江苏省南京市高三年级第三次模拟考试数学试题及答案

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1、 1 南京市南京市 2016 届高三届高三年级第三次模拟考试年级第三次模拟考试 数数 学学 2016.05 注意事项注意事项： 1本试卷共本试卷共 4 页，包括填空题（第页，包括填空题（第 1 题题第第 14 题） 、解答题题） 、解答题（第（第 15 题题第第 20 题）两部分本试卷满分为题）两部分本试卷满分为 160 分分，考试时考试时间为间为120 分钟分钟 2答题前，答题前，请请务必将自己的务必将自己的姓名、学校、姓名、学校、班级、班级、学号学号写在答写在答题题纸的密封线内试题的答案写在纸的密封线内试题的答案写在答题纸答题纸上对应题目的答案空格上对应题目的答案空格内内考试结束后，交回答

2、题考试结束后，交回答题纸纸 参考公式参考公式 样本数据样本数据 x1， x2， ， xn的方差的方差 s21n i1n(xix )2， 其中， 其中x 1n i1nxi 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分分. 不需写出不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1已知全集已知全集 U1，2，3，a，集，集合合 M1，3若若 UM2，5，则实数，则实数 a 的值为的值为_ 2设复数设复数 z 满足满足 z(1i)24i，其中，其中 i 为虚数单位，则复数为虚数单位，则复数z的共轭复

3、数为的共轭复数为 3甲甲、乙两乙两位选手位选手参加射击选拔赛，其中连续参加射击选拔赛，其中连续 5 轮比赛的成轮比赛的成绩（单位：环）如下绩（单位：环）如下表表： 2 选手选手 第第 1轮轮 第第 2轮轮 第第 3轮轮 第第 4轮轮 第第 5轮轮 甲甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 则甲则甲、乙两位选手中成绩最稳定乙两位选手中成绩最稳定的的选手的方差是选手的方差是_ 4从从 2 个白球，个白球，2 个红球，个红球，1 个黄球这个黄球这 5 个球中个球中随机取出两个球，则随机取出两个球，则取出的取出的两球两球中恰有一个中恰有一个红球红

4、球的概率是的概率是_ 5执行执行如图所示的伪代码，输出的结果是如图所示的伪代码，输出的结果是 6已知已知 ， 是两个不同的平面，是两个不同的平面，l，m 是两条是两条不同直线，不同直线，l，m 给出下列命题：给出下列命题： lm； lm； ml； lm 其中正确的命题是其中正确的命题是_ (填填写所有正确命题的写所有正确命题的序号序号) 7设数列设数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，满足满足 Sn2an2，则则a8a6 8设设 F 是双曲线的一个焦点，点是双曲线的一个焦点，点 P 在在双曲线双曲线上，上，且且线段线段 PF 的的S1 I2 While S100 II2 SSI End W

5、hile Print I （第 5 题图） 3 中点恰为中点恰为双曲线双曲线虚轴的一个端点，则虚轴的一个端点，则双曲线双曲线的离心率为的离心率为_ 9如图，如图，已知已知 A，B 分别是函数分别是函数 f(x) 3sinx(0)在在 y 轴轴右右侧侧图图象象上的第一个最高点和上的第一个最高点和第一个第一个最低点， 且最低点， 且AOB2，则该函数的周期是则该函数的周期是_ 10 已知 已知 f(x)是定义在是定义在 R 上的偶函数， 当上的偶函数， 当 x0 时，时， f(x)2x2，则不等式则不等式 f(x1)2 的解集是的解集是_ 11如图，在梯形如图，在梯形 ABCD 中，中，ABCD，

6、AB4，AD3，CD2， AM2 MD若若 AC BM3，则则 AB AD_ 12在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中中，圆圆 M：(xa)2(ya3)21(a0)，点点 N 为圆为圆 M 上任意一点上任意一点若以若以 N 为圆心为圆心，ON 为为半径的圆与圆半径的圆与圆 M 至多有一个公共点至多有一个公共点，则则 a 的最小值为的最小值为_ O y x A B （第 9 题图） A B C D M （第 11 题图） 4 13设设函数函数 f(x) x1ex，xa，x1，xa，g(x)f(x)b若存在实数若存在实数b，使得函数，使得函数 g(x)恰有恰有 3 个零点，则实数个零点，则

