数学建模论文水厂供水设施的建设与改造

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1、 水厂供水设施的建设与改造摘要水是地球上最常见的物质之一，是包括人类在内所有生命生存的重要资源，也是生物体最重要的组成部分。城市建设自然离不开水，城市供水的建设也就民生工程。现有自来水公司为代表的城市供水遇到了原有供水管道老化沉积和用水需求不断上升的问题，本文就是利用数学方法求出了一个修建计划，并且使整个方案的开支尽量少。问题一给定的是原有的4条主供水管道，并且规划了8条短期供水管道和一条永久性供水管道，要合理安排短期供水管道和永久性供水管道的修建，这样才会使整个方案的总开支尽量节省，由此就想到以修建管道总费用为目标函数，建立一个非线性规划模型。由于问题一中原有供水管道虽老化但仍能供水，为预测

2、它们在2012年至2016年的供水量，利用灰色预测的方法得出，然后再根据问题一中的约束条件下我们就得到了模型一。问题二则是已知9个用水集中点和自来水厂的相往距离，现希望的是修建一个供水管道网络，使得修建总费用最少，所以就以修建费用为目标函数，而约束条件可以从每个供水集中点流入流出的供水量考虑，得到模型二。由于变量太多，就考虑某地最多只向最近的3个地方流去，由此我们经过进一步简化得出了模型三。经过lingo编程，模型一的计算结果为最少费用为162万元，第一年修建1,3,6,7号管道，第二年修建2,8号管道，第三年不修，同时永久性主水管道第一年投资22万元，第二年50万元，第三年60万元。模型二求

3、解得最低费用为52.87894。路线安排为第一条第二条第三条第四条关键字：灰色预测 流入流出 lingo1、 问题的提出与重述水厂供水设备的建设与改造水是地球上最常见的物质之一，是包括在内所有生命生存的重要资源，也是生物最重要的组成部分，城市建设自然离不开水，城市供水系统的建设作为“明生工程”的重要部分，其建设具有举足轻重的意义。改革开放后，我国经济飞速发展，城市建设也得到了广阔的发展空间，近30年来，随着房地产市场的迅速发展，城市建设进度空前高涨。这一变化为城市建设相关设施也带来严峻的考验。以自来水供应为例，其城市原有的供水管道的老化与现代城市用水需求的上升给供水公司带来机遇和挑战。为解决城

4、市供水问题，公司决定新建供水管道，经测算修建新供水管道的费用为(万元)，其中Q表示管道的最大水流量(万立方米/小时)，L表示管道长度（公里）。问题一：某市现有条主供水管道，由于设备老化和沉淀，其供水能力逐年下降，表一给出他们在今年来的最大可供水量的粗略统计数字。为解决这一问题，水利专家经过勘察，在该市规划了条短期供水管道的线路和一条永久性供水管道，由于短期供水管道的修建距离和环境的影响，铺设费用和预计供水量有所不同，详见表二。而且预计每条管道的可供水量还会以平均每年左右的速率减少。同时开始建设一条公里的长永久性供水管道，贯穿整个城市主要水需求区，修建工程从开工到完成需要三年时间，且每年投资的费

5、用为万元的整数倍。要求完成之后，通过新管道可供水能力能够达到万立方米小时。公司计划从年开始连续三年，每年最多可提供万元用于修建短期供水管道和可供水量，万立方米小时的供应能力，请作出一个从年三年的修建计划，以使整个方案的总开支尽量节省（不考虑利息的因素在内）。表一现有四条供水管道在近几年的可供水量（万立方米小时）年份编号200320042005200620072008200920102011132.331.329.728.627.526.125.323.722.7221.515.911.88.76.54.83.52.62.0 327.925.823.821.619.517.415.513.311

6、.2446.232.626.723.020.018.917.516.3表二，建设各短期管道的费用（万元）和预计当年可供水量（万立方米/小时）编号12345678建设费用57546553当年供水2536321531282212问题二，该市共有9个用水集中点，分别标记为1-9，一个自来水公司，标记为10。下图给出他们大致的相对地理位置，表三给出各集中点之间（以及自来水水厂）的距离。自来水公司打算拟定一个修建管道网络计划，提供各主要区域的用水问题。要求完成之后，每个用水集中点可以达到各自用水量.12345678910用水量100.80.50.91.21.41.21.61.72.25020.800.9

7、1.51.70.81.11.81.42.28030.50.900.70.91.10.71.21.21.76040.91.50.700.31.710.71.51.84051.21.70.90.300.810.61.51.58561.40.81.11.70.800.91.40.81.66571.21.10.7110.900.80.61.15581.61.81.20.70.61.40.801.11.14591.71.41.21.51.50.80.61.10195102.22.21.71.81.51.61.11.110请根据表三的数据，为该公司提供一个各集中点之间修建新供水管道网络的合理方案，使得总费

