人教版 高中数学 选修22学案：第一章 1.1 1.11.1.2　变化率问题　导数的概念

《人教版 高中数学 选修22学案：第一章 1.1 1.11.1.2　变化率问题　导数的概念》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版 高中数学 选修22学案：第一章 1.1 1.11.1.2　变化率问题　导数的概念（10页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、2019 学年人教版高中数学选修精品资料 11.1&1.1.2 变化率问题 导数的概念 (1)平均变化率的定义是什么？平均变化率的几何意义是什么？平均变化率的定义是什么？平均变化率的几何意义是什么？ (2)瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？ (3)如何用定义求函数在某一点处的导数？如何用定义求函数在某一点处的导数？ 新知初探新知初探 1函数函数 yf(x)从从 x1到到 x2的平均变化率的平均变化率 (1)定义式：定义式：yxf x2 f x1 x2x1. (2)实质：实质：函数值函数值的改变量与的改变量与自变量自变量的改变量之比的改变量之

2、比 (3)意义：刻画函数值在区间意义：刻画函数值在区间x1，x2上变化的上变化的快慢快慢 (4)平均变化率的几何意义：平均变化率的几何意义： 设设 A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)是曲线是曲线 yf(x)上任意不同的两点，上任意不同的两点，函数函数yf(x)的平均变化率的平均变化率yxf x2 f x1 x2x1f x1x f x1 x为割线为割线AB 的斜率，如图所示的斜率，如图所示 点睛点睛 x 是变量是变量 x2在在 x1处的改变量， 且处的改变量， 且 x2是是 x1附近的任意附近的任意一点，即一点，即 xx2x10，但，但 x 可以为正，也可以为负可以为正，也可以为负 2函

3、数函数 yf(x)在在 xx0处的瞬时变化率处的瞬时变化率 定义式定义式 limx0 yxlimx0 f x0 x f x0 x 实质实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于 0 时，时，平均变化率平均变化率趋近的值趋近的值 作用作用 刻画函数在刻画函数在某一点某一点处变化的快慢处变化的快慢 点睛点睛 “x 无限趋近于无限趋近于 0”的含义的含义 x 趋于趋于 0 的距离要多近有多近， 即的距离要多近有多近， 即|x0|可以小于给定的任意小的正数， 且始终可以小于给定的任意小的正数， 且始终 x0. 3导数的概念导数的概念 定义式定义式 limx0 yxlim

4、x0 f x0 x f x0 x 预习课本 P26，思考并完成下列问题 记法记法 f(x0)或或 y|xx0 实质实质 函数函数 yf(x)在在 xx0处的导数就是处的导数就是 yf(x)在在 xx0处的处的瞬时变化率瞬时变化率 小试身手小试身手 1判断判断(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”“”) (1)函数函数 yf(x)在在 xx0处的导数值与处的导数值与 x 值的正、负无关值的正、负无关( ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区瞬时变化率是刻画某函数值在区间间x1，x2上变化快慢的物理量上变化快慢的物理量( ) (3)在导数的定义中，在导数的定义中，x，y 都不可能为零都

5、不可能为零( ) 答案答案：(1) (2) (3) 2质点运动规律为质点运动规律为 s(t)t23，则从，则从 3 到到 3t 的平均速度为的平均速度为( ) A6t B6t9t C3t D9t 答案：答案：A 3已知函数已知函数 f(x)2x24 的图象上两点的图象上两点 A，B，且，且 xA1，xB1.1，则函数，则函数 f(x)从从 A 点点到到 B 点的平均变化率为点的平均变化率为( ) A4 B4x C4.2 D4.02 答案：答案：C 4在在 f(x0)limx0 f x0 x f x0 x中，中，x 不可能为不可能为( ) A大于大于 0 B小于小于 0 C等于等于 0 D大于大

