[优秀毕业设计精品]高中数学函教数学的思考和对策

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1、教育硕士专业学位论文高中数学函数教学的思考和对策On the teaching of Function at High School研 究 生：Postgraduate: 指导教师：Tutor:二00七年三月March, 2007- 51 -摘要 函数概念是近、现代数学的基石，是高中数学教学的主线，所以对高中生函数理解的调查研究可以作为数学概念理解研究的突破口目前国内外关于函数概念学习的研究虽然已取得了多方面的成果，但是学生对函数概念理解困难还是个不争的事实，所以许多研究仍待进一步发展为了了解高中生对函数这一重要概念的理解状况，设计二份调查问卷，问题的选择是笔者在十余年的省一级重点中学教学经验

2、的基础上，分析高中数学的课程标准和教学要求，参照国内外专家编制的有关函数概念研究的测试题，按本研究的目的精心挑选和改编而成利用重测法及用公式分半信度法估计测验的信度，测出这份问卷可信度高调查的对象在两所中学随机选取，其中900人做问卷一，另外309人做问卷二，样本容量较大，较具代表性针对问卷中出现的典型错误，为进一步摸清学生的思维活动过程，又根据学生数学成绩及答卷的典型性抽取6位学生进行访谈实证调查的数据用Excel的统计函数进行平均数检验、方差分析和z检验，并绘制出统计图同时结合访谈资料，得出研究结果： 高中生对数学学习不自信不同年级的学生对函数的认知水平呈迂回上升的形式，高三最高，其次是高

3、一，最低是高二但高三学生的函数测试成绩离散程度最大，分布最广对数学不感兴趣的比例，高一、高二、高三呈明显递增趋势高中生普遍认为从高一开始感觉数学难学 高中生忽视对函数本质特征的认识和理解，存在过分形式化的倾向在判断一个对象是否为函数时更多的学生是根据函数概念在头脑中的表象，他们对函数本质特征的认识非常匮乏当教师讲解某一个新问题时，学生更希望得知的是“具体如何去解这种问题”高中生对生活中的函数关系不敏感当函数关系以一个较为熟悉的生活现象出现时，学生对做出的答案显得明显不够自信较多的学生认识不到存在于生活中的函数关系，用函数解决生活中问题的水平较低高中生函数概念理解困难的原因：函数概念本身的复杂性

4、，初高中教学衔接的失败，学生思维发展水平和数学语言理解能力不强，教学过程中某些环节不当等了解了高中生在学习函数概念时的认知困难，这为教师提供了函数教学的第一手材料，在今后的教学中应注意运用以下教学对策：（一）合理铺垫，循序渐进，促进初高中的函数教学良好衔接 （二）借鉴函数概念发展的历史让学生明白函数概念发展的来龙去脉，学习数学家思考问题的方法和解决问题的途径，借鉴他们的经验和其中蕴涵的数学思想，从而更好地理解函数概念的本质（三）运用元认知提问，真正体现教师的主导作用，真正发挥学生的主体意识；鼓励学生对学习过程进行反思，加强元认知教学（四）“淡化形式，注重实质”，深刻把握函数概念的本质属性（五）

5、重视不同表示法之间的转换，正确理解和掌握函数性质，加深对函数思想的认识（六）重视函数概念的实际应用在教学中把概念应用到一些具体的实例中，与具体情境联系起来关键词高中数学，函数教学，理解困难，教学对策ABSTRACTThe concept of Function is the fundament in the contemporary mathematics and also a most important teaching content in the senior math. Although a variety of achievements have been made recentl

6、y in the research of the concept learning of Function at home and abroad, theres still a fact that students have difficulty understanding its concept. Therefore, theres much to be studied further.Two questionnaires are designed to get the information how students grasp the essential concept. The que

7、stions are made according to my teaching experience of over a decade in a province-class No. one key middle school, analyzing the curriculum standard and teaching requirements and referring to the related test problems provided by the experts from home and abroad. As a result of adopting the method

8、of Retesting and Half-split Reliability used in teaching result analysis, theres a high reliability.The objects investigated are chosen randomly from two middle schools, 900 of whom are asked to finish the first set, 309 of whom to do the second one. With a big capacity, it should be representative.

