高中数学 第二章 随机变量及其分布学业质量标准检测 新人教A版选修23

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1、第二章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1设随机变量等可能取值1、2、3、n，如果P(4)0.3，那么n的值为(D)A3B4C9D10解析P(4)0.3，n102(2017浙江理，8)已知随机变量i满足P(i1)pi，P(i0)1pi，(i1,2.)若0p1p2，则(A)AE(1)E(2)，D(1)D(2)BE(1)D(2)CE(1)E(2)，D(1)E(2)，D(1)D(2)解析由题意可知i(i1,2)服从两点分布，E(1)p1，E(2)p2，D(1)p1(1p1)，D(2)p2

2、(1p2)又0p1p2，E(1)E(2)把方差看作函数yx(1x)，根据012知，D (1)D(2)故选A3(2018全国卷理，8)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(C)A B C D解析不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C45种情况，而和为30的有723,1119,1317这3种情况， 所求概率为故选C4(2018天水高二检测)设随机变量X服从正态分布N(3

3、,4)，则P(Xa27)成立的一个必要不充分条件是(B)Aa1或2 Ba1或2Ca2 Da解析XN(3,4)，P(Xa27)，(13a)(a27)23，a1或2.故选B5如果随机变量B(n，p)，且E()7，D()6，则p等于(A)A B C D解析如果随机变量B(n，p)，则Enp，Dnp(1p)，又E()7，D()6，np7，np(1p)6，p6盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为(C)A恰有1只是坏的 B4只全是好的C恰有2只是好的 D至多有2只是坏的解析Xk表示取出的螺丝钉恰有k只为好的，则P(Xk)(k1、2、3、4)P(X1)，P(X2)

4、，P(X3)，P(X4)，选C7将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为(D)A B C D解析小球落入B袋中的概率为P1()2，小球落入A袋中的概率为P1P18(2018二模拟)袋中装有4个红球、3个白球，甲、乙按先后次序无放回地各摸取一球，在甲摸到了白球的条件下，乙摸到白球的概率是(B)A BC D解析甲摸到白球后，袋中还有4个红球，2个白球，故而在甲摸到了白球的条件下，乙摸到白球的概率为，故选B9有10张卡片，其中8张

5、标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是(A)A7.8 B8 C16 D15.6解析X的取值为6、9、12，P(X6)，P(X9)，P(X12)E(X)69127.810(2018淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X，且XN(800,502)记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0，则p0的值为(参考数据：若XN(，2)，有P(X)0.6826，P(2X2)0.9544，P(3X3)0.9974)(A)A0.9772 B0.6826C0.9974 D0.9544解析XN(800,502)P(700X900)0.9

6、544，P(X900)0.0228，P(X900)10.02280.9772故选A11某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a、b、c0,1)，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为(C)A B C D解析由条件知，3ab1，ab(3a)b2，等号在3ab，即a，b时成立12一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R的函数：f1(x)x，f2(x)x2，f3(x)x3，f4(x)sinx，f5(x)cosx，f6(x)2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函

7、数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数的数学期望为(A)A B C D解析由于f2(x)，f5(x)，f6(x)为偶函数，f1(x)，f3(x)，f4(x)为奇函数，所以随机变量可取1,2,3,4P(1)，P(2)，P(3)，P(4)所以的分布列为：1234PE()1234二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13(2018泉州高二检测)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，表示所取球的标号若a2，E()1，则D()的值为_11_解析根据题意得出随机变量的分布列为：01234PE(

8、)01234，a2，E()1，1a2，即a2，22，E()1，D()(0)2(1)2(2)2(3)2(4)2，D()4D()411故答案为1114一盒子中装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则P(B|A)_解析由条件知，P(A)，P(AB)，P(B|A)15在一次商业活动中，某人获利300元的概率为0.6，亏损100元的概率为0.4，此人在这样的一次商业活动中获利的均值是_140_元解析设此人获利为随机变量X，则X的取值是300，100，其概率分布列为：X300100P0.60

