七下探索轴对称的性质PA轴对称—最短路线问题

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1、菁优网七下7.3探索轴对称的性质PA轴对称最短路线问题 解答 七下7.3探索轴对称的性质PA轴对称最短路线问题 解答一解答题（共30小题）1（2012聊城一模）在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，AB=akm（a1）现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1=PB+BA（km）（其中BPl于点P）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2=PA+PB（km）（其中点A与点A关于l对称，AB与l交于点P）观察计算：（1）在方案一中，d1=_k

2、m（用含a的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2=_km（用含a的式子表示）探索归纳：（1）当a=4时，比较大小：d1_d2（填“”、“=”或“”）；当a=6时，比较大小：d1_d2（填“”、“=”或“”）；（2）请你参考方法指导，就a（当a1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？方法指导：当不易直接比较两个正数m与n的大小时，可以对它们的平方进行比较：m2n2=（m+n）（mn），m+n0，（m2n2）与（mn）的符号相同当m2n20时，mn0，即mn；当m2n2=0时，mn=0，

3、即m=n；当m2n20时，mn0，即mn2（2012溧水县一模）七年级我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小我们只要作点B关于l的对称点B，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB'因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB最小，显然当A、P、B在一条直线上时AP+PB最小，因此连接AB'，与直线l的交点就是要求的点P有很多问题都可用类似的方法去思考解决探究：（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点连接E

4、P，CP，则EP+CP的最小值是_；运用：（2）如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是_；操作：（3）如图5，A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成ABC，使ABC周长最小（不写作法，保留作图痕迹）3（2011岳池县模拟）如图，欲在河边L上建一个水泵站P，使P到张庄A、李庄B所用水管最短试用尺规作图法确定水泵站P的修建位置（不写作法，但须保留清晰的作图痕迹）4（2010莆田质检）某课题组在探究“泵站问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l

5、上存在点P，使得PA+PB的值最小解法：作点A关于直线l的对称点A，连接AB，则AB与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为AB请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图1，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为_；（2）几何拓展：如图2，ABC中，AB=2，BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小，求这个最小值；（3）代数应用：求代数式（0x4）的最小值5（2010江干区模拟）已知A，B两点在直线l的同侧，试用直尺（没有刻度）和圆规，在l上找两点C和D（CD的长度为定值a），使得AC+

6、CD+DB最短（不要求写画法）6（2009昌平区一模）请阅读下列材料：问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小小明的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A，连接AB，则AB与直线l的交点P即为所求请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：（1）如图3，在图2的基础上，设AA与直线l的交点为C，过点B作BDl，垂足为D若CP=1，PD=2，AC=1，写出AP+BP的值；（2）将（1）中的条件“AC=1”去掉，换成“BD=4AC”，其它条件不变，写出此时AP+BP的值；（3）请结合图形，直接写出的最小值7河北三元公司响应市政府“打造食品安全最放心城市”

7、“提升省会城市形象”的号召，在省会街头、社区建立了“便民奶屋”如图是该公司即将在联盟路旁边修建的一个奶屋，向居民区A、B提供牛奶，奶屋应修建在联盟路的什么地方，才能使从居民区A、B到它的距离之和最短，请在联盟路上找出奶屋的位置M，并说明理由（保留作图痕迹）8传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：军官从军营A出发先到河边饮马，再去同侧的B地开会（如图），应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗？请画图说明9下图是西部大开发重点建设项目涩宁兰管线乐都段的一部分示意图，假设要在这段管线附近修建一个气站C

8、，分别向张庄和李庄供气，问气站C修在管线边的什么地方时，可使所用的输气管道最短？请用你所学的知识找出这个地点C的位置（保留作图的痕迹），并作简单的说明10如图，已知A、B两个村庄在河流CD的同侧，它们到河的距离分别为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂P，向A、B两村供水，已知铺设水管的费用为每千米2万元，请你在河流CD上选择水厂的位置P，使铺设水管的费用最节省（只需正确找出P点位置即可，不需证明），并求出此时的总费用11如图所示，在公路a同侧有两个居民小区A，B，现要在公路旁建一个液化气站，画图说明：（1）液化气站的气能同时到达居民小区A，B，这个液化气

9、站P应建在什么地方？（2）液化气站到A、B的距离和最短，这个液化气站Q应建在什么地方？12如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）（1）画出格点ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的A1B1C1；（2）在DE上画出点P，使PB1+PC最小；（3）在DE上画出点Q，使QA+QC最小13认真画一画，培养你的作图能力如图，现要在河边a修建一水泵站，分别向A、B两村供水，水泵站应建在河边的什么位置，可使使用的水管最短（保留作图痕迹，不要求写作法）14如图，在平面直角坐标系中，A（2，3），B（3，3）（1）利用尺规作图，在y轴上求作一个点P，使PA+PB最小（