9、 Focused on typical mistakes, six students are chosen to be interviewed according to their different levels of testing for a better understanding of their thinking and activity process. The data are tested with Group Means, Analysis of Variance and Notability Test and the One Sample ChiSquare Test i

10、n Excel and a statistical graph is also made available. Conclusions are reached through a qualitative and quantitative analysis combined with information from interviews:1. A lack of confidence in learning. There exist the huge differences in their understanding of Function at high school level: Sen

11、iors have a best understanding of function, the junior worst. The seniors show a lowest interest in learning the function; they also demonstrate an upward tendency in their indifference toward Function. Senior students generally regard it hard to learn maths from the very start of senior one. 2. An

12、ignorance of cognition and understanding of the nature of Function. Students do not understand the nature of Function when confronted with the question of evaluating and judging what a function is. Students tend to know “how to solve the problem”, instead of reaching a true understanding what it rea

13、lly means.3. An insensitivity toward the Function matter in daily lives. Students showed great hesitation when making use of Function to solve the problems in their real life. The majority of students show great indifference to function relationship in their work and life. 4. The reasons for above m

14、entioned problems: the complication of Function concept itself; unsatisfactory transition from junior middle to senior high teaching; limit of students intellectual development; inadequate teaching methodology, etc. With the first-hand knowledge gathered from the experiment, the following strategies

15、 are proposed to tackle the cognitive difficulties rampant in learning process: a. A step-by-step method of teaching is encouraged to smooth the transition of learning Function from junior to senior middle school.b. The history of function could facilitate students understanding of Function; skills

16、and strategies adopted by other mathematicians could be made reference to for an essential understanding of the concept of Function. c. A meta-cognition method is proposed to manifest the leading role teacher play in teaching. Students subjectivity as active learners is compounded to encourage a ref

17、lection of their learning process. d. Neglect the form but emphasize the essence, the nature of the concept of Function should be understood deeply. e. A deepened understanding of Function will be achieved by paying attention to shifting methods in teaching.f. An emphasis on the application of Funct

18、ion. Function would be better understood in a more concrete situation.KEY WORDS: high school math, Teaching of Function, difficulty in comprehension, teaching strategies 目 录摘要 ABSTRACT 一 问题的提出 1（一）研究的必要性 11.函数概念是近、现代数学的基石 12.函数是高中数学教学的主线 13.高中数学新课程函数内容的变革 14.函数是高中生学习的难点 2（二）国内外相关研究 31.学生对函数的理解 32.函数

19、的教学 4（三）研究的目标 5二研究的理论基础 6（一）关于数学理解的理论 6（二）关于建构主义的学习理论 6（三）关于元认知理论 8三高中生函数学习的实证调查与分析 9（一）研究方法 9（二）问卷调查数据统计与分析 101.高中生函数认知发展水平的总体分析 102.高中生对函数定义的理解 123.高中生对函数表示方法的理解 134.高中生函数概念及性质的应用水平 14（三）访谈结果统计和分析 151.被试访谈结果初步统计和分析 152.访谈学生的学习策略典型错误分析 15（四）对调查结果的反思 161.高中生对数学学习不自信 162.高中生对函数本质特征的认识不深刻 173.高中生对生活中的

20、函数关系不敏感 174.高中生函数概念理解困难的原因分析 18四 克服高中生函数概念理解困难的教学对策 21（一）促进初高中的函数教学良好衔接 21（二）借鉴函数概念发展的历史 21（三）加强元认知教学，培养学生主动学习 22（四）“淡化形式，注重实质” 23（五）正确掌握函数的表示法和性质 24（六）重视函数概念的实际应用 26五函数教学设计案例与评析 28（一）函数的单调性教学设计 28（二）用二分法求方程的近似解教学设计 31（三）评析 35参考文献 36附录 38附录 41附录 44致 谢 46攻读学位期间发表的学术论文目录 47一 问题的提出（一）研究的必要性1. 函数概念是近、现代

21、数学的基石历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久自17世纪近代数学产生以来，函数概念一直处于数学思想的核心位置它不仅是近代数学的主要研究对象，而且自然科学的绝大部分都受到了函数关系的支配：分析学借助于刚刚诞生的函数概念，逐渐摆脱了几何的直观走上了代数化的道路，而这无论从其可操作性上，还是从其严密性上都进入了一个崭新的时代，于是分析学的许多分支诞生了，天文学、三角学、力学、物理学中的许多问题被描绘成各种各样的函数并被解决函数的出现给数学注入了新鲜血液，导致了数学科学的蓬勃发展，数学中的许多概念或由函数派生，或由函数统率，或可归之为

