实数基本理论的研究论文

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1、湖 南 科 技 大 学毕 业 设 计（ 论 文 ）题目实数基本理论的研究作者朱文顶学院数学与计算科学学院专业数学与应用数学学号0707010219指导教师刘丽娟二一一年五月二十日湖 南 科 技 大 学毕业设计（论文）任务书 数学与计算科学学院 院 数学与应用数学 系（教研室）系（教研室）主任: （签名） 年 月 日学生姓名: 朱文顶 学号: 0707010219 专业: 数学与应用数学 1 设计（论文）题目及专题： 实数基本理论的研究 2 学生设计（论文）时间：自 2011 年 2 月 22 日开始至 2011 年 5 月 20 日止3 设计（论文）所用资源和参考资料：1华东师范大学数学系.数

2、学分析第三版（上）.高等教育出版社.2001.2田国华.数学分析辅导及习题全解.人民日报出版社.2004.3李成章 黄玉民.数学分析第二版（上）.科学出版社.2007.4 设计（论文）应完成的主要内容：（1）给出实数完备性定理的内容；（2）给出实数完备性定理的证明；（3）给出实数完备性定理的等价证明；（4）给出实数完备性定理的简单应用。5 提交设计（论文）形式（设计说明与图纸或论文等）及要求： 提交一份8000字以上的纸质文档和电子文档，要求打印格式按湖南科技大学关于本科生毕业论文的要求，论文内容要求格式正确，论证充分，而且具有一定的创新。6 发题时间： 2010 年 12 月 30 日指导教

3、师： （签名）学 生： （签名）湖 南 科 技 大 学毕业设计（论文）指导人评语主要对学生毕业设计（论文）的工作态度，研究内容与方法，工作量，文献应用，创新性，实用性，科学性，文本（图纸）规范程度，存在的不足等进行综合评价指导人： （签名）年 月 日 指导人评定成绩： 湖 南 科 技 大 学毕业设计（论文）评阅人评语主要对学生毕业设计（论文）的文本格式、图纸规范程度，工作量，研究内容与方法，实用性与科学性，结论和存在的不足等进行综合评价评阅人： （签名）年 月 日 评阅人评定成绩： 湖 南 科 技 大 学毕业设计（论文）答辩记录日期： 学生： 学号： 班级： 题目： 提交毕业设计（论文）答辩委

4、员会下列材料：1 设计（论文）说明书共页2 设计（论文）图 纸共页3 指导人、评阅人评语共页毕业设计（论文）答辩委员会评语：主要对学生毕业设计（论文）的研究思路，设计（论文）质量，文本图纸规范程度和对设计（论文）的介绍，回答问题情况等进行综合评价答辩委员会主任： （签名）委员： （签名）（签名）（签名）（签名） 答辩成绩： 总评成绩： 实数基本理论的研究摘要实数是数学中重要的一部分，也是整个数学分析研究的基础，因此，实数基本理论在整个数学分析中占有十分重要的地位。在实数基本理论中，实数的几个基本定理体现了实数的一种特性实数的完备性（或者说实数的连续性）。本文主要介绍了实数基本理论中的实数完备性

5、及实数完备性定理的证明和等价证明，并给出了实数完备性定理的简单应用。关键词：实数；实数完备性；等价证明。ABSTRACT Real number was an important part of mathematics , but also the foundation of mathemat-ical analysis, therefore, fundamental theories of real numbers play very important position in the mathematical analysis . In the fundamental theories o

6、f real numbers, several fundamental theorems embodie a kind characteristic of real numbers - completeness of real numbers (or continuity of real numbers). This papers mainly introduce the completeness of real numbers in fundamental theories of real numbers and completeness theorems proof and equival

7、ent proof, and give simple application of the real completeness theorem.Keywords:real numbers; completeness of real numbers; equivalent proof.目录第一章 引言- 1 -第二章 预备知识- 2 -定义2.1：上界（下界）- 2 -定义2.2：上确界- 2 -定义2.3：下确界- 2 -定义2.4：单调数列- 2 -定义2.5：（数列）极限及其性质- 2 -定义2.6：闭区间套- 3 -定义2.7： 聚点- 3 -定义2.8：无限开覆盖（有限开覆盖）- 3

