高中数学 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.1 函数的概念 2.1.2 函数的表示方法学案 苏教版必修1

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1、212函数的表示方法1在实际情境中，会根据不同的要求选择恰当的方法表示函数2理解同一函数可以用不同的方法表示1函数的表示方法(1)列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法(2)解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法，这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式(3)图象法：用图象来表示两个变量之间函数关系的方法1列表法表示函数的优点在于不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值这种方法常应用到实际生产和生活中2图象法表示函数的优点是通过图象可以直接观察出函数的变化趋势气象台应用自动记录仪器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象及股市走向图等，就是用图象法表示函数关系的3

2、用解析法表示函数关系的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值【做一做11】客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了05 h，然后以80km/h的速度匀速行驶1 h到达丙地下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是_答案：【做一做12】某种杯子每只05元，买x只，所需钱数为y元，分别用列表法、图象法、解析法将y表示成x(x1,2,3,4)的函数解：(1)列表法：x/只1234y/元051152(2)图象法(如下图)(3)解析法：y05x，x1,2,3,42分段函数在

3、定义域内不同部分上，有不同的解析表达式像这样的函数通常叫做分段函数分段函数是一个函数而不是几个函数生活中有很多可以用分段函数描述实际问题的模型，如出租车的计费、个人所得税纳税额等分段函数的图象由几个不同部分组成，作分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出分段函数的定义域应为各段上自变量取值的并集，如函数y的定义域为x|x0分段函数定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段函数值集合的并集，在作图时，要特别注意每段端点的虚实【做一做2】在实际问题中，常常使用表格，有些表格描述了两个变量的函数关系，比如，国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应邮资如下表：信函质量m/g0m20

4、20m4040m6060m8080m100邮资M/元0.801.602.403.204.00画出函数图象并写出它的解析式解：图象如图解析式为：1如何求函数解析式？剖析：对于基本初等函数，通过待定系数法求之，即利用方程思想对于实际应用问题，通常是研究自变量、函数与其他量之间的等量关系，从而将函数用自变量和其他量之间的关系表示出来，但不要忘记确定自变量的取值范围如已知等腰三角形的周长为12，则底边长x与腰长y之间的函数关系是y6x，其中x(0,6)2如何理解分段函数？剖析：(1)分段函数的表达式是分段表示的，即函数与自变量的关系不是只满足一个式子，而是在不同范围内有不同的对应法则，这样的函数关系是

5、分段函数(2)分段函数的定义域应为各段上自变量取值的并集，这一点与函数y的定义域的求法不相同(3)作分段函数的图象时，特别注意端点处点的虚实，如函数y的图象为(4)分段函数的表示法是解析法的一种形式函数y不能写成y226x,0x11或y44，x11分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以其图象也是由几部分组成的，可以是由光滑的曲线段组成，也可以是孤立的点或几段线段组成；求分段函数的函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一区间，就用哪一区间上的解析式题型一 求函数解析式【例1】(1)已知函数f(x1)x23x2，求f(x)；(2)已知f(4)x8，求f(x2)；

6、(3)已知函数yf(x)满足2f(x)2x，xR且x0，求f(x)；(4)已知一次函数f(x)满足ff(x)4x1，求f(x)分析：求解析式的方法较多，如配凑法、换元法、方程法、待定系数法等，关键在于弄清对于“x”而言，“f”是怎样的对应法则，至于选择什么符号表示自变量没有关系要特别注意正确确定中间变量的取值范围，如(2)中设4t4，否则就不能正确确定f(x)的定义域解：(1)方法一(换元法)：令tx1，则xt1，代入得f(t)(t1)23(t1)2，f(t)t25t6，即f(x)x25x6方法二(配凑法)：f(x1)x23x2(x1)25x1(x1)25(x1)6，f(x)x25x6(2)方

7、法一(配凑法)：f(4)x8(4)216，f(x)x216(x4)f(x2)x416(x2，或x2)方法二(换元法)：设4t4，则t4，x(t4)2，f(t)(t4)28(t4)t216f(x)x216(x4)f(x2)x416(x2，或x2)(3)(方程法)xR，且x0，由2f(x)2x，将x换成，则换成x，得f(x)2，得3f(x)4x，即f(x)(4)(待定系数法)f(x)是一次函数，设f(x)axb(a0)，则ff(x)f(axb)a(axb)ba2xabb4x1或f(x)2x或f(x)2x1反思：对于已知fg(x)的表达式，求f(x)的表达式的问题，一般方法是换元法，即设g(x)t，