7、实数 a 的取值范围为的取值范围为_ 14若实数若实数 x，y 满足满足 2x2xyy21，则，则x2y5x22xy2y2的最的最大值为大值为_ 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 6 小题，计小题，计 90 分分.解答应写出必要的文字说解答应写出必要的文字说明，明， 证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内）证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内） 15(本小题满分本小题满分 14 分分) 在在ABC 中，中，已知已知 a，b，c 分别为分别为角角 A，B，C 的对边的对边若若向量向量 m(a，cosA)，向量，向量 n(cosC，c)，且，且 mn3bcos

8、B （1）求）求 cosB 的值；的值； （2）若）若 a，b，c 成等比数列，求成等比数列，求1tanA1tanC的值的值 16(本小题满分本小题满分 14 分分) 如图如图，在直三棱柱在直三棱柱 ABCA1B1C1中，中，D 为棱为棱 BC 上一点上一点 （1）若）若 ABAC，D 为棱为棱 BC 的中点，的中点，求证：平面求证：平面 ADC1平面平面 BCC1B1； （2）若）若 A1B平面平面 ADC1，求，求BDDC的值的值 5 17 (本小题满分本小题满分 14 分分) 如图，在平面直角坐标系如图，在平面直角坐标系 xOy 中中，已知椭圆已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的

9、离心率为的离心率为22， 点点(2，1)在椭圆在椭圆 C 上上 （1）求椭圆）求椭圆 C 的方程；的方程； （2）设直线）设直线 l 与圆与圆 O：x2y22 相切相切，与椭圆与椭圆 C 相交于相交于 P，Q 两点两点 若直线若直线 l 过椭圆过椭圆 C 的右焦点的右焦点 F，求，求OPQ 的面积；的面积； 求证：求证： OPOQ （第 16 题图） A B C D A1 B1 C1 O x y F P Q 6 18(本小题满分本小题满分 16 分分) 如图，某如图，某森林森林公园公园有一直角梯形区域有一直角梯形区域 ABCD，其四条边均为，其四条边均为道路，道路，ADBC，ADC90 ，AB

10、5 千米，千米，BC8 千米，千米，CD3 千米千米现甲、乙两现甲、乙两管理管理员同时从员同时从A地出发匀速前往地出发匀速前往 D地地， 甲的路线是甲的路线是 AD， 速度为， 速度为 6 千米千米/小时， 乙的路线是小时， 乙的路线是 ABCD，速度为速度为 v 千米千米/小时小时 （1） 若） 若甲、 乙甲、 乙两管理两管理员员到达到达 D 的时间相差不超过的时间相差不超过 15 分钟，分钟，求求乙的速度乙的速度 v 的取值范围；的取值范围； （2）已知对讲机有效通话已知对讲机有效通话的最大的最大距离是距离是 5 千米千米若若乙乙先到达先到达D， 且， 且乙乙从从 A 到到 D 的过程中的

11、过程中始终能用始终能用对讲机对讲机与甲保持有与甲保持有效通话，求效通话，求乙的速度乙的速度 v 的取值范围的取值范围 （第 18 题图） C B A D 7 19(本小题满分本小题满分 16 分分) 设函数设函数 f(x)x3mx2m(m0) （1）当）当 m1 时，求函数时，求函数 f(x)的单调的单调减减区间；区间； （2）设设 g(x)|f(x)|，求函数求函数 g(x)在区间在区间0，m上上的最大值；的最大值； （3） 若） 若存在存在 t0， 使得， 使得函数函数 f(x)图图象象上有且仅有两个不同的上有且仅有两个不同的点，点，且且函数函数 f(x)的图象的图象在这两点在这两点处处的

12、两条切线都经过点的两条切线都经过点(2，t)，试求，试求 m 的取值范围的取值范围 20(本小题满分本小题满分 16 分分) 已知数列已知数列an的前的前 n 项的和为项的和为 Sn，记，记 bnSn+1n （1）若）若an是首项为是首项为 a，公差为，公差为 d 的等差数列，其中的等差数列，其中 a，d 均为正数均为正数 当当 3b1，2b2，b3成等差数列时，求成等差数列时，求ad的值；的值； 求证：存在唯一的正整数求证：存在唯一的正整数 n，使得，使得 an+1bnan+2 （2） 设数列） 设数列an是公比为是公比为 q(q2)的等比数列， 若存在的等比数列， 若存在 r， t(r，t