10、不要求写作法，但保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，求出点P的坐标；（3）连接AP、BP、AB，求ABP的面积15已知平面直角坐标系中有A（2，1），B（2，3）两点（1）在x轴上找一点M，使MA+MB最小，并求出点M的坐标；（2）在x轴上找一点N，使得ABN为等腰三角形，并通过画图说明使ABN为等腰三角形的点N有多少个？16作图题：如图，草原上两个居民点A、B在河流l的同旁，一汽车从A出发到B，途中需要到河边加水，汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？请在图中作出该点（不写作法，保留作图痕迹）17如图，草原上两个居民点A、B在河流L的同旁，一汽车从A出发到B，途中需要到河边加水汽车在哪一

11、点加水，可使行驶的路程最短？在图上画出该点18已知：如图，某汽车探险队要从A城穿越沙漠去B城，途中需要到河流l边为汽车加水，汽车在河边哪一点加水，才能使行驶的总路程最短？（1）请你在图上画出这一点（保留作图痕迹）（2）根据图示，求出最短路程19如图，A、B是小河同侧的两个村庄，为解决饮水问题，两村决定合资在河边修建一个供水站，为使村庄里的管道总长最短，求供水站的位置20（1）如图1，A、B是直线l同旁的两个定点请你在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小（2）如图2，AOB=45°，P是AOB内一点，PO=10请你在OA上找一点Q，在OB上找一点R，使得PQR的周长最小要求：画出图

12、形，并计算这个最小值是_21如图，一牧民从A点出发，到草地出发，到草地MN去喂马，该牧民在傍晚回到营帐B之前先带马去小河边PQ给马饮水（MN、PQ均为直线），试问牧民应走怎样的路线，才能使整个路程最短？（简要说明作图步骤，并在图上画出）22一牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A、B处距河岸的距离分别是AC=500m，BD=700m，且C、D两地间距离也为500m，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短（1）牧童应将马赶到河边的什么地点？请你在图中画出来（2）请你求出他至少要走_路程23如图，一个牧童在距离小河岸南400米的A处牧马，而他的家正位于牧马处A的东800米（

13、BC=800米），南700米，（AC=700米）处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？24在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马）（保留作图痕迹，需要证明）25如图，A，B两村在一条河流CD的同侧，A，B两村与该河的距离分别为100米、700米，且C，D之间的距离为600米现要在河边建一自来水厂，铺设水管的工程费用为每米200元，请你在河边CD上选择水厂位置P，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用是多少元？26已

14、知：如图，在POQ内部有两点M、N，MOP=NOQ（1）画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；（2）直接写出AM+AN与BM+BN的大小关系27如图所示，A、B两村在一条小河的同一侧，现要在河边建一水厂P向两村供水，若要使自来水厂P到两村的距离和最短，厂址应选在哪个位置最合适？（并保留作图痕迹）28为庆祝60年国庆圣典，阳光中学八年级（2）班举行一次文艺晚会，桌子摆成两真线（如图：AO，OB）AO桌子上摆满苹果，BO桌子上摆满桔子，坐在C处的小华想先拿苹果再拿桔子，然后回到座位C处，AOB小于90度，请你

15、帮助他设计一条行走路线，使小华所走路程最短请作出路线图，并用字母表示所走路线（保留作图痕迹，不写作法、不必说明理由）29如图，直线l表示草原上一条河的河堤，在河堤的一侧有两个村庄A、B，它们到河堤l的距离分别为AC=30km，BD=40km，两个村庄A、B之间的距离为50km有一牧民骑马从A村出发到B村，途中要到河边给马饮一次水（1）在图中标出使牧民行驶距离最短的饮水点P；（2）若他在上午8点出发，以每小时30km的平均速度前进，则他能否在上午10点30分之前到达B村30如图，在街道上修个牛奶站，使牛奶站到A，B的距离最短七下7.3探索轴对称的性质PA轴对称最短路线问题 解答参考答案与试题解析

16、一解答题（共30小题）1（2012聊城一模）在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，AB=akm（a1）现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1=PB+BA（km）（其中BPl于点P）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2=PA+PB（km）（其中点A与点A关于l对称，AB与l交于点P）观察计算：（1）在方案一中，d1=a+2km（用含a的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路

