中考数学总复习 第15讲 直角三角形（基础讲练+锁定考试目标+导学必备知识+探究重难方法）（含解析） 北师大版

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1、第15讲直角三角形考纲要求备考指津1.了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定2.掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题.直角三角形是中考考查的热点之一，题型多样，主要考查以下几个方面：(1)由直角三角形的三边关系来求解有关线段的长度；(2)由给定的线段长确定三角形的形状；(3)运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题考点一直角三角形的性质1直角三角形的两锐角互余2直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方考点二直角三角形的判定1有一个角等于90°的三角形是直角三角形2有两角互余的

2、三角形是直角三角形3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形4勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形1如图，在ABC中，ABAC8，AD是底边上的高，E为AC中点，则DE_.2下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是()A3,4,5B6,8,10C，2， D5,12,13一、勾股定理【例1】 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC6 cm，BC8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长解：设CDx，由折叠得ACDAEDAEAC6 cm，AEDC90&

3、#176;，DECDx.在RtABC中，AC6 cm，BC8 cm，AB10(cm)EBABAE1064(cm)，BDBCCD(8x) cm，在RtDEB中，由勾股定理得DE2BE2DB2.x242(8x)2，解得x3 cm.CD的长为3 cm.勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边，当我们只知道直角三角形的一边时，如果可以找到另外两边的关系，也可通过列方程的方法求出另外两条边有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6 m，8 m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长二、勾股定理的逆定理【例2】 如图，四边形ABCD

4、中，A90°，AB3，AD4，CD13，CB12，求四边形ABCD的面积解：在RtABD中，BD5，在BCD中，CD13，CB12，BD5，CB2BD2CD2.DBC90°.S四边形ABCDSABDSDBCAB·ADBC·BD×3×4×12×563036.题目中如果知道一个三角形的三边时，首先要根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形，是直角三角形，就可以利用直角三角形的性质，使问题易于解决三、勾股定理的实际应用【例3】 如图所示，铁路上A，B两站(视为直线上两点)相距14 km，C，D为两村庄(可看为两个点)，D

5、AAB于A，CBAB于B，已知DA8 km，CB6 km，现要在铁路上建一个土特产品收购站E，使C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少km处？分析：因为DAAB于A，CBAB于B，在AB上找一点可构成两个直角三角形，我们可想到通过勾股定理列方程进行求解解：设E站应建在距A站x km处，根据勾股定理有82x262(14x)2，解之得x6.所以E站应建在距A站6 km处勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它能建立三条边之间的等量关系，为列方程提供依据1(2012广东广州)在RtABC中，C90°，AC9，BC12，则点C到AB的距离是()A B C D2(2011安徽)如图，

6、四边形ABCD中，BADADC90°，ABAD2，CD，点P在四边形ABCD上，若P到BD的距离为，则点P的个数为()A1 B2 C3 D43(2011黑龙江哈尔滨)如图，在RtABC中，ACB90°，点D是斜边AB的中点，DEAC，垂足为E，若DE2，CD2，则BE的长为_4(2011山东日照)如图，已知点D为等腰直角ABC内一点，CADCBD15°，E为AD延长线上的一点，且CECA(1)求证：DE平分BDC；(2)若点M在DE上，且DCDM，求证：MEBD1满足下列条件的ABC，不是直角三角形的是()Ab2c2a2Babc345CCABDABC1213152

7、一个直角三角形两边的长分别为15,20，则第三边的长是()A5 B25C5或25 D无法确定3如图，在RtABC中，ACB90°，CDAB于点D已知BC8，AC6，则线段CD的长为()A10 B5C D4直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8，现将ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则的值是()A B C D5如图，已知ABC中，AB5 cm，BC12 cm，AC13 cm，那么AC边上的中线BD的长为_cm. 6将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则1的度数为_7图甲是我国古代著名的“赵

8、爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的在RtABC中，若直角边AC6，BC5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是_图甲图乙8如图，已知ABC和ECD都是等腰直角三角形，ACBDCE90°，D为AB边上一点求证：(1)ACEBCD；(2)AD2AE2DE2.9在ABC中，ABAC，CGBA交BA的延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B(1)在图中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与C

9、G满足的数量关系，然后证明你的猜想；(2)当三角尺沿AC方向平移到图所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DEBA于点E，此时请你通过观察、测量DE，DF与CG的长度，猜想并写出DEDF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；(3)当三角尺在(2)的基础上沿AC方向继续平移到图所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，(2)中的猜想是否仍然成立？(不用说明理由)参考答案基础自主导学自主测试142.C规律方法探究变式训练解：在RtABC中，AC8，BC6，由勾股定理得，AB10，扩充部分为RtACD，扩成等腰三角形ABD，应分以下三种

10、情况：(1)如图1，当ABAD10时，可求得CDCB6，故ABD的周长为32 m.(2)如图2，当ABBD10时，可求得CD4，由勾股定理得AD4，故ABD的周长为(204) m.(3)如图3，当AB为底时，设ADBDx，则CDx6，由勾股定理得(x6)282x2，则x，故ABD的周长为 m.图1图2图3知能优化训练中考回顾1A2B344证明：(1)在等腰直角ABC中，CADCBD15°.BADABD45°15°30°.BDAD.BDCADC.DCADCB45°.由BDMABDBAD30°30°60°，EDCDAC

11、DCA15°45°60°，BDMEDC.DE平分BDC.(2)如图，连接MC. DC=DM，且MDC=60°，MDC是等边三角形，即CM=CD.又EMC180°DMC180°60°120°，ADC180°MDC180°60°120°，EMCADC.又CECA，DACCEM15°.ADCEMC.MEADDB.模拟预测1D2.C3.C4.C 56.56.75°7.768证明：(1)ACBDCE90°，ACEBCD.CECD，CACB，ACEBCD.(2)由(1)得CAEB，CAEBAC90°.AD2AE2DE2.9解：(1)BFCG；证明：在ABF和ACG中，FG90°，FABGAC，ABAC，ABFACG(AAS)BFCG.(2)DE+DF=CG；证明：过点D作DHCG于点H(如图)DEBA于点E，G=90°，DHCG，四边形EDHG为矩形DE=HG，DHBG.GBC=HDC.AB=AC，FCD=GBC=HDC.又F=DHC=90°，CD=DC，FDCHCD(AAS)DF=CH.GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG.(3)仍然成立7