高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式二导学案新人教A版必修4

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1、人教版高中数学必修精品教学资料3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)学习目标1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用.知识点一两角和与差的正切公式思考1怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？答案 tan(),分子分母同除以cos cos ,便可得到.思考2由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？答案 用替换tan()中的即可得到.梳理名称简记符号公式使用条件 两角和的正切T()tan(),均不等于k(kZ)两角差的正切T()tan(),均不等

2、于k(kZ)知识点二两角和与差的正切公式的变形(1)T()的变形：tan tan tan()(1tan tan ).tan tan tan tan tan()tan().tan tan 1.(2)T()的变形：tan tan tan()(1tan tan ).tan tan tan tan tan()tan().tan tan 1.类型一正切公式的正用例1(1)已知tan 2,tan(),则tan 的值为 .答案3解析tan tan()3.(2)已知,均为锐角,tan ,tan ,则 .答案解析因为tan ,tan ,所以tan()1.因为,均为锐角,所以(0,),所以.反思与感悟(1)注意用

3、已知角来表示未知角.(2)利用公式T()求角的步骤：计算待求角的正切值.缩小待求角的范围,特别注意隐含的信息.根据角的范围及三角函数值确定角.跟踪训练1已知是第四象限角,且sin,则tan .答案解析由题意,得cos,tan.tantan.类型二正切公式的逆用例2(1) ；(2) .答案(1)(2)1解析(1)原式tan(45°15°)tan 60°.(2)原式tan(30°75°)tan 45°1.反思与感悟注意正切公式的结构特征,遇到两角正切的和与差,构造成与公式一致的形式,当式子出现,1,这些特殊角的三角函数值时,往往是“由值变

4、角”的提示.跟踪训练2求下列各式的值：(1)；(2).解(1)原式tan(45°75°)tan(30°)tan 30°.(2)原式.类型三正切公式的变形使用例3(1)化简：tan 23°tan 37°tan 23°tan 37°；(2)若锐角,满足(1tan )(1tan )4,求的值.解(1)方法一tan 23°tan 37°tan 23°tan 37°tan(23°37°)(1tan 23°tan 37°)tan 23°t

5、an 37°tan 60°(1tan 23°tan 37°)tan 23°tan 37°.方法二tan(23°37°),tan 23°tan 37°tan 23°tan 37°,tan 23°tan 37°tan 23°tan 37°.(2)(1tan )(1tan )1(tan tan )3tan tan 4,tan tan (1tan tan ),tan().又,均为锐角,0°<<180°,60

6、76;.反思与感悟两角和与差的正切公式有两种变形形式：tan ±tan tan(±)(1tan tan )或1tan ·tan .当±为特殊角时,常考虑使用变形形式,遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果.跟踪训练3在ABC中,AB,且tan Atan Btan Atan B,则角C的值为()A. B. C. D.答案A解析tan Atan Btan Atan Btan(AB)·(1tan Atan B)(tan Atan B1).若1tan Atan B0,则cos Acos Bsin Asin

7、B0,即cos(AB)0.0<AB<,AB与题设矛盾.由得tan(AB),即tan C.又0<C<,C.1.若tan 3,tan ,则tan()等于()A. B. C.3 D.3答案A解析tan().2.已知cos ,且,则tan等于()A. B.7 C. D.7答案D解析由cos ,且,得sin ,所以tan ,所以tan7.故选D.3.已知AB45°,则(1tan A)(1tan B)的值为()A.1 B.2 C.2 D.不确定答案B解析(1tan A)(1tan B)1(tan Atan B)tan Atan B1tan(AB)(1tan Atan B)

8、tan Atan B11tan Atan Btan Atan B2.4.已知A,B都是锐角,且tan A,sin B,则AB .答案解析B为锐角,sin B,cos B,tan B,tan(AB)1.又0<AB<,AB.5.已知3,tan()2,则tan(2) .答案解析由条件知3,则tan 2.tan()2,tan()2,故tan(2)tan().1.公式T(±)的结构特征和符号规律(1)公式T(±)的右侧为分式形式,其中分子为tan 与tan 的和或差,分母为1与tan tan 的差或和.(2)符号变化规律可简记为“分子同,分母反”.2.应用公式T(

9、7;)时要注意的问题(1)公式的适用范围由正切函数的定义可知,、(或)的终边不能落在y轴上,即不为k(kZ).(2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换如tan 1,tan ,tan 等.特别要注意tan(),tan().(3)公式的变形应用只要用到tan ±tan ,tan tan 时,有灵活应用公式T(±)的意识,就不难想到解题思路.特别提醒：tan tan ,tan tan ,容易与根与系数的关系联系,应注意此类题型.课时作业一、选择题1.若tan ,tan(),则tan 等于()A. B.C. D.答案A解析tan tan().2.tan 23&

10、#176;tan 97°tan 23°tan 97°的值为()A.2 B.2C. D.0答案C解析tan(23°97°)tan 120°,tan 23°tan 97°tan 23°tan 97°,原式tan 23°tan 97°(tan 23°tan 97°).3.已知tan(),tan,则tan的值为()A. B.C. D.答案A解析因为()(),所以tan.4.A,B,C是ABC的三个内角,且tan A,tan B是方程3x25x10的两个实数根,则A

11、BC是()A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.无法确定答案A解析tan Atan B,tan A·tan B,tan(AB),tan Ctan(AB),C为钝角,即ABC为钝角三角形.5.若tan 28°tan 32°a,则tan 28°tan 32°等于()A.a B.(1a)C.(a1) D.(a1)答案B解析tan(28°32°),tan 28°tan 32°(1a).6.设向量a(cos ,1),b(2,sin ),若ab,则tan等于()A. B.C.3 D.3答案B解析由a

12、83;b2cos sin 0,得tan 2.tan.7.在ABC中,tan Atan Btan C3,tan2Btan A·tan C,则B等于()A.30° B.45°C.120° D.60°答案D解析由公式变形得tan Atan Btan(AB)(1tan Atan B)tan(180°C)(1tan Atan B)tan C(1tan Atan B)tan Ctan Atan Btan C.tan Atan Btan Ctan Ctan Atan Btan Ctan Ctan Atan Btan C3.又tan2Btan Ata

13、n C,tan3B3,tan B,B60°.二、填空题8.已知tan ,则的值是 .答案9. .答案解析原式tan(75°15°)tan 60°.10.已知,均为锐角,且tan ,则tan() .答案1解析tan ,tan tan tan 1tan ,tan tan tan tan 1,tan tan 1tan tan ,1,tan()1.11.如图,在ABC中,ADBC,D为垂足,AD在ABC的外部,且BDCDAD236,则tan BAC . 答案解析ADBC且BDCDAD236,tan BAD,tan CAD,tan BACtan(CADBAD).1

14、2.若(tan 1)(tan 1)2,则的最小正值为 .答案三、解答题13.已知tan,tan2,求：(1)tan的值；(2)tan()的值.解(1)tantan.(2)tan()tan23.四、探究与拓展14.如果tan ,tan 是方程x23x30两根,则 .答案解析.15.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,.(1)求tan()的值；(2)求2的值.解由条件得cos ,cos .,为锐角,sin ,sin .因此tan 7,tan .(1)tan()3.(2)tan 2tan(),tan(2)1.又,为锐角,0<2<,2.