22、函数观点研究2. 函数是高中数学教学的主线20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学克莱因提出了一个重要的思想以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，进行充分地综合” T. J. Cooney & M. R.Wilson. 1993. Teachers thinking about functions: historical and research perspectives. In: T. A. Romberg, et. al. (eds.). Integ

23、rating Research on the Graphical Representation of Function. Hillsdale: Lawrence Erlbaum Association Publishers, 131-158.曲阜师范大学的李吉宝老师于2003年5月在数学教育学报发表题为有关函数概念教学的若干问题一文，他指出：函数内容无处不在，函数思想方法是教材体系的灵魂，它在培养学生的创新精神和应用数学知识解决实际问题的过程中，具有其它思想方法所不能及的指导作用；同时还能培养学生思维能力、运算能力、分析问题和解决问题的能力 李吉宝. 有关函数概念教学的若干问题J .数学教育学

24、报,2003,12(2):95-98因此，我们毫不夸张地说，函数是构建整个中学数学的主旋律学生对函数概念的理解和掌握还直接影响到不等式、数列、解析几何等内容的学习进一步学习的数学分析，包括极限理论、微分学、积分学、微分方程及泛函分析等课程，也都以函数作为基本概念和研究对象函数问题还是经久不衰的高考考查热点，考查内容全面（它不仅有函数知识内部的显性考查，更有与其他主干知识如数列、不等式、解析几何、导数等相结合的隐性考查）、设计新颖、形式多样、综合性强尤其函数概念、图象及性质（函数定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、对称性、反函数等）在高考中都得到重点考查 3. 高中数学新课程函数内容的变革浙江

25、省从2006年秋季开始全面实施人教版的普通高中课程标准实验教科书·数学（A版），新教材函数部分在处理方式上有较大的变化，在形式、内容和要求上与老教材均有不同主要内容包括数学1（必修）第一章集合与函数概念，第二章基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数)和第三章函数的应用数学4（必修）第一章基本初等函数（三角函数）数学选修系列1之选修1-1和数学选修系列2之选修2-2导数及其应用（如图1-1）新课程更注重实际背景和学生的感性认识在函数的概念一节，教科书（人教版）给出三个实例，物理的（炮弹发射距离）、环保的（南极臭氧层空洞的面积）、经济的（我国城镇居民恩格尔系数变化情况），先用集合与对应

26、的语言分别分析前两例中两个变量的对应关系，然后让学生仿照(1)、(2)描述第三个例子中恩格尔系数与时间（年）的关系，留给学生思考的余地然后提出思考：分析归纳以上三个实例，它们有什么共同特点？接着抽象出三个例子的共同特点，使用归纳的思想方法引出函数的概念在第二节中又用这三个例子分别说明函数的三种表示方法教材还要求结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，强调对图像特征的感受和理解，阅读部分还有用Excel绘制函数图像的内容函数的性质除了原有的单调性和奇偶性，增加了函数的最大值和最小值的概念，淡化了反函数的内容基本初等函数中除了原有的指数函数和对数函数，恢复了幂函数的内容，并强调这三种函

27、数是三类不同的函数增长模型教材还加强了函数与方程、不等式、算法等内容的横向联系，增加了借助计算器用二分法求方程的近似解，在链接中还有运用Excel进行数据拟合的内容图1-1 高中数学新课程内容主线函数 王尚志,张饴慈,李延林.课程标准的设计思路R.2006年暑假高中数学新课程国家级培训4. 函数是高中生学习的难点函数知识体系是学生进入高中首先接触到的知识，函数概念学习前，学生对数与形的学习基本上是分开进行的（代数主要研究“数”；几何主要研究“形”），学习中只需对数或形进行单一的思维运算即可而函数概念具有多种表示（图象的、列表的、解析的、箭头的），每种表示都可独立抽象出函数概念与数学中其它使用单

28、一表示的概念相比，由于后者可直接将表示当作抽象概念的替身，而前者却需要同时考虑几个表示，不断协调几个表示间的关系，因此大大增加了学习的困难性 朱文芳.函数概念学习的心理分析J .数学教育学报1999,8(4):24尽管国内外专家对函数教学的研究比较多，也提出了许多宝贵的经验，在实际教学中也已经采取了适当渗透、螺旋上升的方法，分段而有循环地安排函数知识，但教学实践表明，学生的函数概念水平仍然较低，函数概念依然是高中生感到最难学的数学概念之一 （二）国内外相关研究1. 学生对函数的理解Vinner使用“概念表象”这个词来描述学生是如何看待概念的 S.Vinner.1983.Concept defi