17、计算，d2=km（用含a的式子表示）探索归纳：（1）当a=4时，比较大小：d1d2（填“”、“=”或“”）；当a=6时，比较大小：d1d2（填“”、“=”或“”）；（2）请你参考方法指导，就a（当a1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？方法指导：当不易直接比较两个正数m与n的大小时，可以对它们的平方进行比较：m2n2=（m+n）（mn），m+n0，（m2n2）与（mn）的符号相同当m2n20时，mn0，即mn；当m2n2=0时，mn=0，即m=n；当m2n20时，mn0，即mn考点：轴对称-最短路线问题3824674专题：压轴题分析：观察计算：（1）由题

18、意可以得知管道长度为d1=PB+BA（km），根据BPl于点P得出PB=2，故可以得出d1的值为a+2（2）由条件根据勾股定理可以求出KB的值，由轴对称可以求出K的值，在RtKBA由勾股定理可以求出AB的值就是管道长度探索归纳：（1）把a=4代入d1=a+2和d2=就可以比较其大小；把a=6代入d1=a+2和d2=就可以比较其大小；（2）分类进行讨论当d1d2，d1=d2，d1d2时就可以分别求出a的范围，从而确定选择方案解答：解：（1）BPl，BP=2，AB=a，d1=a+2（2）点A与点A关于l对称，AA=6，BKAA，AK=1，在RtABK中，由勾股定理，得BK2=a21，在RtKBA由

19、勾股定理，得AB2=25+a21=a2+24AB=探索归纳（1）当a=4时，d1=6，d2=2，62，d1d2 当a=6时，d1=8，d2=2，82，d1d2（2）d12d22=（a+2）2（）2=4a20，当4a200，即a5时，d1d2；选择方案二铺设管道较短当4a20=0，a=5时，d1=d2；选择方案一、二铺设管道一样长当4a200，即a5时，d1d2选择方案一铺设管道较短综上可知：当a5时，选方案二；当a=5时，选方案一或方案二；当1a5 时，选方案一故答案为：a+2，点评：本题考查了轴对称的性质的运用，最短路线问题数学模式的运用，勾股定理的运用，数的大小的比较方法的运用2（2012

20、溧水县一模）七年级我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小我们只要作点B关于l的对称点B，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB'因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB最小，显然当A、P、B在一条直线上时AP+PB最小，因此连接AB'，与直线l的交点就是要求的点P有很多问题都可用类似的方法去思考解决探究：（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点连接EP，CP，则EP+CP的最小值是；运用：（2）如图4

21、，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是（2，0）；操作：（3）如图5，A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成ABC，使ABC周长最小（不写作法，保留作图痕迹）考点：轴对称-最短路线问题3824674分析：（1）由正方形的性质可得点A是点C关于BD的对称点，连接AE，则AE就是EP+CP的最小值；（2）找点C关于x轴的对称点C'，连接AC'，则AC'与x轴的交点即为点D的位置，先求出直线AC'的解析式，继而可得出点D的坐标（3）分别作

22、点A关于OM的对称点A'、关于ON的对称点A''，连接A'A''，则A'A''与OM交点为点B的位置，与ON交点为C的位置解答：解：（1）点A是点C关于BD的对称点，连接AE，则AE就是EP+CP的最小值，EP+CP的最小值=AE=；（2）作点C关于x轴的对称点C'，连接AC'，则AC'与x轴的交点即为点D的位置，点C'坐标为（0，2），点A坐标为（6，4），直线C'A的解析式为：y=x2，故点D的坐标为（2，0）；（3）分别作点A关于OM的对称点A'、关于ON的对称点A&#

23、39;'，连接A'A''，则A'A''与OM交点为点B的位置，与ON交点为C的位置；如图所示：点B、C即为所求作的点点评：此题考查了利用轴对称求解最短路径的问题，求解模式题意已经给出，注意仔细理解，灵活运用题目所给的信息3（2011岳池县模拟）如图，欲在河边L上建一个水泵站P，使P到张庄A、李庄B所用水管最短试用尺规作图法确定水泵站P的修建位置（不写作法，但须保留清晰的作图痕迹）考点：轴对称-最短路线问题3824674分析：可作A点关于小河的对称点A，连接AB与小河的交点P，就是所求解答：解：如图所示：点评：此题考查了路程最短的问题，实质

24、利用了线段垂直平分线的性质，是考试中经常出现的问题4（2010莆田质检）某课题组在探究“泵站问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小解法：作点A关于直线l的对称点A，连接AB，则AB与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为AB请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图1，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为；（2）几何拓展：如图2，ABC中，AB=2，BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小，求这个最小值；（3）代数应用：求代数式（

