高中数学北师大版选修21练习：第二章5 夹角的计算 2 Word版含解析

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1、2019 年北师大版精品数学资料A.基础达标1已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面的方向向量和法向量，若 cosm，n22，则 l 与所成的角为()A30B45C135D150解析：选 B.因为 cosm，n22，所以m，n135，故 l 与所成的角为45.2设 ABCD，ABEF 都是边长为 1 的正方形，FA平面 ABCD，则异面直线 AC 与 BF所成的角等于()A45B30C90D60解析：选 D.设ADa，ABb，AFc，|a|b|c|1.ACABADab，BFBAAFbc.ACBF(ab)(cb)b2|AC|BF|cosAC， BF 所以 cosAC， BF12，故 AC 与

2、BF 所成的角为 60.3正四棱锥 SABCD 中，SAAB2，则直线 AC 与平面 SBC 所成角的正弦值为()A.36B.66C.33D.63解析：选 C.设平面 ABCD 的中心为 O，以OA， OB，OS为 x，y，z 轴正向建立坐标系，A( 2，0，0)，C( 2，0，0)，S(0，0， 2)，B(0，2，0)，SB(0，2， 2)，BC( 2， 2，0)，AC(2 2，0，0)，设 n(x，y，z)为平面 SBC 的法向量，由 nSB，nBC得yzx，可取 n(1，1，1)，cosAC，nACn|AC|n|33.故 AC 与平面 SBC 所成角的正弦值为|cosAC，n|33.4已

3、知正三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则 AB1与侧面 ACC1A1所成角的正弦值等于()A.64B.104C.22D.32解析：选 A.取 AC 中点为 D，连接 BD，得BD为平面 ACC1A1的法向量，设ABa，ACb，AA1c，则AB1ABBB1ac，BDBAADa12b，cosAB1， BDAB1BD|AB1|BD|64，故 AB1与平面 ACC1A1所成角的正弦值为|cosAB1， BD|64.5已知三条射线 PA，PB，PC 的两两夹角都是 60，则二面角 APBC 的余弦值为()A.13B.63C.32D.33解析：选 A.在 PA、PB、PC 上取点 D、E、

4、F 使得 PDPEPF，可知三棱锥 DPEF 为正四面体，取 PE 中点 H，连接 DH，FH，得DHF 为二面角 APBC 的平面角，设PFa，PEb，PDc，则HDHPPD12bc，HFHPPF12ba，cosHD， HFHDHF|HD|HF|13.6在空间中，已知二面角l的大小为23，n1，n2分别是平面，的法向量，则n1，n2的大小为_解析：因二面角l的大小是它们两个半平面的法向量夹角或夹角的补角当二面角l的大小为23时，则n1，n2的大小为23或23.答案：3或237如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，M，N 分别是 C1D1，CC1的中点，则直线 B1N 与平面 B

5、DM 所成角的正弦值为_解析：建立如图坐标系，D(0，0，0)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，M(0，1，2)，N(0，2，1)，DB(2，2，0)，DM(0，1，2)，B1N(2，0，1)，设n(x，y，z)为平面 BDM 的法向量，由 nDB0，nDM0，得yx2z，可令 n(2，2，1)，cosn， B1NnB1N|n|B1N|53，故 B1N 与平面 BDM 所成角的正弦值为|cosn， B1N|53.答案：538.已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为 3的正三角形若 P 为底面 A1B1C1的中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为_

6、解析：法一：34( 3)2AA194，得 AA1 3.易得APA1是 PA 与平面 ABC 所成角， A1P2332 31， tanAPA1AA1A1P31 3，故APA13.法二：令A1C1a，A1B1b，A1Ac，则|a|b|c| 3，PA1A1P13(ab)，PAPA1A1A13a13bc，|PA1|PA1PA11，|PA|PAPA2，cosPA1， PAPA1PA|PA1|PA|12，故 PA 与平面 ABC 所成角的大小为3.答案：39.在三棱柱 ABCA1B1C1中，A1A底面 ABC，ACB90，AA1ACBC2，D 为AB 中点(1)求证：BC1平面 A1CD；(2)求直线 A

7、A1与平面 A1CD 所成角的正弦值解：(1)证明：连接 AC1交 A1C 于 O 点，则 DO 为ABC1的中位线，故 DOBC1，又 DO平面 A1CD，BC1平面 A1CD，所以 BC1平面 A1CD.(2)以 CA，CB，CC1所在的直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则 A(2，0，0)，A1(2，0， 2)， D(1， 1， 0)， 设平面 A1DC 的法向量为 n(x， y， z)， 由nCD0，nA1D0，得xy0，xy2z0，令 x1 得 n(1，1，1)设直线 AA1与平面 A1CD 所成角为，则 sin|cosAA1，n|22 3|33.10 如图， 已知四边形 A

8、BCD 是边长为 1 的正方形， AF平面 ABCD， CE平面 ABCD.(1)证明：BDEF；(2)若 AF1，且二面角 BEFC 的大小为 30，求 CE 的长解：(1)证明：连接 AC，因为 AF平面 ABCD，CE平面 ABCD.所以 AFCE，所以四边形 ACEF 在同一平面内，因为 AF平面 ABCD，所以 AFBD，又因为 ABCD 为正方形，所以 ACBD，因为 AFACA，所以 BD平面 ACEF，所以 BDEF.(2)以点 A 为坐标原点，分别以 AB，AD，AF 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系(如图)设 CEa，则 B(1，0，0)，F(0，0，1)，E