29、nition, concept image and the notion of function. International Journal of Mathematics Education in Science & Technology, 14 (3): 293-305一个人的概念表象由他对于给定概念的全部有联系的精神想象所构成Vinner归纳出几种学生对于函数的通常的概念表象： 函数必须由一个单一规则给定例如，分段函数通常被看作多个函数 函数必须有一个解析表达式或可操作的东西 认为函数必须是系统化的、规范化的，一个任意的对应不被看作是函数 函数的图像必须是连续的例如，学生通常不以

30、最大取整函数的图像作为函数的代表 函数必须是一一的，对于取值范围内的每一个元素恰好有一个值域中的元素例如，f(x)=12通常不被看作是函数，因为它不是一一的S. Vinner & T. Dreyfus于1989年调查了以色列271名不同专业的大学生和36名初级中学的教师对函数概念的理解，结果发现，学生对函数概念的理解多种多样，函数概念的表象和定义之间存在矛盾是很普遍的，他们在处理问题时往往依据函数的表象而不是函数的定义 S.Vinner &T.Dreyfus.1989. Images and definitions for the concept of function. Jo

31、urnal for Research in Mathematics Education. 20(4): 356-366Ed Dubinsky于1992年对美国62名大学二、三年级的数学专业学生进行了问卷调查，要求学生回答“什么是函数”，并“写出一些函数的例子”，以此来了解学生在函数方面的困难他把学生对函数定义的回答划分为四个类型：Prefunction,Action,Precess,Unknow，各种类型学生分布比例依次为：40%，24%，14%，22%上述结果显示，学生不能很充分地理解函数概念 Ed Dubinsky.1992.Development of the process conce

32、ption of function, Educational Studies in Mathematics 23,247285Ruhama Even 于1987年11月1988年4月在美国8所大学中对162位未来的中学数学教师进行了问卷调查和访谈问卷考查了被调查者对函数概念的理解，并要求他们根据问卷中所呈现的学生的错误结论进行分析解释调查表明，许多未来的中学数学教师没有真正理解函数的现代定义，他们在问卷中对学生的错误结论进行解释时，许多人用的是其有限的函数概念表象，而不是函数的现代定义术语除此之外，问卷中要求被调查者向学生解释什么是函数，许多人通常不描述函数的定义，只是教给学生一些判断函数的规

33、则方法，例如“通过画函数图像和作直线来检验，一条垂直于x轴的直线最多只能通过函数图像一次” Ruhama Even.1993.Subject-matter knowledge and pedagogical content knowledge: prospective secondary teachers and the function concept, Journal for Research in Mathematics Education 1993,vol.24,No.2,94-116国内关于函数的研究也比较多，其中不乏许多中学教师长期积累的教学经验总结首都师范大学数学系的朱文芳博士依

34、据心理学，分别从学生的概念形成水平、不同数学气质类型上的影响以及学生思维发展水平三方面论述了学生学习数学概念困难的根源分析指出，函数是个较难形成的概念，教学时分两次学习来减轻学生认知上的困难是必要的 朱文芳. 函数概念学习的心理分析J . 数学教育学报1999,8(4):23-25,44上海市控江中学的曾国光老师通过对学生问卷调查和个案调查，发现学生关于函数概念的认知发展过程可分成3 个阶段：作为“算式”的函数、作为“变化过程”的函数、作为“对应关系”的函数学生是否真正理解函数概念，关键在于其表象的形成和发展水平 曾国光. 中学生函数概念认知发展研究J. 2002,数学教育学报,11(2):9

35、9-102王智明对初中、高中和大学的学生的函数概念做了相关调查，发现学生在函数概念的理解方面确实存在较大的困难，并从课程和教学两个角度对函数教育的各种特点作了进一步分析，总结出不同课程观下中外教材中函数内容的不同 王智明. 中学函数课程与教学初探:硕士学位论文20032. 函数的教学M. A. Malik通过对函数概念历史的考察获得启示：中学阶段应该教简单易懂的函数概念，为学习微积分打下基础，集合理论下的定义，应放在学习拓扑学之前讲述 M.A.Malik.1980.Historical and pedagogical aspects of the definition of function.