8、-定义2.9：一致连续性- 4 -定义2.10：连续函数的局部有界性- 4 -定义2.11：连续函数的局部保号性- 4 -第三章 实数基本性质- 5 -第四章 实数完备性- 6 -4.1 确界原理- 6 -4.2 单调有界定理- 6 -4.3 区间套定理- 6 -4.4 有限覆盖定理- 6 -4.5 聚点定理- 6 -4.6 柯西收敛准则- 6 -第五章 实数完备性定理的证明- 7 -5.1 确界原理证明- 7 -5.2 单调有界定理证明- 8 -5.3 区间套定理证明- 8 -5.4 有限覆盖定理证明- 9 -5.5 聚点定理证明- 10 -5.6 柯西收敛准则证明- 10 -第六章 实数完

9、备性定理的相互证明- 13 -6.1 确界原理单调有界定理（同单调有界定理的证明）- 13 -6.2 单调有界定理区间套定理（同区间套定理的证明）- 13 -6.3 区间套定理有限覆盖定理（同有限覆盖定理的证明）- 14 -6.4 有限覆盖定理聚点定理- 15 -6.5 聚点定理柯西收敛准则- 15 -6.6 柯西收敛准则确界原理- 16 -第七章 应用- 18 -7.1 有界性定理（应用有限覆盖定理）- 18 -7.2 最大、最小值定理（应用确界原理）- 19 -7.3 介值定理（应用确界原理）- 19 -7.4 一致连续性定理（应用有限覆盖定理）- 20 -第八章 结论- 21 -参考文献

10、- 22 -致谢- 23 - 22 -湖南科技大学本科生毕业设计（论文）第1章 引言实数是数学中重要的一部分，也是整个数学分析研究的基础，因此，实数基本理论在整个数学分析中占有十分重要的地位。在实数基本理论中，实数的几个基本定理体现了实数的一种特性实数的完备性（或者说实数的连续性）。本文将介绍实数的完备性的六个定理及其等价证明，以及实数完备性定理的简单应用。.有理数和无理数统称为实数。有理数可用分数形式表示，也可用有限十进小数或无限十进循环小数来表示；无理数为无限十进不循环小数。在研究中，我们可作如下规定：对于有限小数（包括正整数），当时，其中，记，而当为正整数时，则记，例如2.001记为2.

11、00099999.;对于负有限小数（包括负整数），则先将表示为无限小数，再在所得无限小数之前加负号，例如-8记为 -7.9999.;又规定数0表示为0.000.。这样，任何一个实数都可用一个确定的无限小数来表示。第2章 预备知识定义2.1：上界（下界）设为中一个数集。若存在数，使得对一切，都有，则称为有上界（下界)的数集，数称为的一个上界（下界）。定义2.2：上确界设是中一个数集。若数满足：（i）对一切，有，即是的上界；（ii）对任何，则称数为数集的上确界，记作。定义2.3：下确界设是中一个数集。若数满足：（i）对一切，有，则是的下界；（ii）对任何，则称数为数集的下确界，记作。定义2.4：单

12、调数列若数列的各项满足关系式，则称数列为递增（递减）数列。递增数列和递减数列统称为单调数列。定义2.5：（数列）极限及其性质设为数列，为定数。若对任给的正数，总存在正整数，使得当时有，则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作，读作“当趋于无穷大时，的极限等于或趋于”。唯一性 若数列收敛，则它只有一个极限。有界性 若数列收敛，则为有界数列，即存在正数，使得对一切正整数有。保号性 若，则对任何，存在正整数，使得当时有。保不等式性 设与均为收敛数列。若存在正数，使得当时有，则。迫敛性 设收敛数列，都以为极限，数列满足：存在正数，当时有，则数列收敛，且。定义2.6：闭区间套设闭区间列 ，具有如下性质

13、：（1）；(2.6.1)（2），(2.6.2)则称为闭区间套，或简称区间套。定义2.7： 聚点设为数轴上的点集，为定点（它可以属于，也可以不属于），若的任何邻域内都含有中无穷多个点，则称为点集的一个聚点。定义2.8：无限开覆盖（有限开覆盖）设为数轴上的点集，为开区间的集合（即的每一个元素都是形如的开区间）。若中任何一点都含在中至少一个开区间内，则称为的一个开覆盖，或称覆盖。若中开区间的个数是无限（有限）的，则称为的一个无限开覆盖（有限开覆盖）。定义2.9：一致连续性设为定义在区间上的函数。若对任给的，存在，使得对任何，只要，就有，则称函数在区间上一致连续。定义2.10：连续函数的局部有界性 若

14、函数在点连续，则在某内有界。定义2.11：连续函数的局部保号性 若函数在点连续，且，则对任何正数，存在某，使得对一切有。第3章 实数基本性质实数作为数学分析中重要的一部分，它具有如下一些主要性质： 3.1 实数集对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数。 3.2 实数集是有序的，即任意两实数必满足下述三个关系之一：。 3.3 实数的大小关系具有传递性，即。 3.4 实数具有阿基米德（Archimedes）性，即对任何，若,则存在正整数,使得。 3.5 实数集具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且即有有理数，也有无理