13、N*，rt)使得使得btbrt2r2，求，求 q 的值的值 8 南京市南京市 2016 届高三届高三年级第三次模拟考试年级第三次模拟考试 数学附加题数学附加题 2016.05 注意事项注意事项： 1附加题供选修物理的考生使用附加题供选修物理的考生使用 2本试卷共本试卷共 40 分，考试时间分，考试时间 30 分钟分钟 3答题前，答题前，考生考生务必将自己的务必将自己的姓名、学校、姓名、学校、班级、班级、学号学号写在写在答题答题纸的密封线内试题的答案写在纸的密封线内试题的答案写在答题纸答题纸上对应题目的答案空上对应题目的答案空格内格内考试结束后，交回答题考试结束后，交回答题纸纸 21 【选做题】

14、在 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做四小题中只能选做 2 题，每小题题，每小题10 分， 共计分， 共计 20 分分 请在请在答答卷纸指定区域内卷纸指定区域内作答 解作答 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修选修 41：几几何证明选讲何证明选讲 如图，已知半圆如图，已知半圆 O 的半径为的半径为 2，P 是直径是直径 BC 延长线上的一点，延长线上的一点，PA 与半圆与半圆 O 相切于点相切于点 A， H 是是 OC 的中点，的中点，AHBC （1）求证：）求证：AC 是是PAH 的平分线；的平分线； （2）求）求 PC 的长的长 A

15、 P O H C （第 21 题 A图） B 9 B选修选修 42：矩阵与变换：矩阵与变换 已知曲线已知曲线 C：x22xy2y21，矩阵，矩阵 A 1 2 1 0 所对应的变所对应的变换换 T把把曲线曲线 C 变成曲线变成曲线 C1，求曲线，求曲线 C1的方程的方程 C选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正轴的正半轴重合已知半轴重合已知椭圆椭圆 C 的参数方程为的参数方程为 x2cos，ysin（ 为参数） ，为参数） ，点点 M 的极坐标为的极坐标为(1，2)若若 P 是椭

16、圆是椭圆 C 上任意一点，试求上任意一点，试求 PM的最大值，并求出的最大值，并求出此时此时点点 P 的直角坐标的直角坐标 D选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 10 求函数求函数 f(x)5 x 82x的最大值的最大值 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分请在请在答答卷卡指定区域内卷卡指定区域内作答解答应写出作答解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满 （本小题满分分 10 分）分） 从从 0，1，2，3，4 这五个数中任选三个不同的数组成一个三位这五个数中任选三个不同的数组

17、成一个三位数，记数，记 X 为所组成的三位数各位数字之和为所组成的三位数各位数字之和 （1）求）求 X 是奇数的概率；是奇数的概率； （2）求）求 X 的概率分布列及数学期望的概率分布列及数学期望 23 （本小题满分 （本小题满分 10 分）分） 在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中， 点中， 点 P(x0， y0)在曲线在曲线 yx2(x0)上 已上 已知知 A(0，1)，Pn(xn0，yn0)，nN*记直线记直线 APn的斜率为的斜率为 kn （1）若）若 k12，求，求 P1的坐标；的坐标； （2）若）若 k1为偶数，为偶数，求证：求证：kn为偶数为偶数 南京市南京市 2016

18、届高三年级第届高三年级第三三次模拟考试次模拟考试 11 数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准 说明：说明： 1本解答给出的解法供参考本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的

19、但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分解答有较严重的错误，就不再给分 3 解答右端所注分数， 表示考生正确做到这一步应得的累加分数解答右端所注分数， 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，填空题不给中间分数只给整数分数，填空题不给中间分数 一、一、填空题（本大题共填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分分. 不需写出不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 15 23i 30.02 435 58 6 74 8 5 94 101，3 1132 12