8、用尽量节省（从A到B的新供水管道，一般要求能够供应点A及其下游管道的供水。）问题三：你们能否为该公司提出一个更加合理的解决城市供水问题的办法？2、 基本假设1、永久性供水管道修建完成后每年供水能力均达到100万立方米/小时；2、修建好的短期管道的可供水量以每年10%的速率减少；3、短期管道在建设的当年即可开始供水；4、永久性管道修建完成后才能供水；5、供水管道的修建是连续三年的，不考虑何能影响施工的因素；6、不考虑其他方面的经济开支，且不考虑社会经济变化带来的影响；3、 模型的主要符号变量说明：第i年第j管道是否在使用（i=1,2，8；j=1,2，5）；：第j个短期管道当年的供水量（j=1,2

9、，5）；：第m号旧水管道第i年后的供水量（m=1,2,3,4；i=1,2，5）；：第i年供水量的下限（i=1,2，5）；：第i年短期管道的供水量（i=1,2，5）；：第j个管道创建的费用（j=1,2，5）；G:每年修建供水管道提供资金的上限；：第i年修建永久性供水管道的费用（i=1,2,3）；P：修建永久性供水管道的总费用；Z：修建新供水管道的总费用；：是否创建了第j个短期管道（j=1,2,3）；Q：永久性管道的最大水流量；L：永久性管道的管长；：第i供应点流入第j供应点的供水量（i=1,2，10；1,2，9）；：j供应点的用水量（j=1,2，9）；：由i点到j点的距离（i=1,2，10；1,

10、2，9）。4、 问题的分析水乃生命之源。城市建设自然离不开水，城市供水系统的建设也就成了“民生工程。现有以自来水公司为代表的城市供水遇到了原有供水管道老化和用水需求上升的问题，现希望我们设计出一个修建计划，使得整个方案的总开支尽量节省。经初步分析此题是在给出一定约束条件下的非线性规划问题。下面就针对问题来进行分析。问题一的分析由题知该市现有条主供水管道，由于设备老化和沉积，使得供水能力逐渐减弱。经相关人员勘察，该市规划了条短期供水管道和一条永久性供水管道。此题是希望在满足条件下创建一个三年计划，使得总开支尽量少，很明显就以修建供水管道的总费用为目标函数。为简化模型，我们假设短期供水管道在建设的

11、当年即可供水，永久性供水管道则需在完成之后才能使用即自开始修建的第四年才可以供水。考虑到短期供水管道自身因素等影响，依题意假定修好了管道从使用第一年开始它的可供水量平均每年减少，而永久性供水管道则设定在完成修建之后每年可供水量达到万立方米/小时。另外，还设定不考虑社会经济方面带来的影响及修建供水管道的总费用不包括其他经济开支。根据题意可知修建供水管道的总费用由新建短期供水管道和新建永久性供水管道的费用之和。由于短期供水管道的修建较复杂些，在写表达式时不仅要考虑当年是否已修建还要考虑其修建的时候，因修建好的短期供水管道可供水量从使用的第一年开始它的可供水量平均每年减少，这是一个值得注意的地方。另

12、外，原有的条主供水管道，虽设备老化和沉积，但仍能在年至年供水。题中所提供的是这四条供水管道在近几年的供水量，常规方法是通过拟合的方法得出一条函数曲线，但由于这些数据都是离散的且拟合函数不一定都经过所有的点。鉴于以上缺点，我们是利用灰色预测的方法得出各参数估计值，那么实际值近似等于其参数估计值，再利用计算就可出原有的每条主供水管道在近五年中的可能供水量。然后再根据题中的其他约束条件，于是得出了问题一的模型即模型一。再将数据带入模型一利用数学软件就可得出结果。问题二的分析题二给定的是9个用水集中点和自来水厂的相对位置，自来水公司希望就此拟定一个修建供水管道网络的合理方案，使得修建 总费用最小。为此

13、我们还是以修建的总费用为目标函数。为简化问题，不考虑个集中点原来是否有供水管道。如果对此加以考虑的话，这势必会给现拟定的修建网络计划带来影响。同时为保证计划的实施，假定不考虑因地理环境等因素带来的影响。又从中得出的约束条件为第j个集中点流入的水量大于等于第j个集中点流出的水量与j个集中点自身的用水量之和。另外，还需考虑第i个集中点与第j个集中点之间供水的单向性。由此得出了模型二，经简化可利用lingo计算求解。问题三的分析问题三则需要我们为该公司提出一个更加合理的解决城市供水问题的办法。纵观问题一和问题二，它们是在不同条件下修建管道的并且使总费用尽量少。那么我们可以从现实的角度中进行考虑，如实