15、数。 3.6 如果在一直线（通常画成水平直线）上确定一点O作为原点，指定一个方向为正向（通常把指向右方的方向规定为正向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴。任一实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数。于是，实数集与数轴上的点有着一一对应关系。第4章 实数完备性实数基本定理以不同的方式反映了实数的一种特性，即实数的完备性（或实数的连续性）。下面介绍实数完备性定理的基本内容：4.1 确界原理 设为非空数集。若有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界。4.2 单调有界定理 在实数系中，有界的单调数列必有极限。4.3 区间套定理 若是一个区间套，则在实数系中存在

16、唯一的一点，使得，即。 4.3区间套定理的推论 若是区间套所确定的点，则对任给的，存在，使得当时有。4.4 有限覆盖定理 设为闭区间的一个（无限）开覆盖，则从中可选出有限个开区间来覆盖。4.5 聚点定理 实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点。 4.5致密性定理（聚点定理的推论） 有界数列必含有收敛子列。4.6 柯西收敛准则 数列收敛的充要条件是：对任给的，存在正整数，使得当时有 第5章 实数完备性定理的证明5.1 确界原理证明证： 我们只证明关于上确界的结论，下确界的结论可类似的证明。为叙述的方便起见，不妨设含有非负数。由于有上界，故可找到非负整数，使得1） 对于任何有；2） 存在，使。对半

17、开区间作10等分，分点为，则存在0,1,2,.,9中的一个数，使得1) 对于任何有；2) 存在，使。再对半开区间作10等分，则存在0,1,2,.,9中的一个数，使得1） 对于任何有；2） 存在，使。继续不断地10等分在前一步骤得到的半开区间，可知对任何，存在0,1,2,.,9中的一个数，使得1） 对于任何有；(5.1.1)2） 存在，使。将上述步骤无限的进行下去，得到实数。以下证明。为此只需证明：(i)对一切有；(ii)对任何，存在。倘若结论(i)不成立，即存在使，则可找到的位不足近似值，使，从而得，但这与不等式（5.1.1）相矛盾。于是(i)得证。现设，则存在使的位不足近似，即。根据数的构造

18、，存在使，从而有，即得到。这证明了（ii）成立。5.2 单调有界定理证明证：不妨设为有上界的递增数列。由确界原理，数列有上界，记。下面证明就是的极限。事实上，任给，按上确界的定义，存在数列中某一项，使得。又由的递增性，当时有。另一方面，由于是的一个上界，故对一切都有。所以当时有，这就证得。同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界。5.3 区间套定理证明证：由，为递增有界数列，依单调有界定理，有极限，且有，(5.3.1)同理，递减有界数列也有极限，并按区间套的条件有，(5.3.2)且，(5.3.3)由（5.1.1）式和（5.3.3）式得。(5.3.4)最后证明满足（5.3.4）的

19、是唯一的。设数也满足，(5.3.5)则由（5.3.4）式有，(5.3.6)由区间套的条件2（2.6.2）得，(5.3.7)故有。5.4 有限覆盖定理证明证：用反证法 假设定理的结论不成立，即不能用中有限个开区间来覆盖。将等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖。记这个子区间为，则且。再将等分为两个子区间，同样其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖，记这个子区间为，则且。重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个区间列，它满足，即是区间套，且其中每一个闭区间都不能用中有限个开区间来覆盖。由区间套定理，存在唯一的一点。由于是的一个开覆盖，故存在开区间，使。于是，由区

20、间套定理的推论(4.3)，当充分大时有。这表明只须用中一个开区间就能覆盖，与挑选时的假设“不能用中有限个开区间来覆盖”相矛盾。从而证得必存在属于的有限个开区间能覆盖。5.5 聚点定理证明证：因为有界点集，故存在，使得，记。现将等分为两个子区间。因为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有中无穷多个点，记此子区间为，则，且。再将等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有中无穷多个点，取出这样的一个子区间，记为，则，且。将此等分区间的步骤无限的进行下去，得到一个区间列，它满足，即是区间套，且其中每一个闭区间都含有中无穷多个点。由区间套定理，存在唯一的一点，于是由区间套定理的推论（4.3），对任给的

