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1、新教材适用高中必修数学 数学 必修 5(人教 A 版) 1.2.2 空间距离问题空间距离问题 基础达标基础达标 1江岸边有一炮台高江岸边有一炮台高 30 米，江中有两条船，由炮台顶部侧得俯米，江中有两条船，由炮台顶部侧得俯角分别为角分别为 45 和和 60 ，而且两条船与炮台底部连线成，而且两条船与炮台底部连线成 30 角，则两条船角，则两条船相距相距( ) A10 3米米 B100 3米米 B20 30米米 D30 米米 解析：解析： 设炮台顶部为设炮台顶部为 A，两条船分别为，两条船分别为 B、C，炮台底部为，炮台底部为 D，如图，如图，可知可知BAD45 ，CAD60 ，BDC30 ，A
2、D30. 分别在分别在 RtADB，RtADC 中，求得中，求得 DB30，DC30 3. 在在DBC 中，由余弦定理得中，由余弦定理得 BC2DB2DC22DB DCcos 30 ， 解得解得 BC30. 答案：答案：D 2.飞机沿水平方向飞行，在飞机沿水平方向飞行，在 A 处测得正前下方地面固定目标处测得正前下方地面固定目标 C的俯角为的俯角为 30 ，向前飞行，向前飞行 10 000 米，到达米，到达 B 处，此时测得正前下方地处，此时测得正前下方地面目标面目标 C 的俯角为的俯角为 75 ，这时飞机与地面目标的水平距离为，这时飞机与地面目标的水平距离为( ) A2500( 31)米米
3、B2500( 31)米米 C.4000 米米 D4000 2 米米 解析：解析：如下图所示，如下图所示，CD 为为 AB 边上的高，边上的高， BD 即为飞机与目标即为飞机与目标 C 的水平距离的水平距离 由外角定理，由外角定理，ACB75 30 45 . 在在ABC 中，由正弦定理得：中，由正弦定理得：10 000sin 45BCsin 30， BC5 000 2. 又在又在 RtACD 中，中，BDBC cos 75 5 000 214( 6 2)2 500( 31) 注：注：cos 75 14( 6 2) 答案：答案：B 3在在 200 m 的山顶上，测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为的
4、山顶上，测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为30 ，60 ，则塔高为，则塔高为( ) A.4003 m B.40033 m C.20033 m D.2003 m 解析：解析：如下图所示，由题意知如下图所示，由题意知PBC60 ， ABP90 60 30 ，又，又BPA60 30 30 ， ABPA.又在又在 RtPBC 中，中，BC200 tan 30 ， 在在 RtPAD 中，中，PABCcos 304003. PAAB，AB4003.故选故选 A. 答案：答案：A 4海上有海上有 A、B 两个两个小岛相距小岛相距 10 海里，从海里，从 A 岛望岛望 C 岛和岛和 B 岛岛成成 60 的视角
5、，从的视角，从 B 岛望岛望 C 岛和岛和 A 岛成岛成 75 视角，则视角，则 B、C 间的距离间的距离是是( ) A10 3海里海里 B.1036海里海里 C5 2海里海里 D5 6海里海里 解析：解析：在在ABC 中，中，C180 60 75 45 ， 由正弦定理得：由正弦定理得：BCsin 6010sin 45， BC5 6.故选故选 D. 答案：答案：D 5在一座在一座 20 m 高的观测台测得对面一水塔塔顶的仰角为高的观测台测得对面一水塔塔顶的仰角为 60 ，塔底的俯角为塔底的俯角为 45 ，观测台底部与塔底在同一地平面，那么这座水塔，观测台底部与塔底在同一地平面，那么这座水塔的高
6、度是的高度是_m. 答案：答案：20(1 3) 巩固提高巩固提高 6 如右图所示，为测一树的高度，在地面上选取如右图所示，为测一树的高度，在地面上选取 A、B 两点，从两点，从 A、B 两点分别测得树梢的仰角为两点分别测得树梢的仰角为 30 、45 ，且，且 A、B 两点之间的距离为两点之间的距离为60 m，则树的高度，则树的高度 h 为为( ) A(3030 3)m B(3015 3)m C(1530 3)m D(153 3)m 答案：答案：A 7一蜘蛛沿东北方向爬行一蜘蛛沿东北方向爬行 x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转捕捉到一只小虫，然后向右转105 ，爬行，爬行 10 cm 捕捉到另