25、0x4）的最小值考点：轴对称-最短路线问题3824674专题：探究型分析：（1）本题要在AC上找一点P，使PB+PE的值最小设点B关于AC的对称点为B，使PB+PE的值最小就是使PB+PE的值最小（2）设点B关于AC的对称点为B，根据垂线段最短及两点之间，线段最短可知当B、M、N三点共线且BNAB时BM+MN的值最小（3）根据两点间距离公式，可知本题即求点P（x，0）（0x4）到点A（0，1）和点B（4，2）的距离之和的最小值，在平面直角坐标系中画出图形，即可求解解答：解：（1）作点B关于AC的对称点B，连接BE交AC于P，此时PB+PE的值最小，连接ABBAC=BAC=45°，BA

26、B=90°又AB=AB=，AE=，PB+PE的最小值=BE=（2）作点B关于AC的对称点B，过B作BNAB于N，交AC于M此时BM+MN的值最小BM+MN=BN理由：如图1，在AC上任取一点M1（不与点M重合），在AB上任取一点N1，连接BM1、BM1、M1N1、BN1点B与点B关于AC对称，BM1=BM1，BM1+M1N1=BM1+M1N1BN1又BN1BN，BM+MN=BN，BM1+M1N1BM+MN计算：如图2点B与点B关于AC对称，AB=AB，又BAC=30°，BAB=60°，BAB是等边三角形BB=AB=2，BBN=60°又BNAB，BN=BB

27、sin60°=（3）构造图形如图所示：在直角坐标系中，设点A（0，1）、B（4，2）、P（x，0）（0x4）那么PA+PB=所求的最小值就是求PA+PB的最小值作点A关于x轴的对称点A，过A作y轴的垂线，过点Bx轴的垂线，两垂线交于点C则AC=4，BC=3，AB=所求的最小值是5点评：此题主要考查轴对称最短路线问题解这类问题的关键是将实际问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段5（2010江干区模拟）已知A，B两点在直线l的同侧，试用直尺（没有刻度）和圆规，在l上找两点C和D（CD的长度为定值a），使得AC+CD+DB最短（不要求写画法）考点：轴对称-最短路线问题382

28、4674专题：作图题分析：先作出点A关于I的对称点A，B点向左平移到B（平移的长度为定值a），再连接A'B，与l交于C，再作BDAB，与l交于D，即可确定点D、C解答：解：如图所示：红线即为所求点评：本题主要考查轴对称最短路线问题的几何作图，属稍难题，此题的难点主要是确定点C、点D的位置6（2009昌平区一模）请阅读下列材料：问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小小明的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A，连接AB，则AB与直线l的交点P即为所求请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：（1）如图3，在图2的基础上，设AA与直线l的交点

29、为C，过点B作BDl，垂足为D若CP=1，PD=2，AC=1，写出AP+BP的值；（2）将（1）中的条件“AC=1”去掉，换成“BD=4AC”，其它条件不变，写出此时AP+BP的值；（3）请结合图形，直接写出的最小值考点：轴对称-最短路线问题3824674专题：压轴题；阅读型分析：（1）由勾股定理和相似三角形的性质，求得AP，BP的值即可；（2）由勾股定理和相似三角形的性质，建立方程求解；（3）结合图形，由（1）（2）直接写出即可解答：解：（1）在RtACP中，由勾股定理得，AP=，ACPACP，ACPBDP，CP：PD=AP：BP，解得BP=2，AP+BP的值为；（2）ACPBDPBD：AC

30、=PD：CP=2：1BD=4AC=2ACAC=，BD=由勾股定理知，AP=，BP=AP+BP的值为5；（3）2m3+82m=5，=故有最小值为点评：本题利用了勾股定理，相似三角形的性质，类比的方法求解7河北三元公司响应市政府“打造食品安全最放心城市”“提升省会城市形象”的号召，在省会街头、社区建立了“便民奶屋”如图是该公司即将在联盟路旁边修建的一个奶屋，向居民区A、B提供牛奶，奶屋应修建在联盟路的什么地方，才能使从居民区A、B到它的距离之和最短，请在联盟路上找出奶屋的位置M，并说明理由（保留作图痕迹）考点：作图应用与设计作图；轴对称-最短路线问题3824674分析：首先利用基本作图的方法过B点

31、作街道的垂线，再找到B关于街道的对称点C，连接AC与街道交于点M，点M即为所求解答：解：如图所示：点M即为所求点评：此题主要考查了作图与应用设计，在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点8传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：军官从军营A出发先到河边饮马，再去同侧的B地开会（如图），应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗？请画图说明考点：作图应用与设计作图；