14、行分厂管理、十年重修一次等。5、 模型建立与求解问题一为得到原来四条供水管道20122016年的供水量的数据，我们通过如下的数据分析处理，了解到了一组数据序列后建立了一个基于模型的灰色预测。现给定观察数据列经一次累加得到假设满足一阶常微分方程 当t=时，为初值解得 对于等间隔取样的离散值（），则为 通过最小二乘法来估计常数a、因将作为初值，故将分别代入方程用差分代替微分，又因等间隔取样，故得 于是同理可得 将代入式得到 将方程组转变为矩阵形式，得到以下 由于涉及到的两个时刻的值，因此用前后两个时刻的平均值代替，即将换成 （i=2,3，,N），则矩阵改成为 令则矩阵可化简为得到参数估计，那么可利

15、用估计值近似代替，然后再利用Matlab软件求得代入最终得到原来4条供水管道20122016年的供水量如下：管号供水量（万/h）年份20122013201420152016121.3420.3619.4218.5317.6821.361.030.790.600.4539.888.777.796.426.14414.1312.7511.5110.389.31 模型一由题意知，该市的供水由原有的4条主供水管提供，现为了解决城市供水问题，自来水将利用3年时间创建新供水管道，其中预测创建的有8条短期供水管和一条永久性供水管道。短期供水管道开始的那年即可供水，而永久性供水管道需3年完成后才可供水，即第4

16、年初才供水。现设定第i年短期供水管道的供水量为，第j个短期的供水管道当年的供水量为，并设定第i年第j个短期管道是否在使用为。那么以题意我们可以得出第一年短期供水管道的供水量为，第一年所有创建的短期管道的当年供水量之和：我们知道只有创建好的管道在第一年之后供水量才会减少，那么第i年的第j个管道的供水量为：=（i=2,3,4,5）则第i年所有短期管道的供水量为：（i=2,3,4,5）原有的主供水管道设备虽老化，但仍还提供水，所以在20122016年间的供水也占一部分。题中给出了一组数据表格，我们利用灰色预测方法来预测20122016年每条原有的主供水管道的供水量。假设原来第m号主水管道第i年的供水

17、量为（m=1,2,3,4；i=1,2,3,4,5）。题中还给定了20122016年这5年间每年应达到的供水量下限(i=1,2,3,4,5)。而这5年每年的供水量由原来的主供水管道、新建短期水管道以及新建的永久性主水管道三部分提供，其中新建的永久性水管道完成之后可供水能力达到100万立方米 /小时，于是可以得到以下约束条件： （i=1,2,3） （i=4,5）在永久性供水管道的创建过程中虽不提供水，但创建的多少会影响每年修建供水管道的费用，因给定了每年可提供修建供水管道的费用的上限值G。假设第i年用于修建永久性供水管道的费用为。第一年用于修建短期供水管道的费用为：（其中表示第j个短期管道修建的费

18、用）而后的第i年用于修建短期供水管道的费用为 （i=2,3）那么每年用于修建修建供水管道的费用归结为修建短期供水管道和修建永久性供水管道的费用，则总费用应满足如下条件：+G;+G (i=2,3)另外我们知道修建永久性供水管道的总费用为P=0.66(Q为永久性管道的最大水流量，L为永久性管道的管长)，那么每年修建永久性管道的费用之和应满足：而围绕整个过程我们需要得出的是修建供水管道的费用最小，即以修建供水管道的总费用为目标函数，得到：此外，由题知修建供水管道只修3年，那么有如下关系：又因为修建之和管道便会一直使用，至少在这5年之间不考虑特殊情况，有如下条件：综上所述，得出模型一为如下：S.T.

19、（i=2,3,4,5） （i=1,2,3） （i=4,5） （i=2,3） +G; +G (i=2,3) (i=1,2,3) 取整 （j=1,2，8） （i=1,2，5；j=1,2，8）经lingo编程(附录1)计算得： z=162；=1；=1；=1；=1；=1；=1；=1；=1；=1；=1；=1；=1；=1；=1；=1；=1；其余为0，=22；=50；=60；实施管号年份第一年第二年第三年修建1,3,6,72,8不修主水管投资（万元）225060 问题二问题二给定的是九个用水集中点的相对地理位置及自来水公司相对于用水集中点的位置，自来水公司为此打算拟定一个修建供水管道的网络计划，提供各主要区

20、域的用水问题。现需要我们设计一个修建新供水网络的合理方案，使得总费用最小，我们仍可以取修建网络的总费用为目标函数。把自来水厂看成是第十个集中点假定从i集中点流入j集中点的水量为（j10），第j个集中点用水量为，则依题意它必须满足流入j集中点的水量大于j流出的水量与其用水量之和，即由于i集中点与j集中点之间的供水关系具有单向性，即：假定第i集中点到j集中点的距离为则目标函数为综上得到模型二：s、t (i=1,210, j=1,210,)考虑到变量的个数太多不利于计算，比较繁琐，且影响结果的准确性，我们对模型二进行改进得到模型三模型三修建网络的总费用则定性分析得到L的影响大于Q的影响，那么在修建供