20、3 13(11e2，2) 1424 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 6 小题，计小题，计 90 分分.解答应写出必要的文字说解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内）明， 证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内） 12 15(本小题满分本小题满分 14 分分) 解： （解： （1）因为）因为 mn3bcosB，所以，所以 acosCccosA3bcosB 由正弦定理，得由正弦定理，得sinAcosCsinCcosA3sinBcosB， 3 分分 所以所以 sin(AC)3sinBcosB，所以，所以 sinB3sinBcosB 因

21、为因为 B 是是ABC 的内角的内角，所以，所以 sinB0，所以，所以 cosB13 7 分分 （2）因为）因为 a，b，c 成等比数列，所以成等比数列，所以 b2ac 由正弦定理，得由正弦定理，得sin2BsinA sinC 9 分分 因因 为为 cosB 13， B 是是 ABC 的 内 角的 内 角 ， 所 以， 所 以 sinB 2 23 11 分分 又又1tanA1tanCcosAsinAcosCsinCcosA sinCsinA cosCsinA sinC sin(AC)sinA sinCsinBsinA sinCsinBsin2B1sinB3 24 14 分分 13 16(本小

22、题满分本小题满分 14 分分) 证明证明： （： （1）因为）因为 ABAC，点，点 D 为为 BC 中点，所以中点，所以 ADBC 2 分分 因为因为 ABCA1B1C1 是是直三棱柱，直三棱柱，所以所以 BB1平面平面 ABC 因为因为AD 平面平面ABC，所以，所以BB1AD 4 分分 因为因为 BCBB1B，BC 平面平面 BCC1B1，BB1 平面平面 BCC1B1， 所以所以 AD平面平面 BCC1B1 因 为因 为AD 平 面平 面ADC1， 所 以 平 面， 所 以 平 面ADC1 平 面 平 面BCC1B1 6 分分 (2)连结连结 A1C，交，交 AC1于于 O，连结，连结

23、 OD，所以，所以 O 为为 AC1中中点点 8 分分 因为因为 A1B平面平面 ADC1，A1B 平面平面 A1BC，平面，平面 ADC1平面平面A1BCOD， 所以所以A1BOD 12 分分 因为因为 O 为为 AC1中点，所以中点，所以 D 为为 BC 中点中点， 所以所以BDDC1 14 14 分分 17(本小题满分本小题满分 14 分分) 解： （解： （1）由题意，得）由题意，得ca 22，4a21b21，解得解得 a26，b23 所以椭圆的方程为所以椭圆的方程为x26y231 2 分分 （2）解法一解法一 椭圆椭圆 C 的右焦点的右焦点 F( 3，0) 设切线方程为设切线方程为

24、yk(x 3)，即，即 kxy 3k0， 所以所以| 3k |k21 2，解得，解得 k 2，所以切线方程为，所以切线方程为 y 2(x 3) 4 分分 由 方 程 组由 方 程 组 y 2(x 3)，x26y231，解 得解 得 x4 33 25，y 665，或或 x4 33 25，y 665 所以点所以点 P， Q 的坐标分别为的坐标分别为(4 33 25， 665)， (4 33 25， 665)， 15 所以所以PQ6 65 6 分分 因为因为 O 到直线到直线 PQ 的距离为的距离为 2，所以，所以OPQ 的面积为的面积为6 35 因为椭圆的对称性， 当因为椭圆的对称性， 当切线方程

25、为切线方程为y 2(x 3)时， 时， OPQ的面积也为的面积也为6 35 综上综上所述，所述，OPQ的面积为的面积为6 35 8 分分 解法二解法二 椭圆椭圆 C 的右焦点的右焦点 F( 3，0) 设切线方程为设切线方程为 yk(x 3)，即，即 kxy 3k0， 所以所以| 3k |k21 2，解得，解得 k 2，所以切线方，所以切线方程为程为 y 2(x 3) 4 分分 把切线方程把切线方程 y 2(x 3)代入椭圆代入椭圆 C 的方程，消去的方程，消去 y 得得 5x28 3x60 设设 P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有，则有 x1x28 35 16 由椭圆定义可得，由椭圆定

