2021-2022新教材高中数学第三章圆锥曲线与方程章末检测（含解析）苏教版选择性必修第一册

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1、2021-2022 新教材高中数学第三章圆锥曲线与方程章末检测（含解析）苏教版选择性必修第一册(时间：120 分钟满分：150 分)一、 单项选择题(本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1抛物线y2x2的焦点坐标是()A.0，12B.12，0C.0，18D.18，0解析：选 C抛物线的标准方程为x212y，焦点在y轴上，焦点坐标为0，18 .2(2019全国卷)双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为 130，则C的离心率为()A2sin 40B2cos 40C1sin 50D1cos 50解析：选

2、D由题意可得batan 130，所以e1b2a21tan21301sin2130cos21301|cos 130|1cos 50.故选 D.3设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|F1F2|2，则该椭圆的方程为()A.x24y231B.x23y21C.x22y21D.x24y21解析：选 A|BF2|F1F2|2，a2c2，a2，c1，b 3.椭圆的方程为x24y231.4黄金分割起源于公元前 6 世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前 4 世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前 300 年前后欧几里得撰写几何原本时吸收了欧多

3、克索斯的研究成果， 进一步系统论述了黄金分割， 成为最早的有关黄金分割的论著 黄金分割是指将整体一分为二， 较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为512，把512称为黄金分割数已知双曲线x2（ 51）2y2m1 的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，则实数m的值为()A2 52B. 51C2D2 5解析：选 A在双曲线x2（ 51）2y2m1 中，a2( 51)2，b2m，所以c2a2b2( 51)2m.因为双曲线的实轴长与焦距的比值为黄金分割数512，则2a2cac512，所以a2c251223 52，所以（ 51）2（ 51）2m3 52，解得m2 52.故选 A.

4、5已知双曲线x22y2b21(b0)的左、右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为yx，点P( 3，y0)在双曲线上，则PF1PF2等于()A12B2C0D4解析：选 C由渐近线方程为yx，知双曲线是等轴双曲线，所以双曲线方程是x2y22， 于是两焦点分别是F1(2， 0)和F2(2， 0)， 且P( 3， 1)或P( 3， 1) 不妨取点P( 3，1)， 则PF1(2 3， 1)，PF2(2 3， 1) 所以PF1PF2(2 3， 1)(2 3，1)(2 3)(2 3)10.6设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2，0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FMFN()A5B6C7D8

5、解析： 选 D过点(2， 0)且斜率为23的直线的方程为y23(x2)， 由y23（x2） ，y24x消y得x25x40，解得x1 或x4，所以x1，y2或x4，y4.不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以FM(0，2)，FN(3，4)，所以FMFN8.故选 D.7.我们把由半椭圆x2a2y2b21(x0)与半椭圆y2b2x2c21(xbc0)，如图所示，其中点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点若F0F1F2是边长为 1 的等边三角形，则a，b的值分别为()A.72，1B. 3，1C5，3D5，4解析：选 A|OF2|b2c212，|OF0|c 3|OF2|32，b1，a2b2

6、c213474，得a72.8.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1x轴，PF2AB，则此椭圆的离心率是()A.12B.55C.13D.22解析： 选 B由题意设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)， 则点P的坐标为c，b2a，A(a，0)，B(0，b)，F2(c，0)，于是kABba，kPF2b22ac，由kABkPF2得b2c，故a 5c，eca55.二、 多项选择题(本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分 在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得

7、 0分)9已知曲线C：mx2ny21，则下列说法正确的有()A若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B若mn0，则C是圆，其半径为nC若mn0，则C是两条直线解析：选 ACD对于选项 A，mn0，01m0，方程mx2ny21 可变形为x2y21n，该方程表示半径为1n的圆，错误；对于选项 C，mn0，方程mx2ny21 变形为ny21y1n，该方程表示两条直线，正确综上选 A、C、D.10 已知椭圆的长轴长为 10， 其焦点到中心的距离为 4， 则这个椭圆的标准方程为()A.x2100y2841B.x225y291C.x284y21001D.y225x291解析：选 BD因为椭圆的长轴长为 10

8、，其焦点到中心的距离为 4，所以2a10，c4，解得a5，b225169.所以当椭圆焦点在x轴时，椭圆方程为x225y291；当椭圆焦点在y轴时，椭圆方程为x29y2251.11已知椭圆C1：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且MF1MF20，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点若F1PF23，则下列各项正确的是()A.e2e12Be1e232Ce21e2252De22e211解析：选 BD因为MF1MF20 且|MF1|MF2|，所以MF1F2为等腰直角三角形设椭圆的半焦距为c，

9、则cb22a，所以e122.在焦点三角形PF1F2中， F1PF23， 设|PF1|x， |PF2|y， 双曲线C2的实半轴长为a，则x2y2xy4c2，xy2 2c，|xy|2a，故xy43c2，故(xy)2x2y2xyxy8c23，所以(a)22c23，即e262，故e2e1 3，e1e232，e21e222，e22e211，故选 B、D.12 设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2.若曲线上存在点P满足|PF1| |F1F2| |PF2|432，则曲线的离心率等于()A.12B2C.32D.23解析：选 AC设圆锥曲线的离心率为e，由|PF1|F1F2|PF2|432，知若圆锥曲线为椭圆，

