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1、+2019年数学高考教学资料+课时限时检测(二十四)正弦定理、余弦定理的应用举例(时间：60分钟满分：80分)命题报告考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难测量距离问题1,4,710测量高度问题2,86测量角度问题59综合应用311,12一、选择题(每小题5分，共30分)1已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得ABC120，则A，C两地的距离为()A10 kmB10 kmC10 km D10 km【解析】由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosABC10040021020700，AC10.【答案】D2要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的
2、仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为()图389A10 m B20 mC20 m D40 m【解析】设电视塔的高度为x m，则BCx，BDx.在BCD中，根据余弦定理得3x2x2402240xcos 120，即x220x8000，解得x20(舍去)或x40.故电视塔的高度为40 m.【答案】D3一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时()A5海里 B5海里C10海里 D10海里【解析】如图，依题意有BA
3、C60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在直角三角形ABC中，得AB5，于是这艘船的速度是10(海里/小时)【答案】C4一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50方向直线航行，30分钟后到达B处在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B、C两点间的距离是()图3810A10海里 B10海里C20海里 D20海里【解析】由已知可得，BAC30，ABC105，AB20，从而ACB45.在ABC中，由正弦定理，得BCsin 3010.【答案】A5(2014南昌模拟)如图3811所示，当甲船位于A处时获悉，在其正
4、东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东30角的方向沿直线前往B处营救，则sin 的值为()图3811A. B.C. D.【解析】连接BC.在ABC中，AC10，AB20，BAC120，由余弦定理，得BC2AC2AB22ABACcos 120700，BC10，再由正弦定理，得，sin .【答案】A6某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为10 m(如图3812所示)，则旗杆的高度为()图3812A1
5、0 m B30 mC10 m D10 m【解析】如图，在ABC中，ABC105，所以ACB30.由正弦定理得，所以BC2020(m)，在RtCBD中，CDBCsin 602030(m)【答案】B二、填空题(每小题5分，共15分)7已知A船在灯塔C北偏东80处，且A船到灯塔C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40处， A，B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔C的距离为_km.【解析】如图，由已知得ACB120，AC2，AB3.设BCx，则由余弦定理得AB2BC2AC22BCACcos 120，即3222x222xcos 120即x22x50，解得x1.【答案】18(2014长沙模拟)如图38
6、13，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB_.图3813【解析】设ABh，在ABC中tan 60，BCh，在BCD中，DBC1801530135，由正弦定理得，即，解得h15.【答案】159(2014昌平模拟)如图3814所示，已知树顶A离地面米，树上另一点B离地面米，某人在离地面米的C处看此树，则该人离此树_米时，看A，B的视角最大图3814【解析】过C作CFAB于点F，设ACB，BCF.由已知得AB5(米)，BF4(米)，AF9(米)则tan()，tan ，tan ().当且仅
7、当FC，即FC6时，tan 取得最大值，此时取得最大值【答案】6三、解答题(本大题共3小题，共35分)10(10分)(2014济南模拟)如图3815，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处图3815(1)求渔船甲的速度；(2)求sin 的值【解】(1)依题意知，BAC120，AB12海里，AC10220(海里)，BCA，在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos 120784.解得BC2
8、8(海里)所以渔船甲的速度为14(海里/时)(2)由(1)知BC28海里，在ABC中，BCA，由正弦定理得.即sin .11(12分)(2014烟台模拟)某单位设计了一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD再用一根9米长的材料弯折而成，要求A和C互补，且ABBC图3816(1)设ABx米，cos Af(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围；(2)求四边形ABCD面积的最大值【解】(1)在ABD中，由余弦定理得BD2AB2AD22ABADcos A.同理，在CBD中，BD2BC2
9、CD22BCCDcos C因为A和C互补，所以cos Acos C，所以AB2AD22ABADcos ABC2CD22BCCDcos CBC2CD22BCCDcos A.即x2(9x)22x(9x)cos Ax2(5x)22x(5x)cos A，解得cos A，即f(x)，x(2,5)(2)四边形ABCD的面积为S(ABADBCCD)sin Ax(5x)x(9x) x(7x) .记g(x)(x24)(x214x49)，x(2,5)，则g(x)2x(x214x49)(x24)(2x14)2(x7)(2x27x4)令g(x)0，解得x4(x7或x舍去)易知函数g(x)在(2,4)上单调递增，在(4
10、,5)上单调递减因此g(x)的最大值为g(4)129108.所以S的最大值为6，即四边形ABCD的面积的最大值为6 m2.12(13分)(2014郑州模拟)某城市有一块不规则的绿地如图3817所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为ABC、ABD，经测量ADBD14，BC10，AC16，CD.图3817(1)求AB的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建设费用最低，请说明理由【解】(1)在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C16210221610cos C，在ABD中，由余弦定理及CD整理得AB2AD2BD22ADBDcos D1421422142cos C，由得：1421422142cos C16210221610cos C，整理可得，cos C，又C为三角形的内角，所以C60，又CD，ADBD，所以ABD是等边三角形，故AB14，即A、B两点的距离为14.(2)小李的设计符合要求理由如下：SABDADBDsin D，SABCACBCsin C，因为ADBDACBC，所以SABDSABC，由已知建造费用与用地面积成正比，故选择ABC建造环境标志费用较低即小李的设计符合要求高考数学复习精品高考数学复习精品
高三数学理,山东版一轮备课宝典 【第3章】课时限时检测24