6、于 0 或小于或小于 0 答案：答案：C 求函数的平均变化率求函数的平均变化率 典例典例 求函数求函数 f(x)x2在在 x1,2,3 附近的平均变化率，取附近的平均变化率，取 x 的值为的值为13，哪一点附近的，哪一点附近的平均变化率最大？平均变化率最大？ 解解 在在 x1 附近的平均变化率为附近的平均变化率为 k1f 1x f 1 x 1x 21x2x； 在在 x2 附近的平均变化率为附近的平均变化率为 k2f 2x f 2 x 2x 222x4x； 在在 x3 附近的平均变化率为附近的平均变化率为 k3f 3x f 3 x 3x 232x6x； 若若 x13，则，则 k121373，k2

7、413133， k3613193， 由于由于 k1k2k3， 故在故在 x3 附近的平均变化率最大附近的平均变化率最大 求平均变化率的步骤求平均变化率的步骤 (1)先计算函数值的改变量先计算函数值的改变量 yf(x1)f(x0) (2)再计算自变量的改变量再计算自变量的改变量 xx1x0. (3)求平均变化率求平均变化率yxf x1 f x0 x1x0. 活学活用活学活用 求函数求函数 yx3从从 x0到到 x0 x 之间的平均变化率，并计算当之间的平均变化率，并计算当 x01，x12时平均变化率时平均变化率的值的值 解：解：当自变量从当自变量从 x0变化到变化到 x0 x 时，函数的平均变化

8、率为时，函数的平均变化率为yxf x0 x f x0 x x0 x 3x30 x 3x203x0 x(x)2， 当当 x01，x12时平均变化率的值为时平均变化率的值为 3123112 122194. 求瞬时速度求瞬时速度 典典例例 一做直线运动的物体，其位移一做直线运动的物体，其位移 s 与时间与时间 t 的关系是的关系是 s(t)3tt2. (1)求此物体的初速度；求此物体的初速度； (2)求此物体在求此物体在 t2 时的瞬时速度时的瞬时速度 解解 (1)当当 t0 时的速度为初速度在时的速度为初速度在 0 时刻取一时间段时刻取一时间段0,0t，即，即 0，t， ss(t)s(0)3t(t

9、)2(3002)3t(t)2， st3t t 2t3t，li mt0 stli mt0 (3t)3. 物体的初速度为物体的初速度为 3. (2)取一时间段取一时间段2,2t， ss(2t)s(2) 3(2t)(2t)2(3222) t(t)2， stt t 2t1t， li mt0 stli mt0 (1t)1， 当当 t2 时时，物体的瞬时速度为，物体的瞬时速度为1. 1求运动物体瞬时速度的三个步骤求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量求时间改变量 t 和位移改变量和位移改变量 ss(t0t)s(t0) (2)求平均速度求平均速度 v st； (3)求瞬时速度，当求瞬时速度，当 t

10、 无限趋近于无限趋近于 0 时，时，st无限趋近于常数无限趋近于常数 v，即为瞬时速度，即为瞬时速度 2求求yx(当当 x 无限趋近于无限趋近于 0 时时)的极限的方法的极限的方法 (1)在极限表达式中，可把在极限表达式中，可把 x 作为一个数来参与运算；作为一个数来参与运算； (2)求出求出yx的表达式后，的表达式后，x 无限趋近无限趋近于于 0 就是令就是令 x0，求出结果即可，求出结果即可 活学活用活学活用 一木块沿某一斜面自由滑下， 测得下滑的水平距离一木块沿某一斜面自由滑下， 测得下滑的水平距离 s 与时间与时间 t 之间的函数关系为之间的函数关系为 s12t2，则则 t2 时，此木

11、块在水平方向的瞬时速度为时，此木块在水平方向的瞬时速度为( ) A2 B1 C.12 D.14 解析：解析：选选 A st12 2t 21222t12t2， li mt0 stli mt0 12t2 2，故选，故选 A. 求函数在某点处的导数求函数在某点处的导数 典例典例 (1)函数函数 y x在在 x1 处的导数为处的导数为_ (2)如果一个质点由定点如果一个质点由定点 A 开始运动，在时间开始运动，在时间 t 的位移函数为的位移函数为 yf(t)t33， 当当 t14，t0.01 时，求时，求 y 和比值和比值yt； 求求 t14 时的导数时的导数 解析解析 (1)y 1x1， yx1x1