10、则由椭圆的定义，得e|F1F2|PF1|PF2|34212；若圆锥曲线为双曲线，则由双曲线的定义，得e|F1F2|PF1|PF2|34232.综上，所求的离心率为12或32.故选 A、C.三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13以双曲线x24y2121 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_解析：双曲线焦点(4，0)，顶点(2，0)，故椭圆的焦点为(2，0)，顶点(4，0)故椭圆方程为x216y2121.答案：x216y212114已知二次曲线x24y2m1，当m2，1时，该曲线的离心率的取值范围是_解析：m2，1，曲线方程化为x24y2m1，曲线

11、为双曲线，e4m2.m2，1，52e62.答案：52，6215抛物线y28x的焦点到双曲线x216y291 渐近线的距离为_，双曲线右焦点到抛物线准线的距离为_解析：抛物线y28x的焦点F(2，0)，双曲线x216y291 的一条渐近线方程为y34x，即 3x4y0，则点F(2，0)到渐近线 3x4y0 的距离为|3240|324265.双曲线右焦点的坐标为(5，0)，抛物线的准线方程为x2，所以双曲线右焦点到抛物线准线的距离为7.答案：65716已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率等于 2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为_解析：由题意可得eca2，则c2a，其

12、中一个焦点为F(c，0)，渐近线方程为bxay0，所以bcb2a2bccb1，又c24a2a2b2，所以a213，所以所求双曲线的方程为 3x2y21.答案：3x2y21四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)命题p：方程x22my2m61 表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：方程x2m1y2m11 表示双曲线(1)若命题p为真命题，求m的取值范围；(2)若命题q为假命题，求m的取值范围解：(1)根据题意，得m60，2m0，（m6）2m，解得 0m2，故命题p为真命题时，m的取值范围为(0，2)(2)若命题q为真命题，

13、则(m1)(m1)0，解得1m1，故命题q为假命题时，m的取值范围为(，11，)18(本小题满分 12 分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P32， 6，求抛物线的方程和双曲线的方程解：依题意，设抛物线的方程为y22px(p0)，点P32， 6在抛物线上，62p32.p2，所求抛物线的方程为y24x.双曲线的左焦点在抛物线的准线x1 上，c1，即a2b21，又点P32， 6在双曲线上，94a26b21，解方程组a2b21，94a26b21，得a214，b234或a29，b28(舍去)

14、所求双曲线的方程为 4x243y21.19(本小题满分 12 分)给出下列条件：焦点在x轴上；焦点在y轴上；抛物线上横坐标为 1 的点A到其焦点F的距离等于 2；抛物线的准线方程是x2.对于顶点在原点O的抛物线C：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C的方程是y24x，并说明理由解：因为抛物线C：y24x的焦点F(1，0)在x轴上，所以条件适合，条件不适合又因为抛物线C：y24x的准线方程为：x1，所以条件不适合题意当选择条件时，|AF|xA1112，此时适合题意故选择条件时，可得抛物线C的方程是y24x.20(本小题满分 12 分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，

15、一条渐近线方程为yx，且过点(4， 10)(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求MF1MF2.解：(1)双曲线的一条渐近线方程为yx，设双曲线方程为x2y2(0)把(4， 10)代入双曲线方程得 42( 10)2，6，所求双曲线方程为x26y261.(2)由(1)知双曲线方程为x26y261，双曲线的焦点为F1(2 3，0)，F2(2 3，0)点M在双曲线上，32m26，m23.MF1MF2(2 33，m)(2 33，m)(3)2(2 3)2m2330.21(本小题满分 12 分)设F1，F2分别为椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交

16、于A，B两点，直线l的倾斜角为 60，F1到直线l的距离为 2 3.(1)求椭圆C的焦距；(2)如果AF22F2B，求椭圆C的方程解：(1)设焦距为 2c，由已知可得F1到直线l的距离3c2 3，故c2.所以椭圆C的焦距为 4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意知y10，y20，直线l的方程为y 3(x2)联立y 3（x2） ，x2a2y2b21得(3a2b2)y24 3b2y3b40.解得y1 3b2（22a）3a2b2，y2 3b2（22a）3a2b2.因为AF22F2B，所以y12y2，即3b2（22a）3a2b22 3b2（22a）3a2b2，得a3，而a2b24，所以b

17、 5，故椭圆C的方程为x29y251.22(本小题满分 12 分)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率e63，过点A(0，b)和B(a，0)的直线与原点的距离为32.(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(1，0)，若直线ykx2(k0)与椭圆交于C，D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点，请说明理由解：(1)直线AB的方程为：bxayab0.依题意ca63，aba2b232，解得a 3，b1.椭圆方程为x23y21.(2)假设存在这样的k值，由ykx2，x23y230，得(13k2)x212kx90.(12k)236(13k2)0.解得k1 或k1.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x212k13k2，x1x2913k2.而y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4.要使以CD为直径的圆过点E(1，0)，当且仅当CEDE时成立，则y1x11y2x211.即y1y2(x11)(x21)0.(k21)x1x2(2k1)(x1x2)50.将式代入整理解得k76.经验证k76使成立综上可知，存在k76，使得以CD为直径的圆过点E.