36、 International Journal of Mathematics Education in Science & Technology, 11: 489-492S. Vinner & T. Dreyfus认为，如果需要的话，不连续函数、分段函数、有例外点的函数可以引入课堂，以扩展学生的经验，正规的定义应作为这些例子的结论而得出 S.Vinner & T.Dreyfus.1989. Images and definitions for the concept of function. Journal for Research in Mathematics Educ

37、ation. 20(4): 356-366D. Tall指出，虽然函数的笛卡儿积定义，是非常精彩的数学定义，但它不是好的认知根源，它需要学生重新建构知识，而这又是非常困难的 D.Tall.1992. The transition to advanced mathematical thinking: functions, limits, infinity, and proof. In: Grouws, D. A. (ed.) Handbook of Research on Mathematics teaching and Learning. New York: Macmillan Publish

38、ing Company. 495-501F. A. Norman认为图像为研究复杂的函数关系提供了有力的分析工具，并为难以描述的信息间的沟通提供一种手段因此教师应该向学生提供读图、释图、作图的活动机会 F. A.Norman. 1993. Integrating research on teachers knowledge of functions and their graphs. In: T. A. Romberg, et. al. (eds.). Integrating Research on the Graphical Representation of Function. Hills

39、dale: Lawrence Erlbaum Association Publishers, 159-187T. J. Cooney & M. R.Wilson的研究表明，教师对函数的认识、思想、信念无疑在影响着函数的教学，因此教师的函数观应引起足够的重视 T. J.Cooney & Wilson M. R. 1993. Teachers thinking about functions: historical and research perspectives. In: T. A. Romberg, et. al. (eds.). Integrating Research o

40、n the Graphical Representation of Function. Hillsdale: Lawrence Erlbaum Association Publishers, 131-158.L. L. Clement认为学生对函数的理解过于狭隘或者包含着错误的假定，这对教学提出了信号，课堂上师生之间要更深层次地讨论函数定义、函数的不同表示法、以及这两者之间的联系 L. L.Clement. 2001. What do students really know about functions? Mathematics teacher, 94(9): 745-748广西师范大学的

41、汤服成老师基于图式理论，分别从函数概念图式的特征、函数概念图式的习得过程、函数概念图式的功能分析以及函数概念学习困难分析几个方面揭示函数学习的本质他还指出图式理论在函数学习中具有很重要的作用，有利于函数概念知识结构化，有利于学生形成良好的认知结构 汤服成、王 兄. 图式理论与函数概念学习J.辽宁师范大学学报(自然科学版), 2001,24(3):263-265曲阜师范大学的李吉宝老师指出在宏观上把握渗透函数思想方法的三条基本途径：与其它数学思想方法有机结合；与其它数学知识相结合；与生活实际密切联系他还指出，函数教学可按“早、实、清”3 个字进行导学，所谓“早”，是指在初一、初二的教学中，抓住相

42、关内容及早向学生渗透函数的思想方法；所谓“实”，是指由实例引入函数概念，由实例引入概念，反映了概念的物质性和现实性，符合学生的认识规律，给学生留下的印象比较深刻和长久；所谓“清”，是指一定要向学生讲清函数定义的“语言框架”，通过辨识练习，对函数有一个完整的认识李吉宝. 有关函数概念教学的若干问题J .数学教育学报,2003,12(2):95-98内蒙古师范大学的贾丕珠老师根据函数概念的特点和学生的认知结构，将函数知识建构分为6个层次，即经历认识变量；突出关系；区别函数与算式；掌握“对应”；把握形式化描述；形成函数对象等主要环节他还认为对函数概念的认识不是简单的积累，需要有认识反馈再认识的往复过

43、程其中前3个在初中完成，后3个适用于高中贾丕珠. 函数学习中的六个认知层次J. 数学教育学报,2004,13 (3):79-81（三）研究的目标函数的概念从其诞生以来就不断被争论、改进，同时对函数的教学和理解的研究也不断地进行本文主要参阅近十多年来的研究文献，上述西方文献中的实证研究部分以及国内所有文献主要对初高中、大学和中职学生的函数概念认知情况进行探讨，有从教育学角度研究的，也有从心理学角度研究的，或者侧重于从数学概念的角度来认识和理解函数，或者侧重于对学生函数的学习过程进行研究，对教学提出建议尽管关于函数概念学习的研究工作取得了多方面的成果，但是学生对函数概念理解困难还是个不争的事实，所