12、x11x1， limx0 11x112，所以，所以 y|x112. 答案：答案：(1)12 (2)解：解：yf(t1t)f(t1)3t21t3t1(t)2(t)3，故当，故当 t14，t0.01 时，时，y0.481 201，yt48.120 1. li mt0 ytli mt03t213t1 t(t)23t2148， 故函数故函数 yt33 在在 t14 处的导数是处的导数是 48， 即即 y|t1448. 1用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 (1)求函数的求函数的增量增量 yf(x0 x)f(x0)； (2)求平均变化率求平均变化率yxf x0

13、x f x0 x； (3)求极限求极限 limx0 yx. 2瞬时变化率的变形形式瞬时变化率的变形形式 limx0 f x0 x f x0 x limx0 f x0 x f x0 x limx0 f x0nx f x0 nx limx0 f x0 x f x0 x 2x f(x0) 活学活用活学活用 求函数求函数 yx1x在在 x1 处的导数处的导数 解：解： 因为因为 y(1x)11x()11 xx1x， 所以， 所以yxxx1xx111x. 当当 x0 时，时，yx2， 所以函数所以函数 yx1x在在 x1 处的导数为处的导数为 2. 层级一层级一 学业水平达标学业水平达标 1如果一个函数

14、的瞬时变化率处处为如果一个函数的瞬时变化率处处为 0，则这个函数的图象是，则这个函数的图象是( ) A圆圆 B抛物线抛物线 C椭圆椭圆 D直线直线 解析：解析：选选 D 当当 f(x)b 时，瞬时变化率时，瞬时变化率 limx0 yxli mx0 bbx0，所以，所以 f(x)的图象的图象为一条直线为一条直线 2设函数设函数 yf(x)x21，当自变量，当自变量 x 由由 1 变为变为 1.1 时，函数的平均变化率为时，函数的平均变化率为( ) A2.1 B1.1 C2 D0 解析：解析：选选 A yxf 1.1 f 1 1.110.210.12.1. 3设函数设函数 f(x)在点在点 x0附

15、近有定义，且有附近有定义，且有 f(x0 x)f(x0)axb(x)2(a，b 为常数为常数)，则则( ) Af(x)a Bf(x)b Cf(x0)a Df(x0)b 解析：解析：选选 C f(x0)li mx0 f x0 x f x0 x li mx0 (abx)a. 4如果质点如果质点 A 按照规律按照规律 s3t2运动，则在运动，则在 t03 时的瞬时速度为时的瞬时速度为( ) A6 B18 C54 D81 解析：解析：选选 B s(t)3t2，t03， ss(t0t)s(t0)3(3t)23 3218t3(t)2.st183t.li mx0 stli mx0 (183t)18，故应选，

16、故应选 B. 5已知已知 f(x)x23x，则，则 f(0)( ) Ax3 B(x)23x C3 D0 解析：解析：选选 C f(0)li mx0 0 x 23 0 x 0230 x li mx0 x 23xxli mx0 (x3)3.故选故选 C. 6设设 f(x)ax4，若，若 f(1)2，则，则 a_. 解析：解析：f(1)li mx0 f 1x f 1 x li mx0 a 1x 4 a4 xa，a2. 答案：答案：2 7.汽车行驶的路程汽车行驶的路程 s 和时间和时间 t 之间的函数图象如图，在时间段之间的函数图象如图，在时间段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分别为上的

17、平均速度分别为 v1， v2， v3，则三者的大小关系，则三者的大小关系为为_ 解析：解析： v1kOA， v2kAB， v3kBC， 由图象知由图象知 kOAkABkBC. 答案：答案： v1 v2 v3 8球的半径从球的半径从 1 增加到增加到 2 时，球的体积平均膨胀率为时，球的体积平均膨胀率为_ 解析：解析：y43234313283， yx28321283. 答案：答案：283 9质点按规律质点按规律 s(t)at21 做直线运动做直线运动(s 单位：单位：m，t 单位：单位：s)若质点在若质点在 t2 时的瞬时的瞬时速度为时速度为 8 m/s，求常数，求常数 a 的值的值 解：解：s