21、从而内含有中无穷多个点，按定义(2.7聚点定理)，为的聚点。5.6 柯西收敛准则证明证：必要性 设。由数列极限的定义，对任给的，存在，当时有，因而。充分性 按假设，对任给的，存在，使得对一切有，即在区间内含有中几乎所有的项（这里及以下，为叙述简单起见，我们用“中几乎所有的项”表示“中除有限项外的所有项”）。据此，令，则存在，在区间内含有中几乎所有的项。记这个区间为。再令，则存在，在区间内含有中几乎所有的项。记，它也含有中几乎所有的项，且满足。继续依次令，照以上方法得一闭区间列，其中每一个区间都含有中几乎所有的项，且满足，即是区间套。由区间套定理，存在唯一的一个数。现在证明数就是数列的极限。事实

22、上，由区间套定理的推论（4.3），对任给的存在，使得当时有。因此在内含有中除有限项外的所有项，这就证得。第6章 实数完备性定理的相互证明前面我们给出了实数完备性的六个定理，及各个定理的证明。事实上，在实数系中这六个定理是相互等价的，即其中任何一个命题都可推出其他命题。下面我们将给出这六个定理的等价证明。为了简化证明过程，我们可采用下面的证明方法：确界原理单调有界定理区间套定理有限覆盖定理聚点定理柯西收敛准则确界原理。这样便可证得六个定理的等价性。我们也可以做出六个定理之间的相互证明，这里不作详述。6.1 确界原理单调有界定理（同单调有界定理的证明）证：不妨设为有上界的递增数列。由确界原理，数列

23、有上界，记。下面证明就是的极限。事实上，任给，按上确界的定义，存在数列中某一项，使得。又由的递增性，当时有。另一方面，由于是的一个上界，故对一切都有。所以当时有，这就证得。同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界。6.2 单调有界定理区间套定理（同区间套定理的证明）证：由，为递增有界数列，依单调有界定理，有极限，且有，(6.3.1)同理，递减有界数列也有极限，并按区间套的条件有，(6.3.2)且，(6.3.3)由（5.1.1）式和（5.3.3）式得。(6.3.4)最后证明满足（5.3.4）的是唯一的。设数也满足，(6.3.5)则由（5.3.4）式有，(6.3.6)由区间套的条件

24、2（2.6.2）得，(6.3.7)故有。6.3 区间套定理有限覆盖定理（同有限覆盖定理的证明）证：用反证法 假设定理的结论不成立，即不能用中有限个开区间来覆盖。将等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖。记这个子区间为，则且。再将等分为两个子区间，同样其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖，记这个子区间为，则且。重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个区间列，它满足，即是区间套，且其中每一个闭区间都不能用中有限个开区间来覆盖。由区间套定理，存在唯一的一点。由于是的一个开覆盖，故存在开区间，使。于是，由区间套定理的推论(4.3)，当充分大时有。这表明只须用中一个

25、开区间就能覆盖，与挑选时的假设“不能用中有限个开区间来覆盖”相矛盾。从而证得必存在属于的有限个开区间能覆盖。6.4 有限覆盖定理聚点定理证：设有界无穷点集，显然若含有聚点，必含于内，现假设内的每一点均不是的聚点，则任意，存在，使得为有限点集。记,则为的一个开覆盖。由有限开覆盖定理，存在中有限个开区间，使得，由于为有限点集，故由上式将导出为有限点集，与假设矛盾，所以在内至少含有的一个聚点。6.5 聚点定理柯西收敛准则证：充分性：若收敛，设收敛点为，则由极限定义，任给，存在正整数，当时，于是，当时，柯西条件成立。必要性：设数列满足：任给，存在正整数，任意有，要证收敛。取，存在正整数，任意有，由此易

26、知有界（前面的有限项显然有界），由聚点定理的直接推论致密性定理，存在收敛子列，设其极限为，任意，存在正整数，任意有，即。在上式中令，由极限的保不等式性有。这就证明了数列收敛。6.6 柯西收敛准则确界原理证： 设为非空有上界数集。由实数的阿基米德性，对任何正数，存在正整数，使得为的上界，而不是的上界，即存在，使得。分别取则对每一个正整数，存在相应的，使得为的上界，而不是的上界，故存在，使得。（6.6.1）又对正整数，是的上界，故有。结合（6）式得；同理有。从而得。（6.6.2）于是，对任给的，存在，使得当时有。（6.6.3）由柯西收敛准则，数列收敛。记。（6.6.4）现在证明就是的上确界。首先，