32、轴对称-最短路线问题3824674分析：根据在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点解答：解：如图所示，作A点关于直线的对称点A，连接AB，直线与河的交点即是所求的点此时军官从军营A出发先到P点，再去同侧的B地开会路途最短点评：此题主要考查了最短路线问题，涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点9下图是西部大开发重点建设项目涩宁兰管线乐都段的一部分示意图，假设要在这段管线附近修建一个气站C

33、，分别向张庄和李庄供气，问气站C修在管线边的什么地方时，可使所用的输气管道最短？请用你所学的知识找出这个地点C的位置（保留作图的痕迹），并作简单的说明考点：作图应用与设计作图；轴对称-最短路线问题3824674分析：首先作出A点关于涩宁兰管线的对称点D，再连接DB，DB与涩宁兰管线的交点处就是C处解答：解：如图所示：点C就是气站位置点评：此题主要考查了应用作图，在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点10如图，已知A、B两个村庄在河流CD的同侧，它们到河的

34、距离分别为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂P，向A、B两村供水，已知铺设水管的费用为每千米2万元，请你在河流CD上选择水厂的位置P，使铺设水管的费用最节省（只需正确找出P点位置即可，不需证明），并求出此时的总费用考点：作图应用与设计作图；轴对称-最短路线问题3824674分析：根据已知得出作点A关于直线l的对称点A，连接AB，则AB与直线l的交点P到A、B两点的距离和最小，再利用构造直角三角形得出即可解答：解：依题意，只要在直线l上找一点P，使点P到A、B两点的距离和最小作点A关于直线l的对称点A，连接AB，则AB与直线l的交点P到A、B两点的距离和最

35、小，且PA+PB=PA+PB=AB过点A向BD作垂线，交BD的延长线于点E，在直角三角形ABE 中，AE=CD=30，BE=BD+DE=40，根据勾股定理可得：AB=50（千米）即铺设水管长度的最小值为50千米所以铺设水管所需费用的最小值为：50×2=100（万元）点评：此题主要考查了应用与设计作图和勾股定理的应用，利用已知由轴对称得出是解题关键11如图所示，在公路a同侧有两个居民小区A，B，现要在公路旁建一个液化气站，画图说明：（1）液化气站的气能同时到达居民小区A，B，这个液化气站P应建在什么地方？（2）液化气站到A、B的距离和最短，这个液化气站Q应建在什么地方？考点：作图应用与

36、设计作图；线段垂直平分线的性质；轴对称-最短路线问题3824674分析：（1）作线段AB的垂直平分线，由垂直平分线的定理可知，垂直平分线上的点到A，B的距离相等即可得出答案；（2）作A点关于直线a的对称点A，连接AB交直线a于点Q，此处即为液化气站位置解答：解：（1）如图所示，作线段AB的垂直平分线，交直线a与P则P为所求的点；（2）如图所示，作点A关于直线a的对称点A，连接AB，交直线a于点Q则点Q为所求的点液化气站Q应建在如图位置点评：此题主要考查了垂直平分线的作法以及两点之间线段最短的知识，解答此题的关键是熟知轴对称的性质以及线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等这一性质12如图，

37、在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）（1）画出格点ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的A1B1C1；（2）在DE上画出点P，使PB1+PC最小；（3）在DE上画出点Q，使QA+QC最小考点：轴对称-最短路线问题3824674专题：作图题分析：（1）从三角形各顶点向DE引垂线并延长相同的长度，找到对应点，顺次连接；（2）根据两点之间线段最短，连接A1C即可；（3）利用轴对称图形的性质可作点A关于直线DE的对称点A，连接AC，交直线DE于点Q，点Q即为所求解答：解：如图所示：（1）A1B1C1即为所求（2）连接A1C与直线DE的交点P即为所求（3）作点A关

38、于直线DE的对称点A，连接AC，交直线DE于点Q，点Q即为所求点评：此题主要考查有关轴对称最短路线的问题中的作图步骤，是此类问题的基础，需熟练掌握，用到的知识点为：两点之间，线段最短注意，作图形变换这类题的关键是找到图形的对应点13认真画一画，培养你的作图能力如图，现要在河边a修建一水泵站，分别向A、B两村供水，水泵站应建在河边的什么位置，可使使用的水管最短（保留作图痕迹，不要求写作法）考点：轴对称-最短路线问题3824674专题：作图题分析：作点A关于a的对称点A'，连接A'B，交l与点C，点C即为所求解答：解：点评：此题主要考查有关轴对称最短路线的问题中的作图步骤，是此类问