9、(1，1，a)所以BF(1，0，1)，BE(0，1，a)设平面BEF的一个法向量为m(x，y，1)，得到mBF（x，y，1）（1，0，1）0，mBE（x，y，1）（0，1，a）0，所以 m(1，a，1)由(1)知平面 CEF 的一个法向量是 DB(1，1，0)，所以|cosDB，m|a1|2 a22cos 3032.所以 a2，即 CE2.B.能力提升1在正四棱锥 PABCD 中，PA2，直线 PA 与平面 ABCD 所成角为 60，E 为 PC 的中点，则异面直线 PA 与 BE 所成角为()A90B60C45D30解析：选 C.建立如图所示的空间直角坐标系，则PAO60，所以 OP 3，O

10、A1，AB 2，P(0，0， 3)，A(22，22，0)，B(22，22，0)，C(22，22，0)，E(24，24，32)，AP(22，22， 3)，BE(3 24，24，32)，cosAP， BE22 222，所以AP， BE45，即异面直线 PA 与 BE 所成角为 45.2.如图所示，SA底面 ABC，ABBC，DE 垂直平分 SC，且分别交 AC，SC 于 D，E，又 SAAB，SBBC，则以 BD 为棱，以 BDE 与 BDC 为面的平面角的度数为()A90B30C60D45解析：选 C.以 A 为原点，以 AC 所在直线为 y 轴，以 AS 所在直线为 z 轴，以和 AS， AC

11、 都垂直的直线 AF 为 x 轴， 建立空间直角坐标系设 SA1，因为 SA平面 ABC，所以AS是平面 ABC 的一个法向量因为 SAAB1，SB SA2AB2 2，又 SBBC，所以 BC 2，所以 AC 3.因为 DE 垂直平分 SC，所以 E 为 SC 的中点，又SBC 是等腰三角形，所以 BESC，所以 SC平面 EDB，所以ES是平面 EBD 的一个法向量由题设知 S(0，0，1)，E0，32，12 .所以AS(0，0，1)(0，0，0)(0，0，1)，ES(0，0，1)0，32，12 0，32，12 ，所以ESAS12，|ES|023221221，|AS| 0202121，所以

12、cosES， ASESAS|ES|AS|121112，所以ES， AS60.两法向量所成角或其补角为两平面所成角，所以平面 BDE 与平面 BDC 所成的角为 60.3空间四边形 OABC 中，OBOC，AOBAOC3，则 cosOA， BC的值是_解析：设OAa，OBb，OCc，则a，ba，c3，|b|c|.cosOA， BCOABC|OA|BC|a（cb）|OA|BC|acab|a|cb|0.答案：04把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当以 A，B，C，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为_解析：当 VDABC最大时，平面 DAC平面 AB

13、C.设 AC 的中点为 O，连接 OD，OB，建立坐标系，设|AB|a，B(22a，0，0)，D(0，0，22a)，OD(0，0，22a)，BD(22a，0，22a)，知OD为平面 ABC 的法向量，cosOD， BDODBD|OD|BD|22，故OD， BD45.答案：455.如图，在四棱锥 PABCD 中，PC底面 ABCD，底面 ABCD 为直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD2，E 是 PB 的中点(1)求证：平面 EAC平面 PBC；(2)若平面 PAC 与平面 EAC 夹角的余弦值为63，求直线 PA 与平面EAC 夹角的正弦值解：(1)证明：因为 PC平面 ABCD，A

14、C平面 ABCD，所以 ACPC，因为 AB2，ADCD1，所以 ACBC 2，所以 AC2BC2AB2，所以 ACBC，又 BCPCC，所以 AC平面 PBC，因为 AC平面 EAC，所以平面 EAC平面 PBC.(2)以 C 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则 C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，1，0)设 P(0，0，a)(a0)，则 E(12，12，a2)，CA(1，1，0)，CP(0，0，a)，CE(12，12，a2)，取 m(1，1，0)，则 mCPmCA0，所以 m 为平面 PAC 的法向量设 n(x，y，z)为平面 EAC 的法向量，则 nCAnCE0，即xy0，x

15、yaz0，取 xa，ya，z2，则 n(a，a，2)，依题意，|cosm，n|mn|m|n|aa2263，则 a2.于是 n(2，2，2)，设直线 PA 与平面 EAC 的夹角为，则 sin|cosPA，n|PAn|PA|n|23，即直线 PA 与平面 EAC 夹角的正弦值为23.6.(选做题)如图， 四棱锥 SABCD 的底面是正方形， SD平面 ABCD，SD2a，AD 2a，点 E 是 SD 上的点，且 DEa(02)(1)求证：对任意的(0，2，都有 ACBE；(2)设二面角 CAED 的大小为， 直线 BE 与平面 ABCD 所成的角为，若 tantan1，求的值解：(1)证明：以

16、D 为原点， DA， DC，DS的方向分别作为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0，0，0)，A( 2a，0，0)，B( 2a， 2a，0)，C(0， 2a，0)，E(0，0，a)所以AC( 2a， 2a，0)，BE( 2a， 2a，a)，所以ACBE2a22a20a0，所以 ACBE.(2)由(1)得EA( 2a，0，a)，EC(0， 2a，a)，BE( 2a， 2a，a)设平面 ACE 的法向量为 n(x，y，z)，则由 nEA，nEC得nEA0，nEC0，即2xz0，2yz0.取 z 2，得 n(， 2)易知平面 ABCD 与平面 ADE 的一个法向量分别为DS(0，0，2a)与DC(0， 2a，0)，所以 sin|DSBE|DS|BE|24，cos|DCn|DC|n|222.因为 0，2，0，又 tantan1，所以2，所以 sincos，所以24222，所以22，又因为(0，2，所以 2，即为所求