2017-2018学年高中数学第二章圆锥曲线3柱面与平面的截面学案北师大版选修4-1

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1、 3柱面与平面的截面 自主学习 1 圆柱面可以看成是一个矩形 ABC以一边CD所在的直线为轴旋转一周后 AB边所形成 的曲面. 2 平面上一条曲线 C绕着一条直线I旋转一周后所形成的曲面称为旋转面. 3 用垂直于圆柱轴的平面截圆柱，所得交线是圆._ 4 当截面3与圆柱面的轴不垂直时，所得交线为椭圆 合作探究 将两个球放入圆柱内，使它们位于平面 丫的两侧，且每一个球既与圆柱相切，又与平 面丫相切那么平面 丫与圆柱面的截线是什么？ 提示：椭圆 对应学生用书 P36 2 例 1 A. C. P37 椭圆的度量性质 已知平面a与一圆柱的母线成 45。角，那么该平面与圆柱截口图形的离心率 B. 1 D.

2、 思路点拨 本题主要考查椭圆的度量性质，解决此题时只需结合椭圆的性质求解即 可. 精解详析设圆柱的底半径为 r,由题意知平面与圆柱截口图形为椭圆， 短轴长为 2b =2r, 则 2a=前 4? = 2 2b= 2 2r, a= 2r, c=詁a2- b2= r 离心率e= C=- a 2 对应学生用3 截面的关系综合应用相关性质去求解. 精解详析 连接AB过G作GH BG, H为垂足，则四边形 是矩形. GH= AB 设Pi, F2分别是Q, Q的平行射影，连接 PiPa, PiQ, RQ, 则PiQ綊RQ. PQQP2是平行四边形. QQ= PR,即卩QQ等于底面直径， GH= AB= QQ

3、= 2b.又由切线长定理得 GA= GFi= GF2, GFi = GB, 答案C 方法方法规律规律小结小结 * * 椭圆是圆柱与平面的截口， 因此椭圆的度量性质与圆柱的底面半径、 相关. 截面与母线的夹角 卜 “I 片勿片勿印卅突敲印卅突敲 1.已知圆柱的底面半径为 r,平面a与圆柱母线的夹角为 30,贝陀们截口椭圆的焦 距是（ ） A. 2 3r B. 4 3r C. 3r D. 3r 解析：选 A 如图，过G2作GH丄AD H为垂足，则 GH= 2r. 在 Rt GG2H 中， GG sin30 =2r x 2= 4r, 长轴 2a= GG= 4r，短轴 2b= 2r. 焦距 2c= 2

4、 a2- b2= 2x . 3r = 2 3r. 如图，已知球 O, Q分别切平面 3于点Fi, F2.GG= 2a, 垂直且互相平分，求证： FiFa= 2 a2 b2. 思路点拨 本题主要考查椭圆性质的应用. 解决时要结合图形， 例 2 QQ= 2b, GG与 QQ 依据圆柱、双球及其 椭圆的性质的应用 4 GFi GR= GB GA. 又 GA= BH GFi GK GB BH FiF2= GH 在 Rt GGH 中， GH= JGG GH =寸 2a 2- 2b 2 = 2 b2. 方法方法* *规律规律小结小结 如图将双球放入圆柱内，可得: (1) 圆柱形物体的斜截口是椭圆. (2)

5、 椭圆的长轴长为 AD短轴长为圆的直径.焦点为切点 Fi, Fz.焦距 2c = 2pa2- b2 = F1F2. 解决并应用此类问题时，要仔细考查双球与圆柱及截面的关系， 常用到切线长定理、三 角形相似、全等、解直角三角形等相关知识. 卜 M 2.如图，已知 PF : PR= 1 : 3, AB= 12, GG= 20，求 PQ 5 解：设椭圆长轴为 2a,短轴为 2b,焦距为 2c. 2 2 C 4 由已知可得 a= 10, b= 6, c = a b = 8, e = -=. 由椭圆定义 PF+ PF2= KK2 = GG= 20. 又 PF : PF2= 1 : 3, PF= 5, P

6、F2 = 15. 由离心率定义， PF 4 PQ= 5. . 25 PC=. 4 本课时考点常以客观题形式考查平面与柱面的截线的几何性质及应用难度中等. 考题印证 已知圆柱底面半径为护，平面3与圆柱母线夹角为 60,在平面3上以 GG 所在直 线为横轴，以GG 中点为原点，建立平面直角坐标系，求平面 3与圆柱截口椭圆的方程. 命题立意 本题主要考查利用柱面与平面的截线性质及椭圆的定义求方程问题. 自主尝试如图，过G作GH BC于H 圆柱底面半径为,3, AB= 2 3. 四边形ABHG是矩形, 6 AB= GH= 2 诵诵. . 在 Rt GG2H 中，7 A. 2 B. 2 - 1 2 C.