27、对任何和正整数有，由（6.6.4）式得，即是的一个上界。其次，对任何，由及（6.6.4）式，对充分大的n同时有。又因不是的上界，故存在，使得。结合上式得。这说明是的一个上确界。同理可证：若为非空有下界数集，则必存在下确界。第7章 应用上面我们介绍了实数完备性的六个定理及定理间的等价证明。下面我们用实数的完备性定理证明闭区间上连续函数的基本性质。首先介绍闭区间上连续函数的基本性质。有界性定理 若函数在闭区间上连续，则在上有界。最大、最小值定理 若函数在闭区间上连续，则在上有最大值与最小值。介值性定理 设函数在闭区间上连续，且。若为介于与之间的任何实数，则至少存在一点，使得。一致连续性定理 若函数

28、在闭区间上连续，则在上一致连续。下面我们将用不同的方法分别证明上述定理。7.1 有界性定理（应用有限覆盖定理）证：由连续函数的局部有界性，对每一点，都存在领域及正数，使得。考虑开区间集，显然是的一个无限开覆盖。由有限覆盖定理，存在的一个有限子集覆盖了，且存在正整数，使得对一切有。令，则对任何，x必属于某。这就证得在上有界。7.2 最大、最小值定理（应用确界原理）证：由7.1证得在上有界，故由确界原理，的值域有上确界，记为。以下我们证明：存在，使。倘若不然，对一切都有。令，易见函数在上连续，故在上有界。设是的一个上界，则。从而推得。但这与为的上确界（最小上界）相矛盾。所以必存在，使，即在上有最大

29、值。同理可证在上有最小值。7.3 介值定理（应用确界原理）证：不妨设。令，则也是上的连续函数，且。于是定理的结论转化为：存在，使得。这个简化的情形称为根的存在性定理。记。显然为非空有界数集（），故由确界原理，有下确界，记。因，由连续函数的局部保号性，存在，使得在内，在内。由此易见，即。下证。倘若，不妨设，则又由局部保号性，存在，使在其内，特别有。但这与相矛盾，故必有。7.4 一致连续性定理（应用有限覆盖定理）证：由在上的连续性，任给对每一点，都存在，使得当时有。（7.4.1）考虑开区间集合，显然是的一个开覆盖。由有限覆盖定理，存在一个有限子集覆盖了。记。对任何，必属于中某开区间，设即。此时有，

30、故由（7.4.1）式同时有。由此得。所以在上一致连续。第8章 结论实数完备性是实数的重要性质，也是数学学习与研究的重要基础。本文给出了实数完备性定理的六个定理的内容，并对定理进行了证明，从而进一步证明了实数完备性定理的等价性。对于等价性的证明，本文只选取了一种方法，读者可选取任意两个命题证明其等价性。了解了实数完备性定理的内容，接下来就要应用定理来解决问题。本文给出了应用实数完备性的不同定理证明闭区间上连续函数的性质。在学习与研究中，还会有更多的地方需要用到实数完备性定理。我们还需要在学习和研究中去应用和理解实数完备性定理，体会实数完备性定理的意义及其重要性。参考文献1华东师范大学数学系.数学

31、分析第三版（上）.高等教育出版社.2001.2田国华.数学分析辅导及习题全解.人民日报出版社.2004.3李成章 黄玉民.数学分析第二版（上）.科学出版社.2007.注释：本文所有定义、定理及定理的证明方法均参考自华东师范大学数学系.数学分析第三版（上）。致谢 值此论文完稿之际，心中百感交集。四年漫漫求学路，在论文的撰写中已经进入了尾声，四年的大学生活也即将画上句号。回首四年，有快乐也有艰辛，有收获也有失落。薄薄的论文，浓缩了四年求学的艰辛，凝聚了多少人的关心和帮助。 在此首先要感谢我的指导老师刘丽娟老师。是刘老师在我的论文撰写过程中给予了我莫大的鼓舞和悉心的指导。在同刘老师的交流中，我感到了刘老师的治学严谨，及她的独到的眼光与身后的学术积累。刘老师总是能够把自己丰富的经验毫无保留的传递给我们，并适时的关注我的学习和论文情况。刘老师为人随和，对学生极其负责关心。再次感谢刘老师对我的帮助和指导！同时，我要感谢湖南科技大学数学与计算科学学院对我四年的栽培，感谢我院各位老师对我的悉心教导，你们不只教会了我们如何学习，更教会了我们如何做人、如何处世。还有那些陪伴我走过四年生活的同学、已经毕业的学长学姐、还没有毕业的学弟学妹们，你们充实了我的生活，让我的生活不再枯燥无味。谢谢你们！最后，向我的亲爱的家人和亲爱的朋友表示深深的谢意和歉意。你们给予我的爱、理解、关心和支持是我不断前进的动力。