44、以许多研究仍待进一步发展，必须对数学学习过程作细致的观察、调查实验、分析我们高中教师让学生做的大量练习几乎都是解题技能的训练，很少是关于概念理解的，这方面的习题也的确少教师对概念理解的教学也常是一笔带过，没给予重视所以，学生对概念的理解水平究竟如何？是一个有必要去调查和研究的问题函数是中学最重要、最复杂的概念之一，对高中生函数理解的调查研究可以作为数学概念理解研究的突破口关于数学概念学习的研究，必须始终围绕“认知发展教学”进行用认知和发展的观点去考察教学，在教学情境中研究学生的认知和发展的一般规律本课题研究的主要问题是：1) 高中生对函数概念的理解水平究竟如何？2) 高中生理解函数概念存在哪些

45、困难？3) 教师应采取怎样的对策来帮助学生克服这些困难?根据以上研究问题，本文首先设计相应的研究内容，在两所学校进行实证调查，以高中生为研究对象，通过问卷调查、个案访谈等方法，客观地揭示目前高中生理解函数概念的现状，探讨造成高中生函数概念理解困难的主要原因；进而提出克服高中生函数概念理解困难的一些教学对策通过这样的研究，能够对高中生函数的有效教学带来一定的借鉴作用二研究的理论基础（一）关于数学理解的理论数学教育家R.Skemp认为数学理解有“工具性理解”和“关系性理解”之分.工具性理解是指知道法则但并不懂得其理由，即知道符号所代表的事物或操作的规则，但不知道其逻辑依据；而关系性理解是指对符号的

46、意义、获得符号所代表的事物意义的途径、规则的逻辑依据等有深刻的认识“理解”不是单方面的，它有多个侧面、多个成分，它是一个发展、变化的“范围” K .Collis. 1986. Learning intellectual skills and school mathematics: A Psychological Viewpoint, Proceedings of the 10th International Conference for the Psychology of mathematics Education ,Vo1.1.London.另外，Pirie和Kieren将数学理解划分成8个

47、水平：初步了解、产生表象、形成表象、关注性质、形式化、观察评述、组织结构和发现创造这8个水平的关系可以用8个嵌套的圆来表示，每一个圆代表了一种水平，一个圆既包含前面的圆，同时又被后面的圆所包含，逐步拓广这一模式描述了理解水平之间的相互关系它将理解看作整体的、动态的、分水平的而不是线性的发展这表明理解是人们知识结构的不断连续的组织，是一个动态的过程，而不是各种认识的获得 李士锜.PME:数学教育心理M.上海:华东师范大学出版社,2001.64,80-87值得指出的是，戴维斯教授在数学学习：数学教育的认知科学研究一书中曾从十分一般的角度对语言理解的过程进行了总结，而如果用我们现在所使用的语言对这一

48、著作中所采用的某些直接建立在“人机类比”之上的术语进行转述的话，这就是指：通过阅读一个语句或一段文字在阅读者记忆中激活了某个或某些已有的图式；阅读者将词语吸收（同化）到所说的图式之中，从而达到对于这一语句或这段文字意义的理解；除去以上方式所获得的信息外，其他的信息来自图式自身，而后者则就体现了这类情景的普遍特征；如果不能由外部的文字输入或内在的图式获得必要的信息，这时读者就不能达到真正的理解，从而也就不可能作出适当的反应，即如不可能对有关的问题作出解答；这一过程并包括所有对激活的图式是否适当及是否达到了真正的理解力评价；从这一时刻起，几乎所有从属性的思维活动，包括计划、交流、行动等，都是由通过

49、将这一特例吸收到一般性的图式之中所获得的整体性信息所决定的，人们事实上也根本不再注意这些信息的来源由以上的分析我们也就可以正确地去指明“理解”的真正涵义这就正如斯要普所指出的，“理解就意味着被纳入（同化）到适当的图式之中” 郑毓信,梁贯成.认知科学建构主义与数学教育数学学习心理学的现代研究M.第二版.上海:上海教育出版社,2002:40-41学生对函数的几种表示的理解是一个包含多种水平、不断建构、发展的过程在教学中，根据学生的问题解决表现确定他们理解的程度和水平，以利于采取更加有效的教学手段促进学生理解水平的提高（二）关于建构主义的学习理论建构主义学习理论是由行为主义发展到认知主义以后的进一步