26、义可得，PQPFFQ2ae( x1x2)2 6 228 356 65 6 分分 因为因为 O 到直线到直线 PQ 的距离为的距离为 2，所以，所以OPQ 的面积为的面积为6 35 因为椭圆的对称性，当因为椭圆的对称性，当切线方程为切线方程为 y 2(x 3)时，时，所以所以OPQ 的面积为的面积为6 35 综上所述综上所述，OPQ的面积为的面积为6 35 8 分分 解法一：解法一：(i)若直线若直线 PQ 的斜率不存在，则直线的斜率不存在，则直线 PQ 的方程为的方程为x 2或或 x 2 当当 x 2时，时，P ( 2， 2)，Q( 2， 2) 因为因为OPOQ0，所以，所以 OPOQ 当当x

27、 2时，同理可得时，同理可得OPOQ 10 分分 (ii) 若直线若直线 PQ 的斜率存在，设直线的斜率存在，设直线 PQ 的方程为的方程为 ykxm， 17 即即 kxym0 因为直线与圆相切，所以因为直线与圆相切，所以|m| 1k2 2，即即 m22k22 将直线将直线 PQ 方程代入椭圆方程， 得方程代入椭圆方程， 得(12k2) x24kmx2m260. 设设 P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有则有 x1x24km 12k2，x1x22m2612k2 12 分分 因为因为OPOQx1x2y1y2x1x2( (kx1m)()(kx2m) )( (1k2) )x1x2km(x1x2

28、)m2 ( (1k2) )2m2612k2km(4km 12k2)m2 将将 m22k22 代入上式可得代入上式可得OPOQ0，所以，所以 OPOQ 综上所述，综上所述，OPOQ 14 分分 解法二：解法二：设切点设切点 T(x0，y0)，则其切线方程为，则其切线方程为 x0 xy0y20，且且 x20y202 (i)当当 y00 时，则直线时，则直线 PQ 的直线方程为的直线方程为 x 2或或 x 2 当当 x 2时，时，P ( 2， 2)，Q( 2， 2) 18 因为因为OPOQ0，所以，所以 OPOQ 当当x 2时，同理可得时，同理可得OPOQ 10 分分 (ii) 当当 y00 时，时

29、， 由方程组由方程组 x0 xy0y20，x26y231，消去消去 y 得得(2x20y20)x28x0 x86y200 设设 P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有，则有 x1x28x02x20y20，x1x286y202x20y20 12 分分 所 以所 以 OP OQ x1x2 y1y2 x1x2(2x0 x1)( 2x0 x2)y028(x02y20)16y02(2x20y20) 因为因为 x20y202， 代入上式可得代入上式可得OPOQ0， 所以， 所以 OPOQ 综上所述，综上所述，OPOQ 14 分分 18(本小题满分本小题满分 16 分分) 19 解：解：(1)由题意，可

30、得由题意，可得 AD12 千米千米 由题可知由题可知|12616v|14， 2 分分 解得解得649v647 4 分分 (2) 解法一：解法一：经过经过 t 小时小时，甲、乙甲、乙之间的距离之间的距离的平方的平方为为 f(t) 由 于 先由 于 先 乙乙 到 达到 达D地地 ， 故故16v 2 ， 即即v 8 6 分分 当当 0vt5，即即 0t5v时时， f(t)(6t)2(vt)226tvtcosDAB(v2485v36) t2 因为因为 v2485v360，所以当所以当 t5v时时，f(t)取最大值取最大值， 所 以所 以 (v2485v 36) (5v)2 25 ， 解 得解 得v15

31、4 9 分分 20 当当 5vt13，即即5vt13v时时， f(t)(vt16t)29(v6) 2 (t1v6)29 因为因为 v8，所以所以1v65v，(v6) 20，所以当所以当 t13v时时，f(t)取最大值取最大值， 所 以所 以 (v 6) 2 (13v1v6)2 925 ， 解 得解 得398v394 13 分分 当当 13vt16， 13vt16v时时， f(t)(126t)2(16vt)2， 因为因为 126t0，16vt0，所以当所以当 f(t)在在(13v，16v)递减，所以递减，所以当当 t13v时时，f(t)取最大值取最大值， (12613v)2(16v13v)225