39、题的基础，需熟练掌握14如图，在平面直角坐标系中，A（2，3），B（3，3）（1）利用尺规作图，在y轴上求作一个点P，使PA+PB最小（不要求写作法，但保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，求出点P的坐标；（3）连接AP、BP、AB，求ABP的面积考点：轴对称-最短路线问题3824674分析：（1）设点A关于y轴的对称点为A，当点P在AB上时，PA+PB最小；（2）如果设直线A'B的解析式为y=kx+b，首先求出点A的坐标，然后利用待定系数法求出直线A'B的解析式，再令x=0，求出对应的y值，进而得出点P的坐标；（3）如果过点A作AMy轴于点M，过点B作BNy轴于点N，那么A

40、BP的面积=梯形ABNM的面积（APM的面积+BPN的面积），从而得出结果解答：解：（1）如图：（2）设A关于y轴对称点为A'，设直线A'B的解析式为y=kx+b，把A'（2，3），B（3，3）代入，得，解之得，令x=0，得，P（0，）（3）过点A作AMy轴于点M，过点B作BNy轴于点NABP的面积=梯形ABNM的面积（APM的面积+BPN的面积）=7.2点评：此题主要考查轴对称最短路线问题及在平面直角坐标系中如何求三角形的面积15已知平面直角坐标系中有A（2，1），B（2，3）两点（1）在x轴上找一点M，使MA+MB最小，并求出点M的坐标；（2）在x轴上找一点N，使得

41、ABN为等腰三角形，并通过画图说明使ABN为等腰三角形的点N有多少个？考点：轴对称-最短路线问题3824674专题：作图题分析：（1）利用轴对称图形的性质可作点A关于x轴的对称点A，连接AB，交x轴于点M，点M即为所求根据A（2，1），B（2，3）两点的坐标用待定系数法求出直线AB的解析式，再根据x轴上的点的坐标特征求出点M的坐标（2）以点A为圆心，AB长为半径交x轴于两点；以点B为圆心，AB长为半径交x轴于两点；AB的垂直平分线交x轴于一点，点N共5个解答：解：（1）点A关于x轴的对称点A（2，1），直线AB的解析式为y=x+1点M为直线AB与x轴的交点，点M的坐标为（1，0）（2）如图所示

42、：使ABN为等腰三角形的点N有5个点评：此题主要考查轴对称最短路线问题，综合运用了一次函数的知识同时考查了等腰三角形的作图方法16作图题：如图，草原上两个居民点A、B在河流l的同旁，一汽车从A出发到B，途中需要到河边加水，汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？请在图中作出该点（不写作法，保留作图痕迹）考点：轴对称-最短路线问题3824674专题：作图题分析：作点A关于l的对称点A'，连接A'B，交l与点C，点C即为所求解答：解：利用垂线找出A或B关于l的对称点A或B得（3分），标出加水点并交待结果得（2分）所以点C就是所要找的加水点点评：此题主要考查有关轴对称最短路线的问题中的

43、作图步骤，是此类问题的基础，需熟练掌握17如图，草原上两个居民点A、B在河流L的同旁，一汽车从A出发到B，途中需要到河边加水汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？在图上画出该点考点：轴对称-最短路线问题3824674专题：作图题分析：作点A关于l的对称点A'，连接A'B交l于C，点C即为所求解答：解：作A关于直线l的对称点A；连接AB交直线l于点C，则点C即为所求点汽车在C点加水，可使行驶的路程最短（6分）点评：此题主要考查有关轴对称最短路线的问题中的作图步骤，是此类问题的基础，需熟练掌握18已知：如图，某汽车探险队要从A城穿越沙漠去B城，途中需要到河流l边为汽车加水，汽车在河

44、边哪一点加水，才能使行驶的总路程最短？（1）请你在图上画出这一点（保留作图痕迹）（2）根据图示，求出最短路程考点：轴对称-最短路线问题3824674分析：（1）作出点B的关于l的对称点C，连接CA，交于l于点P，连接AP，则点P是所求的加水点（2）延长AN到D使DN=MC，连接CD，构造直角三角形，再利用勾股定理计算出AC长即可解答：解：（1）如图所示：P点就是加水点；（2）延长AN到D使DN=MC，连接CD，PB，点B的关于l的对称点是C，BM=CM=ND=7km，BP=CP，AN=13km，AD=13+7=20（km），MN=40km，AC=20（km）BP+AP=CP+AP=20km答：

45、最短路线路程为20km点评：此题主要考查了最短路线，在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点19如图，A、B是小河同侧的两个村庄，为解决饮水问题，两村决定合资在河边修建一个供水站，为使村庄里的管道总长最短，求供水站的位置考点：轴对称-最短路线问题；作图应用与设计作图3824674分析：作点A关于直线MN的对称点A，连接AB交直线MN于点P，则P点即为所求解答：解；如图所示，点P即为供水站的位置点评：本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知“两点之间线段最短是解