21、水网络是优先考虑距离的影响，对整个结果的影响不太大，我们在模型二的基础上进行简化，假定每个集中点至多只能对其他的3个集中点供水，于是我们根据就近原则，得到各个集中点之间可能的供水关系（如下）由以上示意图我们可以清晰地看出每个集中点的流入流出情况。得到新的目标函数每个点流入流出的约束也作了如下的更改：第一个集中点 ；第二个集中点；第三个集中点；第四个集中点；第五个集中点；第六个集中点；第七个集中点；第八个集中点；第九个集中点；同时仍要满足;综上得到模型三： ;；;最后将数据代入模型三中利用LINGO（附录2）进行求解。由于我们求解的是最小值，就不会出现水有回流的情况，所以在用软件求解的时候可以省

22、略最后一个约束简化程序。经计算得到的结果如下：最小的费用为52.88万元，新建的网络管道如下图所示142 3 5 768910问题三问题一、只是针对规划希望得到建设管道费用较少的方案，这就计算出了何种管道需要建设，何时建设。而问题二根据供水点的需求希望得出管道的布局。虽然都给出了一个较合理的方案，但不能单一从费用方面考虑问题。考虑到建设费用和管理方面，我们小组认为，可以将这些集中点进行分区管理，在这些区域建设分厂，然后根据模型二的方法建设管道，使费用最小。其实，现实中就经常遇到这样的问题，如果管道出现问题了，而离水厂较远的话，这样不便于维修。所以无论是从建设费用还是从管理方面，设立分厂都是不错

23、的选择。这样可以更适应城市的发展，也有利于公司的发展。其次，考虑到管道的使用寿命，我们需要在几年后在进行维修一次，所以修建时是否需要考虑以后维修的方便，这样才更能在根本上使费用最小。6、 模型的检验及科学性分析问题一中的GM(1,1)的灰色预测模型是最常用的预测模型，为了检验模型的优越性，我们对其进行验证，用我们得到供水量与时间的函数关系得到前几年的预测值，计算相对误差，结果如下：第一种预测值前九年相对误差后五年132.332.332.3231.363.6-47.9531.07830.00708321.34329.793.3-78.4529.65140.00163620.36428.6121.

24、9-107.628.290.01083919.42527.5149.4-135.6526.99110.01850518.53626.1175.5-162.4525.75190.01333717.68725.3200.8-188.1524.56960.02887823.7224.5-212.6523.44150.010907922.7247.2-235.8522.36530.014744从表中可知相对误差大约为1%左右，说明模型比较优越问题二利用模型二求出了结果，但对于结果的准确性有待验证比较。首先初步分析判断，若要使3修建费用最少，以多链的形式修建网络的费用小于以单链形式的费用。由于只以单链的

25、形式修建网络即使后面再优然而有累加的作用必然会以层层地叠加在前面的管道上，所以单链肯定不是最优解。而用我们的模型得出的结果也不是单链。于是进一步分析，既然不是单链，那多链是不是越多越好呢？假设每个集中点都有自来水公司直接提供，则得出的结果是73.79万元。它大于我们的结果。这就说明链不是越多越好，那么我们从这些链中寻找可能的最优解与我们的模型进行比较。一下就是1种可能的路线及修建费用为105万元，由此可得模型还比较优越。691310857427、 模型的评价与推广优点：1、本文在问题一中就预测现有四条供水管道在2012年至2016年的供水量利用了灰色预测的方法，它比通过拟合的方法得出的函数再求

26、出结果会更优。由于此题给出的只是一些离散的数据，用拟合的方法精度不是很好，而用灰色预测则无需考虑这些影响，得出的数据也就较为准确。2、本文的模型一是在一定非线性约束条件下的规划模型，该模型有效的分离出了约束之间的关系，求解简单化了。3、本文的模型二有效的解释了管道供水路径的流向问题，且尽可能考虑了供水路径，使得模型的结果较为准确。另外针对问题二，还对初期模型二作了进一步简化，有效的简化了多个变量，是问题的求解也就得到了相当大的简化。4、本文的模型求解，同时利用了matlab和lingo，使得结果受软件自身缺陷影响较小。缺点：1、由于时间关系，我们的模型只能得到以上最初的模型，模型的计算可能会比较大些，使得计算机运行时间较长些。模型的推广：模型除了有效的解决水厂供水外，还可以用于天然气等各种管道供应的问题，所以在当今人们生活水平不断提高的情况下，本文的模型具有较大的推广价值。8、 参考文献1楼顺天 姚若玉.程序设计语言，第二版，西安电子科技大学出版社，2007.2蔡锁章.数学建模原理与方法，海军出版社，北京，2000.