32、，解得解得398v394 因为因为v8，所以所以 8v394 16 分分 解法二：设解法二：设经过经过 t 小时，小时，甲、乙甲、乙之间的距离之间的距离的平方的平方为为 f(t) 21 由 于 先由 于 先 乙乙 到 达到 达D地 ， 故地 ， 故16v 2 ， 即， 即v 8 6 分分 以以 A 点为原点点为原点，AD 为为 x 轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系， 当当 0vt5 时，时，f(t)(45vt6t)2(35vt)2 由由于于(45vt6t)2(35vt)225，所以，所以(45v6)2(35v)225t2对任意对任意 0t5v都成立都成立， 所以所以(45v6)2(35v)2v

33、2，解得解得v154 9 分分 当当 5vt13 时时，f(t)(vt16t)232 由由于于(vt16t)23225，所以，所以4vt16t4 对任意对任意5vt13v都成立都成立， 即即 v65t，3tv6，对任意对任意5vt13v都成立都成立， 所以所以 v65v13，3v13v6，解得解得398 22 v394 13分分 当当 13vt16即即13vt16v， 此时此时 f (t)(126t)2(16vt)2 由由及及知知：8v394，于是于是 0126t1278v1278394 4， 又因为又因为 016vt3， 所以所以 f (t)(126t)2(16vt)2423225 恒成立恒

34、成立 综上综上可知可知8v394 16分分 19(本小题满分本小题满分 16 分分) 解： （解： （1）当）当 m1 时，时，f(x)x3x21f (x)3x22xx(3x2) 由由 f (x)0，解得解得 x0 或或 x23 所 以 函 数所 以 函 数f(x) 的的 减 区 间 是减 区 间 是 ( ， 0) 和和 (23， ) 2 分分 （2）依题意依题意 m0 23 因为因为 f(x)x3mx2m，所以所以 f (x)3x22mxx(3x2m) 由由 f (x)0，得，得 x2m3或或 x0 当当 0 x2m3时时，f (x)0，所以所以 f(x)在在(0，2m3)上为增函数；上为增

35、函数； 当当2m3xm 时时，f (x)0，所以，所以 f(x)在在(2m3，m)上为减函数；上为减函数； 所以，所以，f(x)极大值极大值f(2m3)427m3m 4 分分 当当427m3 mm ， 即， 即m3 62， ymax427m3m 6 分分 当当427m3mm，即，即 0m3 62时，时，ymaxm 综上综上，ymax 427m3m m3 62， m 0m3 62 8 分分 （3）设两）设两切切点的横坐标分别是点的横坐标分别是 x1，x2则函数则函数 f(x)在这两点的在这两点的 24 切线切线的方程分别为的方程分别为 y(x13mx12m)(3x122mx1)(xx1)， y

36、( x23 mx22 m) ( 3x22 2mx2)(x x2) 10 分分 将将(2，t)代代入入两条切线方程，得两条切线方程，得 t(x13mx12m)(3x122mx1)(2x1)，t(x23mx22m)(3x222mx2)(2x2) 因为因为函数函数 f(x)图图象象上有且仅有两个不同的上有且仅有两个不同的切切点点， 所以所以方程方程 t(x3mx2m)(3x22mx)(2x)有且仅有不有且仅有不相等的两个实根相等的两个实根 12 分分 整理得整理得 t2x3(6m)x24mxm 设设 h(x)2x3(6m)x24mxm，h (x)6x22(6m)x4m2(3xm)(x2) 当当 m6

37、 时，时，h (x)6(x2)20，所以所以 h(x)单调递增，显单调递增，显然不成立然不成立 当当 m6 时，时， h (x)0，解得解得 x2 或或 xm3 列表可判断列表可判断单调性，可得单调性，可得当当 x2 或或 xm3， h(x)取得极值取得极值分分别为别为 h(2)3m8， 或， 或 h(m3)127m323m2m 要使得要使得关于关于x的的方程方程t2x3(6m)x24mxm有且仅有两个有且仅有两个 25 不相等的实根不相等的实根， 则则t 3m 8 ， 或或t 127m323m2m 14分分 因为因为 t0， 所以所以 3m80， （， （*） ，） ， 或或127m323m