46、答此题的关键”20（1）如图1，A、B是直线l同旁的两个定点请你在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小（2）如图2，AOB=45°，P是AOB内一点，PO=10请你在OA上找一点Q，在OB上找一点R，使得PQR的周长最小要求：画出图形，并计算这个最小值是10考点：轴对称-最短路线问题3824674分析：（1）过A作直线l的垂线，在垂线上取点A，使直线l是AA的垂直平分线，连接BA即可得出P点位置；（2）根据轴对称的性质得出：POB=BOP，POA=AOP，OP=OP=OP=10，进而利用勾股定理得出PP的长即可解答：解：（1）如图1所示：（2）如图2所示：连接OP，OP，根据对称

47、性可得出：POB=BOP，POA=AOP，OP=OP=OP=10，AOB=45°，POP=90°，PP=故答案为：10点评：此题主要考查了轴对称最短路线问题，根据已知对称的性质得出POP=90°是解题关键21如图，一牧民从A点出发，到草地出发，到草地MN去喂马，该牧民在傍晚回到营帐B之前先带马去小河边PQ给马饮水（MN、PQ均为直线），试问牧民应走怎样的路线，才能使整个路程最短？（简要说明作图步骤，并在图上画出）考点：轴对称-最短路线问题；作图应用与设计作图3824674分析：作出点A关于MN的对称点A，点B适于PQ的对称点B，连接AB，交于MN，PQ于点C，点D

48、，则AC，CD，BD是他走的最短路线解答：解：如图，分别作A点关于直线MN的对称点A、B点关于直线PQ的对称点B（3分）连接AB，分别交MN于点C，交PQ于点D，连接AC、BD（6分）路线AC+CD+BD最短（8分）点评：本题考查了轴对称的性质最短路线问题，利用两点之间线段最短的性质求解是解本题的关键22一牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A、B处距河岸的距离分别是AC=500m，BD=700m，且C、D两地间距离也为500m，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短（1）牧童应将马赶到河边的什么地点？请你在图中画出来（2）请你求出他至少要走1300m路程考点：轴对称-

49、最短路线问题3824674分析：（1）将此题转化为轴对称问题，作出A点关于河岸的对称点A，根据两点之间线段最短得出BA的长即为牧童要走的最短路程；（2）根据（1）中所化图象，利用勾股定理解答即可解答：解：（1）作A点关于河岸的对称点A，连接BA交河岸与P，则PB+PA=PB+PA=BA最短，故牧童应将马赶到河边的P地点（2）作DB=CA，且DBCD，DB=CA，DBCD，BBAA，四边形ABBA是矩形，B'A'=CD，在RtBBA中，连接AB，则BB=BD+DB=1200，BA=1300（m）故答案为：1300m点评：此题考查了轴对称最短路径问题在生活中的应用，要将轴对称的性质

50、和勾股定理灵活应用，体现了数学在解决简单生活问题时的作用23如图，一个牧童在距离小河岸南400米的A处牧马，而他的家正位于牧马处A的东800米（BC=800米），南700米，（AC=700米）处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？考点：轴对称-最短路线问题3824674分析：作出A点关于小河岸南的对称点A，根据两点之间线段最短得出BA的长即为牧童要走的最短路程，利用勾股定理解答即可解答：解：作A点关于小河岸南的对称点A，连接BA交河岸于点P，则PB+PA=PB+PA=BA最短在ABC中，C=90°，BC=800，AC=AA+AC=400&#

51、215;2+700=1500，AB=1700（米）故他要完成这件事情所走的最短路程是1700米点评：此题考查了轴对称最短路径问题在生活中的应用，要将轴对称的性质和勾股定理灵活应用，体现了数学在解决简单生活问题时的作用24在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马）（保留作图痕迹，需要证明）考点：轴对称-最短路线问题；线段的性质：两点之间线段最短；轴对称的性质3824674专题：作图题；证明题分析：作A关于ON的对称点E，B关于OM的对称点F，连接EF交ON于C，交OM

52、于D，连接AC、BD，即可得出答案；根据对称点推出AC=EC，BD=FD，FR=BR，AT=ET，根据两点之间线段最短即可求出答案解答：解：沿ACCDDB路线走是最短的路线如图（1）所示：证明：在ON上任意取一点T，在OM上任意取一点R，连接FR、BR、RT、ET、AT，A、E关于ON对称，AC=EC，同理BD=FD，FR=BR，AT=ET，AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF，AT+TR+BR=ET+TR+FR，ET+TR+FREF，AC+CD+DBAT+TR+BR，即沿ACCDDB路线走是最短的路线点评：本题主要考查对称线段的性质，轴对称的性质，轴对称最短路线问题等知识点的理解和掌握，