50、发展行为主义认为学习就是通过强化建立刺激与反应之间联接的链；教育者的目标在于传递客观知识，学习者的目标是在这种传递过程达到教育者所确定的目标，得到与教育者完全相同的理解行为主义者则根本无视在这种传递过程中学生的理解以及心理过程认知主义者较行为主义进步之处在于确认了学习者内部的认知过程，认为教学的目标在于学习这些事物及其特征，使外界客观事物内化为其内部的认知结构建构主义者则更进一步认为世界是客观存在的，但是对世界的理解和赋予意义却是由每个人自己决定的由于个体的经验不同，对外部世界的理解便也不同尽管建构主义流派纷呈，各有研究侧重，但是大部分建构主义者对学习有以下共识：学习者以自己的方式建构自己的理

51、解；新的学习依靠原有的经验；社会性的互动可以促进学习；有意义的学习发生于真实的学习任务中建构主义的学习观认为：第一，知识并不能简单地由教师或其它人传授给学生，而只能由每个学生依据自身已有的知识或经验主动的加以建构第二，相对于一般的认识活动而言，学习活动的一个主要特点就在于：这主要是一个“顺应”的过程，也即是认知框架的不断变革或重组，而后者又正是新的学习活动与认知结构相互作用的直接结果第三，学生学习活动的特殊性还在于：这主要是在学校这样一个特定的环境中，并是在教师的直接指导下进行的，而且，这主要地又是一种文化继承的行为显然，这也就十分清楚地表明了学习这样一种特殊的建构活动的社会性质，或者说，这即

52、是一种高度组织化了的社会行为郑毓信,梁贯成.认知科学建构主义与数学教育数学学习心理学的现代研究M.第二版.上海:上海教育出版社,2002:171-176就建构主义对于教育界的冲击而言，一个最为突出的问题显然在于：我们究竟应当如何去认识教师的作用？例如，强调知识建构性是否就意味着对于教师作用的彻底否定？特别是，这是否就意味着发现法应当被看成唯一合理的教学方法？合作学习能否被看成彻底解决教学问题的一种灵丹妙药？建构主义的教学观认为，作为一个建构主义者，我们应当充分肯定教师在教学活动中的主导作用，特别是，无论我们采取怎样的教学形式，包括发现学习或合作学习等，教师都应当在其中发挥必不可少的导向作用具体

53、来说，第一，由于主体已有的经验和知识在新的学习过程中发挥了十分重要的作用，因此在数学教学中教师就应十分重视如何帮助学生去获得必要的直观经验和预备知识第二，应当帮助学生把抽象的数学概念与他们已有的知识和经验联系起来，从而建立适当的心理表征第三，除正面的作用外，我们还应看到，学生已有的经验和知识在新的学习活动中也可能造成一定的负面影响从而，在教学中教师也就应当十分注意分析和消除学生已有的素朴观念和经验对于新的学习活动可能造成的消极影响郑毓信,梁贯成.认知科学建构主义与数学教育数学学习心理学的现代研究M.第二版.上海:上海教育出版社,2002:220-226可见，数学学习不是一个被动的吸收过程，而是

54、一个以已有知识和经验为基础的主动建构过程学生学习数学的过程实际上是一个“做数学”（doing mathematics）的过程，张奠宙,宋乃庆.数学教育概论M.北京:高等教育出版社,2004:169只有在“做”数学的过程中才有可能理解数学、学会数学这也是弗赖登塔尔说的“再创造”理论，它强调学生学习数学是一个经验、理解和反思的过程，强调以学生为主体的学习活动对学生理解数学的重要性，强调激发学生主动学习的重要性，并认为做数学是学生理解数学的重要条件因为任何数学知识的获得都必须经历“建构”这样一个由外向内的转化过程学生的数学学习只有通过自身的操作活动和再现创造性的“做”，才可能是有效的学习（三）关于元

55、认知理论元认知通常被简单地认为是“对思考的思考”（thinking about thinking），或对自己的认知过程的认知它最先由弗拉维尔提出他指出，元认知通常被广义地定义为任何以认知过程及其结果为对象的知识，或是任何调节认知过程的认知活动，它之所以被称为元认知，是因为其核心意义是对认知的认知 J.H.Flavell.1979,Meta-Cognition and Cognitive Monitoring: A New Area of Cognitive-Developmental Inquiry. American Psychologist,34,pp.906-911元认知主要包括元认知知