38、2m0 （*） 解解（*） ，得得 m83，解解（*） ，得得 m93 6或或 m93 6 因为因为 m0，所以所以 m 的范围为的范围为(0，83936，) 16 分分 20(本小题满分本小题满分 16 分分) 解： （解： （1）因为因为 3b1，2b2，b3成等差数列，成等差数列， 所以所以 4b23b1b3，即，即 43a3d23(2ad)4a6d3， 解得，解得，ad34 4 分分 由由 an1bnan2， 得得 and(n1)a(n1)nd2na(n1)d， 26 整理得整理得 n2n2ad0， n2n2ad0， 6 分分 解得解得118ad2n118ad2， 8 分分 由于由于1

39、18ad2118ad21 且且118ad20 因 此 存 在 唯 一 的 正 整 数因 此 存 在 唯 一 的 正 整 数n ， 使 得， 使 得 an1 bn an2 10 分分 （2）因为）因为btbra1(1qt1)t(1q)a1(1qr1)r(1q)t2r2，所以，所以qt11t(t2)qr11r(r2) 设设 f(n)qn11n(n2)，n2，nN* 则则f(n 1) f(n) qn21(n1)(n3)qn11n(n2)qn1(q1)n22(q2)n32n3n(n1)(n2)(n3)， 因为因为 q2， n2， 所以所以(q1)n22(q2)n3n2310， 27 所以所以 f(n1

40、)f(n)0，即，即 f(n1)f(n)，即，即 f(n)单调递单调递增增 12 分分 所以当所以当 r2 时，时，tr2， 则则 f(t)f(r)，即，即qt11t(t2)qr11r(r2)，这与，这与qt11t(t2)qr11r(r2)互相互相矛盾矛盾 所以所以r1，即，即qt11t(t2)q213 14 分分 若若 t3， 则， 则 f(t)f(3)q4115 q213q215q213， 即即qt11t(t2)q213， 与与qt11t(t2)q213相矛盾相矛盾 于是于是 t2，所以，所以q318q213，即，即 3q25q50 又又q2，所以，所以q5 856 16 分分 28 南京

41、市南京市 2016 届高三年级第届高三年级第三三次模拟考试次模拟考试 数学数学附加题附加题参考参考答案答案及评分标准及评分标准 2016.05 说明：说明： 1本解答给出的解本解答给出的解法供参考法供参考如果考生的解法与本解答不同，可如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该

42、部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分解答有较严重的错误，就不再给分 3 解答右端所注分数， 表示考生正确做到这一步应得的累加分数解答右端所注分数， 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，填空题不给中间分数只给整数分数，填空题不给中间分数 21 【选做题】在 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做四小题中只能选做 2 题，每小题题，每小题10 分， 共计分， 共计 20 分分 请在请在答答卷卡指定区域内卷卡指定区域内作答 解作答 解答应写答应写出文字说明、证明过程或演算步骤出文字说明

43、、证明过程或演算步骤 A选修选修 41：几何证明选讲几何证明选讲 证明证明：(1)连接连接 AB 因为因为 PA 是半圆是半圆 O 的切线的切线，所以所以PACABC 因为因为 BC 是圆是圆 O 的直径的直径，所以所以 ABAC 又因为又因为 AHBC， 所以所以CAHABC， 所以所以PACCAH， 所以所以AC是是PAH的平分的平分线线 5 29 分分 (2)因为因为 H 是是 OC 中点中点，半圆半圆 O 的半径为的半径为 2，所以所以 BH3，CH1 又因为又因为 AHBC，所以所以 AH2BH HC3，所以所以 AH 3 在在 RtAHC 中，中，AH 3，CH1，所以，所以CAH

44、30 由由(1)可得可得PAH2CAH60 ，所以所以 PA2 3 由由 PA 是半圆是半圆 O 的切线的切线，所以所以 PA2PC PB， 所 以所 以PC (PC BC) (2 3 )2 12 ， 所 以所 以PC 2 10 分分 B选修选修 42：矩阵与变换：矩阵与变换 解：设曲线解：设曲线 C 上的上的任意一点任意一点 P(x，y)，P 在矩阵在矩阵 A 1 2 1 0 对对应的变换下得到点应的变换下得到点 Q(x，y) 则则 1 2 1 0 xy xy， 即即 x2yx，xy， 所以所以xy，yxy2 5 分分 代入代入 x22xy2y21， 得， 得 y22yxy22(xy2)21