7、一只小虫，这时它向右转捕捉到另一只小虫，这时它向右转 135 爬行可回爬行可回到它的出发点，那么到它的出发点，那么 x_cm. 解析：解析：如下图所示，在如下图所示，在ABC 中，中，ABx，BC10， ABC180 105 75 ， BCA180 135 45 . BAC180 75 45 60 .由正弦定理得：由正弦定理得： xsin 4510sin 60，x10 63. 答案：答案：10 63 8(2013 陕西卷陕西卷)设设ABC 的内角的内角 A，B，C 所对的边分别为所对的边分别为 a，b，c，若，若 bcos Cccos Basin A，则，则ABC 的形状为的形状为( ) A锐
8、角三角形锐角三角形 B直角三角形直角三角形 C钝角三角形钝角三角形 D不确定不确定 解析：解析： 因为因为 bcos Cccos Basin A， 所以， 所以 sin Bcos Csin Ccos Bsin Asin A，又，又 sin Bcos Csin Ccos Bsin(BC)sin A联立两联立两式得式得 sin Asin Asin A. 所以所以 sin A1，A2，选，选 B. 答案：答案：B 9为测某塔为测某塔 AB 的高度，在一幢与塔的高度，在一幢与塔 AB 相距相距 30 m 的楼的楼顶的楼的楼顶C 处测得塔顶处测得塔顶 A 的仰角为的仰角为 30 ，测得塔基，测得塔基 B
9、 的俯角为的俯角为 45 ，则塔，则塔 AB的高度为多少米？的高度为多少米？ 解析：解析：如下图所示，依题意如下图所示，依题意ACE30 ，ECB45 ，DB30，所以，所以 CE30， BE30，AE10 3，所以，所以 AB(3010 3)米米 10. 在某海滨城市附近海面有在某海滨城市附近海面有一台风， 据监测， 当前台风中心位于城一台风， 据监测， 当前台风中心位于城市市 O(如右图所示如右图所示)的东偏南的东偏南 cos 210方向方向 300 km 的海面的海面 P 处，处，并以并以 20 km/h 的速度向西偏北的速度向西偏北 45 方向移动，台风侵袭的范围为圆形方向移动，台风侵
10、袭的范围为圆形区域，当前半径为区域，当前半径为 60 km，并以，并以 10 km/h 的速度不断增大，问几小时的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？时？ 解析：解析： 设经过设经过 t 小时台风中心移动到小时台风中心移动到 Q 点时， 台风边沿恰经过点时， 台风边沿恰经过 O城，由题意可得：城，由题意可得： OP300，PQ20t，OQr(t)6010t，OPQ.因为因为 cos 210，45 ， 所以所以 sin 7 210，cos 45， 由余弦定理可得：由余弦定理可得： OQ2OP2P
11、Q22 OP PQ cos ， 即即(6010t)23002(20t)2230020t45， 即即 t236t2880，解得解得： t112，t224，t2t112， 答：答：12 小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风侵袭的时间小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风侵袭的时间有有 12 小时小时 1.利用正弦定理和余弦定理来解空间距离问题时，要学会审题利用正弦定理和余弦定理来解空间距离问题时，要学会审题及根据题意画方位图， 要懂得从所给的背景资料中进行加工、 抽取主及根据题意画方位图， 要懂得从所给的背景资料中进行加工、 抽取主要因素，进行适当的简化要因素，进行适当的简化 2测量高度的一般方法是选择能观察到测量物体的两点，分别测量高度的一般方法是选择能观察到测量物体的两点，分别测量仰角或俯角， 同时测量出两个观测点的距离， 再利用解三角形的测量仰角或俯角， 同时测量出两个观测点的距离， 再利用解三角形的方法进行计算方法进行计算.
【最新教材】人教A版必修五第一章解三角形课时训练：1.2.2空间距离问题含答案
