；全量不小于部分全量不小于部分；每次缩小其和变小每次缩小其和变小，但需大于所求但需大于所求；每一每一次扩大其和变大次扩大其和变大， 但需小于所求但需小于所求， 即不

15、能放缩不够或放缩过头即不能放缩不够或放缩过头 同时同时，放缩有时需便于求和放缩有时需便于求和变式训练变式训练若若 n 是大于是大于 1 的自然数的自然数， 求证求证1121221321n22.证明：证明：因为因为1k21k（k1）1k11k(k2，3，4，n)，所以所以1121221321n2111121231（n1）n111112 1213 1n11n 21n2，故故1121221321n22.专题六专题六函数与方程思想函数与方程思想函数与方程思想是先构造辅助函数函数与方程思想是先构造辅助函数， 将所给问题转化为函数的性将所给问题转化为函数的性质质(如单调性如单调性、奇偶性奇偶性、最值等最值

16、等)问题问题运用此方法要能够根据问题的运用此方法要能够根据问题的结构特征恰当地构造函数结构特征恰当地构造函数，准确地利用函数的性质解决问题准确地利用函数的性质解决问题例例 6已知已知 a，b 是正实数是正实数，且且 ab1，求证求证1abab174.证明：证明：因为因为 a，b 都是正都是正实数实数，ab1，所以所以 0abab2214.令令 f(x)x1x(0 x1)，设设 0 x1x21，则则 f(x1)f(x2)1x1x11x2x2(x1x2)11x1x2.因为因为 0 x1x21，所以所以 x1x20，0 x1x21.所以所以 11x1x20.所以所以 f(x1)f(x2)0，所以所以

17、 f(x1)f(x2)因此函数因此函数 f(x)在在(0，1)上单调递减上单调递减所以当所以当 x0，14 时时，f(x)minf14 174，令令 xab，得得1abab174.变式训练变式训练已知已知 a，b，c 为三角形的三条边为三角形的三条边，求证求证a1a，b1b，c1c也可以构成一个三角形也可以构成一个三角形证明：证明：设设 f(x)x1x，x0，)，0 x1x2，则则 f(x2)f(x1)x21x2x11x1x2x1（1x1） （1x2）0.故故 f(x)在在0，)上为单调增函数上为单调增函数因为因为 a，b，c 为三角形的三条边为三角形的三条边，所以所以 abc.因为因为c1cab1（ab）a1abb1aba1ab1b，所以所以c1ca1ab1b，同理可证同理可证a1ab1bc1c，b1bc1ca1a，所以以所以以a1a，b1b，c1c为边可以构成一个三角形为边可以构成一个三角形最新精品资料