45、， 即即 x2 30 y22， 所以所以曲线曲线C1的方程为的方程为x2y22 10 分分 C选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 解：解：M 的极坐标为的极坐标为(1，2)，故直角坐标为，故直角坐标为 M(0，1)，且，且 P(2cos，sin)， 所以所以 PM (2cos)2(sin1)2 3sin22sin5，sin1，1 5 分分 当当 sin13时，时，PMmax4 33，此时此时 cos2 23 所以，所以，PM 的最大值是的最大值是4 33，此时点，此时点 P 的坐标是的坐标是(4 23，13) 10 分分 D选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 解：函数定义域

46、为解：函数定义域为0，4，且，且 f(x)0 0 由柯西不等式得由柯西不等式得52( 2)2( x)2(4x)2)(5 x2 4x)2， 5 分分 即即 27 74(5 x 2 4x)2，所以所以 5 x 82x6 3 当且仅当当且仅当 2 x5 4x，即，即 x10027时，取等号时，取等号 31 所 以 ， 函 数所 以 ， 函 数f(x) 5x 82x 的 最 大 值 为的 最 大 值 为6 3 10 分分 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分 22 （本小题满分 （本小题满分 10 分）分） 解： （解： （1）记“）

47、记“X 是奇数”为事件是奇数”为事件 A， 能组成的三位数的个数是能组成的三位数的个数是48 2 分分 X 是奇数的个数有是奇数的个数有 28，所以，所以 P(A)2848712 答：答：X是奇数的概率为是奇数的概率为712 4 分分 （2） X 的可能取值为的可能取值为 3，4，5，6，7，8，9 当当 X3 时，组成的三位数只能是由时，组成的三位数只能是由 0，1，2 三个数字组成，三个数字组成，所以所以 P(X3)448112； 当当 X4 时，组成的三位数只能是由时，组成的三位数只能是由 0，1，3 三个数字组成，三个数字组成，所以所以 P(X4)448112； 当当 X5 时，组成的

48、三位数只能是由时，组成的三位数只能是由 0，1，4 或或 0，2，3 三三个数字组成，所以个数字组成，所以 P(X5)84816； 当当 X6 时，组成的三位数只能是由时，组成的三位数只能是由 0，2，4 或或 1，2，3 三三 32 个数字组成，所以个数字组成，所以 P(X6)1048524； 当当 X7 时，组成的三位数只能是由时，组成的三位数只能是由 0，3，4 或或 1，2，4 三三个数字组成，所以个数字组成，所以 P(X7)1048524； 当当 X8 时，组成的三位数只能是由时，组成的三位数只能是由 1，3，4 三个数字组成，三个数字组成，所以所以 P(X8)64818； 当当 X

49、9 时，组成的三位数只能是由时，组成的三位数只能是由 2，3，4 三个数字组成，三个数字组成，所以所以 P(X9)64818； 8 分分 所以所以 X 的概率分布列为：的概率分布列为： X 3 4 5 6 7 8 9 P 112 112 16 524 524 18 18 E(X)3 3112411251665247524818918254 10 分分 23 （本小题满分 （本小题满分 10 分）分） 解： （解： （1）因为）因为 k12，所以，所以y01x0 x201x02， 解 得解 得x0 1 ， y0 1 ， 所 以， 所 以P1的 坐 标 为的 坐 标 为 (1 ， 33 1) 2

50、分分 （2）设）设 k12p(pN*)，即，即y01x0 x201x02p， 所以所以x202px010，所以，所以x0p p21 4 分分 因为因为 y0 x02，所以，所以 knyn01xn0 x2n01xn0 xn01xn0， 所以当所以当 x0p p21时，时， kn(pp21)n(1p p21)n(pp21)n(pp21)n 6 分分 同理，当同理，当 x0pp21时，时，kn(pp21)n(pp21)n 当当 n2m(mN*)时，时， kn2k=0mC2knpn2k(p21)k，所以，所以 kn为偶数为偶数 当当 n2m1(mN)时，时，kn2k=0mC2knpn2k(p21)k，所以，所以 kn为偶数为偶数 综上，综上， kn为偶为偶数数 10 分分 34