53、能正确画图和根据画图条件进行推理是解此题的关键25如图，A，B两村在一条河流CD的同侧，A，B两村与该河的距离分别为100米、700米，且C，D之间的距离为600米现要在河边建一自来水厂，铺设水管的工程费用为每米200元，请你在河边CD上选择水厂位置P，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用是多少元？考点：轴对称-最短路线问题3824674专题：作图题分析：延长AC到A，使AC=AC，连接BA，BA就是最短距离；作AEBD交BD的延长线于点E，利用勾股定理求得AB的长度即可解答：解：由题意可得四边形CAED是矩形，ED=CA=100，AE=CD=600，BE=100+700=800，最短

54、距离AB=1000m，铺设水管的总费用是1000×200=200000元答：铺设水管的总费用是200000元点评：考查最短路线问题的应用；用对称的知识解决最短路线问题是解决本题的关键；构造直角三角形解决问题是解决本题的难点26已知：如图，在POQ内部有两点M、N，MOP=NOQ（1）画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；（2）直接写出AM+AN与BM+BN的大小关系考点：轴对称-最短路线问题3824674专题：作图题分析：（1）分别作出点M关于射线OP的对称点M'，点N关于射线OQ的对称

55、点N'，连接M'N、N'M即可求出答案；（2）关键轴对称性质求出即可解答：解：（1）如图所示画法：作点M关于射线OP的对称点M'，连接M'N交OP于点A作点N关于射线OQ的对称点N'，连接N'M交OQ于点B（2）答：AM+AN与BM+BN的大小关系是：AM+AN=BM+BN点评：本题主要考查对轴对称最短问题的理解和掌握，能正确画图是解此题的关键27如图所示，A、B两村在一条小河的同一侧，现要在河边建一水厂P向两村供水，若要使自来水厂P到两村的距离和最短，厂址应选在哪个位置最合适？（并保留作图痕迹）考点：作图应用与设计作图；轴对称-最短路线

56、问题3824674分析：作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交河岸于点P，连接AP，则有AP=CP，根据三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，可知点C与点B的所有连线中，线段CB最短，所以点P是满足要求的点解答：解：如图所示：厂址应选在P点点评：本题考查轴对称最短路线问题，解这类问题的关键是将实际问题抽象或转化为几何模型，把两条线段的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决28为庆祝60年国庆圣典，阳光中学八年级（2）班举行一次文艺晚会，桌子摆成两真线（如图：AO，OB）AO桌子上摆满苹果，BO桌子上摆满桔子，坐在C处的小华想先拿苹果再拿桔子，然后回到座位C处，AOB小于90度

57、，请你帮助他设计一条行走路线，使小华所走路程最短请作出路线图，并用字母表示所走路线（保留作图痕迹，不写作法、不必说明理由）考点：轴对称-最短路线问题3824674专题：作图题分析：要求小华所走路程最短路线，可作点C关于OA的对称点M，作点C关于OB的对称点N连接MN，交OA于点F，交OB于点E，连接CEF解答：解：如图，最短路线CEF点评：此题主要考查轴对称最短路线问题的作图关键是找到点C关于OA的对称点M，作点C关于OB的对称点N29如图，直线l表示草原上一条河的河堤，在河堤的一侧有两个村庄A、B，它们到河堤l的距离分别为AC=30km，BD=40km，两个村庄A、B之间的距离为50km有一

58、牧民骑马从A村出发到B村，途中要到河边给马饮一次水（1）在图中标出使牧民行驶距离最短的饮水点P；（2）若他在上午8点出发，以每小时30km的平均速度前进，则他能否在上午10点30分之前到达B村考点：轴对称-最短路线问题3824674专题：应用题分析：（1）要求牧民行驶距离最短的饮水点P，除非AP、BP的和为两定点之间的距离，也即是P在两定点A、B的连线上（2）先根据勾股定理求出AB的长，再求出所需时间，进行比较得出结论解答：解：（1）作点B关于直线l的对称点B，连接AB交直线l于点P（5分）（2）作AEBD于点E，则DE=AC=30km，BE=4030=10km，AE2=502102=2400，BE=70km，BP+PA=AB=10，（7分）又30×2.5=7510，（9分）故牧民不能在10点30分之前到达B村（10分）点评：（1）最短路径的数学问题这类问题的解答依据是“两点之间，