56、识、元认知体验、元认知监控三种成分 张大均.教育心理学M.第二版.北京:人民教育出版社,2004:250-251元认知知识就是个人关于自身或他人在认知过程中，有哪些因素，这些因素是以何种方式发生作用及相互作用，从而影响认知活动的过程及结果的认识元认知体验是伴随认知活动的一种情绪体验，它可能发生在认知活动的任一时刻如在教学中，某学生意识到，他已理解并记住了大部分教学内容，从而产生轻松、愉悦的心情，另一个学生意识到自己理解这段文字相当困难，从而产生悲观、焦躁的情绪弗拉维尔认为，元认知体验最可能发生在思维活动水平较高的情况下例如，在学习一个较难的数学定理时，每向前推进一步，都伴随着成功与失败理解后的

57、喜悦，百思不解的困惑，兴奋与焦虑等交织在一起，直到整个认知过程结束元认知监控是指人们在进行认知活动的过程中，对自身认知活动所进行的积极的、自觉的监视、调节与控制它包括认知活动前制定计划；认知活动中实施监控、评价和不断反馈；认知活动后对结果的不断检查、调节和修正元认知这一概念包含两方面的内容，一是有关认知的知识，二是对认知的调节也就是说，一方面，元认知是一个知识实体，它包含关于静态的认知能力、动态的认知活动等知识；另一方面,元认知也是一种过程，即对当前认知活动的意识过程、调节过程作为“关于认知的认知”，元认知被认为是认知活动的核心，在认知活动中起着重要作用数学解题中所谓的“元认知”，亦是指解题者

58、对于自身所从事的解题活动（包括解题策略的选择、整个过程的组织、目前所从事的工作在整个解题过程中的作用等）的自我意识、自我分析（包括评估）和自我调整不成功的解题者往往不加思考地采取某一方法或解题途径，或总是在各种可能的“解题途径”之间徘徊，而对自己在干什么，特别是对为什么要这样干缺乏明确的认识；另外，在沿着某一途径走下去时，则又往往不能对自己目前的处境作出清醒的评估并由此而作出必要的调整，而只是“一股劲地往前走”，直到最终陷入僵局而一无所措一个好的解题者则清醒地表现出如下的“素质”：在具体地采用某一方法或解题途径前应对各种可能性进行仔细的考虑；在整个解题过程中则能做到“心中有数”，即清楚地知道自

59、己在干什么和为什么要这样干；他们并能对目前的处境作出清醒的评估，从而作出必要的调整，特殊地，即使出现了错误 ，他们也不会简单地抛弃已有的工作，而是力图从中吸取有益的成分；最后，在成功地解决了问题以后，他们又能自觉地对所进行的工作进行回顾，特别是考虑是否存在更为有效的解题途径郑毓信,梁贯成.认知科学建构主义与数学教育数学学习心理学的现代研究M.第二版.上海:上海教育出版社,2002:85-88三高中生函数学习的实证调查与分析（一）研究方法1. 问卷的设计为了解高中生对函数这一重要数学概念的理解状况，笔者设计了二份调查问卷（为了方便统计，卷(一)为选择题，卷(二)是相应的问答题，以下若无特别说明，

60、均指卷(一)）问题的选择是笔者在十余年的省一级重点高中教学经验的基础上，分析中学数学的课程标准、教学目标、教材内容和教学要求，参照国内外的专家所编制的有关函数概念研究的测验题，按本研究的目的精心挑选和改编而成其中问题1到3是了解学生的背景信息；问题4到20分别考查学生对解析式、表格和图形所表示的函数的理解程度，目的是了解学生识别判断函数的方法和函数概念表象，从而了解学生对函数概念的本质特征的掌握程度，其中问题11、19和20与函数的现代定义有关，这在我国中学课程中没有涉及，其目的是查看学生对函数本质的认识；问题21、22、23和25、26也是考查学生对函数的本质的认识，其中21、25和26主要

61、考查学生对函数的“单值性”和“任意性”的理解；问题24到30又是考查学生综合运用函数多种表示方法的水平；卷(二)的问题29是想了解学生所认识的函数是什么；卷(二)的28、30和31主要考查学生对函数概念的应用水平和利用函数概念解决实际问题的能力（详见附录）2. 问卷的信度利用教育测量学说的重测法，用问卷(一)测试同一水平由不同教师任教的两组学生，测试的结果相关程度高同时，用公式分半信度法估计测验的信度，用电脑Excel计算两半测验的相关系数，得出随机选取的47个样本测验的信度系数为0.791，说明这份测验题的可信程度高3. 被试的选取笔者随机选取嘉善高级中学高一、高二和高三各四个班的学生，嘉善中学高一、高二、高三各二个班的学生