7、 2- 2 D. 2 1 GH 2 寸 3 GG= - = 4 sin / GGH 3 2 又椭圆短轴长等于底面圆的直径 2 3, 2 2 椭圆的标准方程为 x+y=1. 4 3 Ml , 由由 、选择题 1 用一个平面去截一个圆柱面，其截线是 （ ） A.圆 C.两条平行线 解析：选 D 平面与轴垂直时截线为圆；不垂直时截线可为椭圆；平面平行于轴自上而 下时是两平行线. 2.已知平面3与一圆柱斜截口 （椭圆）的离心率为 牙,则平面3与圆柱母线的夹角是 ( ) A. 30 C. 45 对应P38 B.椭圆 D.以上均可能 B. 60 D. 90 解析：选 A 设3与母线夹角为 ，贝 V cos

8、 = 3.如图所示，过 Fi作FiQL GG,A QFF2为等腰直角三角形，则椭 圆的离心率为（ 8 解析：选 D 设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为 2a,2b,2c. QF1F2是等腰直角三角形， QF= FiF2= 2c, QF= 2 2c. 由椭圆的定义得QF+ QF= 2a, 2c 2c 1 :e=亦=2T2c = =2 = 2 -1. 4两圆柱底面半径分别为 R, r(Rr)，平面 丫与它们的母线的夹角分别为 a , 3 ( a 3 e2 B. eie2 C. ei= e2 D.无法确定 解析：选 A / ei = cos a , e2= cos 3 又a 3 cos 3，二 ei

9、e2. 二、填空题 5. 椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是 _ . 一、 ci i 解析：设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为 2a,2b, 2c，由a= 2c,得-=7,即e= a 2 2 答案：i 6. 如果方程x2+ ky2= 2 表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 _ . X2 寸 亠一宀 2 解析：丁+77= i 表示焦点在y轴上的椭圆，贝U 2，则 0v kv i. 2 2 k k 答案：(0,i) 7. 已知平面a截圆柱体，截口是一条封闭曲线，且截面与底面所成的角为 30,此 曲线是 _ ，它的离心率为 _ . i 解析：曲线是椭圆，e=. i

10、 答案：椭圆 &已知圆柱底面半径为 b,平面a与圆柱母线夹角为 30,在圆柱与平面交线上有一 点P到一准线l i的距离是 3b,则点P到另一准线12对应的焦点F2的距离是 _ 解析：由题意知，椭圆短轴为 2b,长轴长 2a= 4 = 4b, sin 309 c= 4b b = 3b. - d=|b. 又 PF+ P吐 2a= 4b, P吐 4b PF= 4b |b = |b. 10如图所示，设两焦点的距离 FF2= 2c,两端点GG= 2a,求证：l 1与丨2之间的距离 e= 3b 2b (或 e = cos30 设P到Fi的距离为d,则 答案: 5b 1 三、解答题 9如图所示，圆柱

11、被平面 a所截，已知AC是圆柱口在平面 a 上最长投影线段，BD是最短的投影线段，EG= FH (1)比较EF, GH勺大小； (2)若圆柱的底面半径为 r，截面解: (1) EG/ FH且 EG= FH 四边形EFHG是平行四边 EF= GH 过D作DPI AC于P, DP 在 Rt CDP中, CD= sin / DCP CD 2r sin 0 2， 10 2a11 证明：设椭圆上任意一点 PF PF2 c e=PQ= PQ=a， PF = CPQ, P= CPQ. a a 由椭圆定义PF+ PF= 2a, apQ+彳叫2a. 11.如图，设两焦点的距离 FIF2= 2c,两端点距离 GG2= 2a,截面3 为0 . 证明：过G作GH丄BC于H,贝U GA= BH 由切线长定理得 GFi = GB, GA= GFI = GF2, GFi GF2= GB BH GH= Fi F2= 2c. 在厶 PQ燃口 GGH 中，/ QPK=Z GGH=QKP=Z GHG= 90, PQQA GGH. PK GH 2c c PQ=时 2a= a=cos =e. 又由切线长定理得 PK = PF, PQ+ PQ= 即l 1与I 2之间的距离为 Q, 与圆柱母线的夹角 P,过P作PQ丄11于Q,过P作PQ丄l 2于 求证: 12 PF PK c PQ PQ a 屮 即 e = cos b