18、s(2t)s(2)a(2t)21(a221)4ata(t)2，st4aat， 在在 t2 时，瞬时速度为时，瞬时速度为li mx0 st4a,4a8，a2. 10已知函数已知函数 f(x) 1x，x0，1x2，x0求求 f(4) f(1)的值的值 解：解：当当 x4 时，时，y14x14 1214x4x22 4x x2 4x 4x2 . yx12 4x 4x2 . li mx0 yxli mx0 12 4x 4x2 12 4 42 116. f(4)116. 当当 x1 时，时，yxf 1x f 1 x 1 1x 21 1 2xx2， 由导数的定义，得由导数的定义，得 f(1)li mx0 (

19、x2)2， f(4) f(1)116(2)18. 层级二层级二 应试能力达标应试能力达标 1已知函数已知函数 f(x)2x24 的图象上一点的图象上一点(1，2)及邻近一点及邻近一点(1x，2y)，则，则yx等等于于( ) A4 B4x C42x D42(x)2 解析：解析：选选 C yxf 1x f 1 x2 1x 242x2 x 24xx2x4. 2.甲、乙两人走过的路程甲、乙两人走过的路程 s1(t)，s2(t)与时间与时间 t 的关系如图，则在的关系如图，则在0，t0这个时间段内，甲、乙两人的平均速度这个时间段内，甲、乙两人的平均速度 v甲甲，v乙乙的关系是的关系是( ) Av甲甲v乙

20、乙 Bv甲甲v乙乙 Cv甲甲v乙乙 D大小关系不确定大小关系不确定 解析：解析：选选 B 设直线设直线 AC，BC 的斜率分别为的斜率分别为 kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在在0， t0上的平均变化率上的平均变化率 v甲甲kAC， s2(t)在在0， t0上的平均变化率上的平均变化率 v乙乙kBC.因为因为 kACkBC，所以所以 v甲甲v乙乙 3若可导函数若可导函数 f(x)的图象过原点，且满足的图象过原点，且满足li mx0 f x x1，则，则 f(0)( ) A2 B1 C1 D2 解析：解析：选选 B f(x)图象过原点，图象过原点，f

21、(0)0， f(0)li mx0 f 0 x f 0 xli mx0 f x x1， 选选 B. 4已知已知 f(x)2x，且，且 f(m)12，则，则 m 的值等于的值等于( ) A4 B2 C2 D 2 解析：解析：选选 D f(x)limx0 f xx f x x2x2，于是有，于是有2m212，m24，解得，解得m 2. 5已知函数已知函数 f(x)x2x 在区间在区间t,1上的平均变化率为上的平均变化率为 2，则，则 t_. 解析：解析：yf(1)f(t)(121)(t2t)t2t， yxt2t1tt. 又又yx2，t2. 答案：答案：2 6一物体的运动方程为一物体的运动方程为 s7

22、t28，则其在，则其在 t_时的瞬时速度为时的瞬时速度为 1. 解析：解析：st7 t0t 28 7t208 t7t14t0， 当当li mx0 (7t14t0)1 时，时，tt0114. 答案：答案：114 7枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是 5.0105 m/s2，枪弹从，枪弹从枪口射出时所用时间为枪口射出时所用时间为 1.6103 s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度，求枪弹射出枪口时的瞬时速度 解：解：位移公式为位移公式为 s12at2， s12a(t0t)212at20at0t12a(t)2， stat012at，li

23、 mx0 stli mx0 at012at at0， 已知已知 a5.0105m/s2，t01.6 103s，at0800 m/s. 所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为 800 m/s. 8设函数设函数 f(x)在在 x0处可导，求下列各式的值处可导，求下列各式的值 (1) li mx0 f x0mx f x0 x； (2li mx0 f x04x f x05x x. 解：解：(1) li mx0 f x0mx f x0 x mli mx0 f x0mx f x0 mxmf(x0) (2)原式原式 li mx0 f x04x f x0 f x05x f x0 x li mx0 f x04x f x0 xli mx0 f x05x f x0 x 4li mx0 f x04x f x0 4x5li mx0 f x05x f x0 5x 4f(x0)5f(x0)f(x0)