8、解出用t表示x的表达式，代入求得f(x)的解析式在用换元法解这类题时，特别要注意正确确定中间变量t的取值范围若题目中已知函数f(x)的函数类型，一般采用待定系数法，如第(4)小题，由于已知函数f(x)是一次函数，故可设f(x)axb(a0)题型二 分段函数的图象与应用【例2】试作出函数y|x1|和y|x1|x2|的图象分析：y|x1|y|x1|x2|解：y|x1|的图象如图(1)y|x1|x2|的图象如图(2)反思：画带绝对值符号的简单函数的图象的基本方法是先求函数的定义域，然后化简函数解析式，就是去绝对值符号(1)带一个绝对值符号的函数，根据绝对值的意义去绝对值符号(2)带两个或两个以上绝对

9、值符号的问题，常用“零点分段法”去绝对值符号，从而把函数写成分段函数的形式，然后作图如本题(2)，令x10，得x1；令x20，得x22和1把数轴分成三部分(如下图所示)【例3】设函数f(x)则不等式f(x)f(1)的解集是_解析：因f(1)124163，所以原不等式可化为f(x)3作出原函数的图象，如下图所示再作出直线y3，其交点坐标分别为(3,3)，(1,3)和(3,3)，从图象观察即得答案：(3,1)(3，)反思：作为填空题，可利用数形结合的方法求解不等式，此方法直观、简洁、准确题型三 实际应用问题【例4】通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用

10、的时间讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散分析结果表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力，f(x)的值越大，表示接受的能力越强，x表示提出和讲授概念的的讲授时间(单位：分钟)，可有以下的公式：f(x)(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一道数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的讲授时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题？解：(1)开讲10分钟后，学生的接受能力值为59，达到最强，并维持6分钟(2)

11、f(5)0.1522.654353.5；f(20)32010747，所以开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强一些(3)当0x10时，f(x)01x226x4301(x13)243169，f(x)maxf(10)59令55f(x)59，解得6x10所以6x10时，f(x)55,59，即开讲后10分钟里，学生只有后4分钟接受能力在55以上，然后有6分钟接受能力维持在59；当16x30时，f(x)3x107令f(x)55，解得x，即在这段时间里，学生只有分钟接受能力维持在55以上综上所述，开讲后学生共有46分钟接受能力在55以上，故老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题反思

12、：实际问题往往都有一个陌生的情境，它需要我们仔细阅读题意如果题中给的数量比较多，可以逐个理解和研究，然后把实际问题转化为数学问题，建立函数关系进行求解1设函数f(x)则的值为_解析：因为f(2)22224，所以，1答案：2某城市出租车按如下方法收费：起步价6元，可行3 km(含3 km)，3 km后到10 km(含10 km)每走1 km加价0.5元，10 km后每走1 km加价0.8元，某人坐出租车走了12 km，他应交费_元解析：把收费y元看成所走路程x km的函数，当0x3时，应交6元；当3x10时，应交6(x3)0.54.50.5x(元)；当x10时，应交4.50510(x10)081

13、.50.8x(元)当x12时，y1.5081211.1(元)答案：11.13某客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米05元，如果超过100千米，超过部分按每千米04元定价，则客运票价y(元)与行程数x(千米)之间的函数关系式是_解析：根据行程是否大于100千米来求出解析式，由题意，得当0x100时，y0.5x，当x100时，y1000.5(x100)0.4100.4x答案：y已知函数h(x)f(x)g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，16，h(1)8，求h(x)及其定义域分析：本题中已知函数的模型，用待定系数法求解析式解：设f(x)k

14、1x(k10)，g(x)(k20)，则h(x)k1x由题意得解得所以h(x)3x，定义域是(，0)(0，)5已知函数f(x)(1)画出函数的图象；(2)求f(1)，f(1)的值分析：分别作出f(x)在x0，x0，x0各段上的图象，合在一起得函数的图象解：(1)如图所示(2)f(1)121，f(1)16EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375