9、.4所以E(X)3000.6(100)0.414016甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的序号)P(B)；P(B|A1)；事件B与事件A1相互独立；A1，A2，A3是两两互斥的事件；P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关解析从甲罐中取出一球放入乙罐，则A1、A2、A3中任意两个事件不可能同时发生，即A1、A2、A3两两互斥，故正确，

10、易知P(A1)，P(A2)，P(A3)，又P(B|A1)，P(B|A2)，P(B|A3)，故对错；P(B)P(A1B)P(A2B)P(A3B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)，故错误综上知，正确结论的序号为三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A、B、C三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学(1)求甲、乙两人都被分到A社区的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个社区的概率；(3)设随机变量为四名同学中到A社区的人数，求的分布列和E()的值解析(1)记甲

11、、乙两人同时到A社区为事件M，那么P(M)，即甲、乙两人同时分到A社区的概率是(2)记甲、乙两人在同一社区为事件E，那么P(E)，所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是P()1P(E)(3)随机变量可能取的值为1,2.事件“i(i1,2)”是指有i个同学到A社区，则p(2)所以p(1)1p(2)，的分布列是：12pE()1218(本题满分12分)(2017让胡路区校级模拟)某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为(1)求比赛三局甲获胜的概率；(2)求甲获胜的概率；(3)设甲比赛的次数为X，求X的数学期望解析记甲n局获胜的概率为 Pn，n3,4

12、,5，(1)比赛三局甲获胜的概率是：P3C()3；(2)比赛四局甲获胜的概率是：P4C()3()；比赛五局甲获胜的概率是：P5C()2()2；甲获胜的概率是：P3P4P5(3)记乙n局获胜的概率为 Pn，n3,4,5P3C()3，P4C()3()； P5C()3()2；故甲比赛次数的分布列为：X345P(X)P3P3P4P4P5P5所以甲比赛次数的数学期望是：EX3()4()5()19(本题满分12分)(2017山东理，18)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组

13、志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX解析(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)因此X的分布列为X01234PX的数学期望EX0P(X0)1P(X1)2P(X2)3P

14、(X3)4P(X4)01234220(本题满分12分)(2016天津理，16)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望解析(1)由已知有P(A)所以，事件A发生的概率为(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2P(X0).P(X1)，P(X2)所以，随机变量X分布列为：X012P随机变量X的数学期望E(X)012121(本题满分12分)从

15、某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2利用该正态分布，求p(187.8Z212.2)；某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用的结果，求E(X)附：12.2若ZN(，2)，则P(Z)0.6826，P(2Z2)0.9544解析(1)抽取产品的质量指标

16、值的样本平均数和样本方差s2分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200，s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150(2)由(1)知，ZN(200,150)，从而P(187.8Z212.2)P(22012.2Z20012.2)0.6826由知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826，依题意知XB(100,0.6826)，所以E(X)1000.682668.2622(本题满分12分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者

17、获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立(1)分别求甲队以30,31,32胜利的概率；(2)若比赛结果为30或31，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为32，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望解析(1)依次将事件“甲队以30胜利”、“甲队以31胜利”、“甲队以32胜利”记作A1、A2、A3，由题意各局比赛结果相互独立，故P(A1)()3，P(A2)C()2(1)，P(A3)C()2(1)2所以甲队以30胜利、以31胜利的概率都为，以32胜利的概率为(2)设“乙队以32胜利”为事件A4，则由题意知P(A4)C(1)2()2(1)由题意，随机变量X的所有可能取值为0、1、2、3，由事件的互斥性得，P(X0)P(A1A2)P(A1)P(A2)，P(X1)P(A3)，P(X2)P(A4)，P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2)，或P(X3)(1)3C(1)2X的分布列为：X0123PE(X)0123我国经济发展进入新常态，需要转变经济发展方式，改变粗放式增长模式，不断优化经济结构，实现经济健康可持续发展进区域协调发展，推进新型城镇化，推动城乡发展一体化因：我国经济发展还面临区域发展不平衡、城镇化水平不高、城乡发展不平衡不协调等现实挑战。