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1、2015年福州市高中毕业班质量检测理科数学能力测试（完卷时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟参考公式：1样本数据的标准差，其中为样本平均数；2球的表面积、体积公式：,，其中为球的半径第卷 （选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的把正确选项涂在答题卡的相应位置上）1 已知全集，集合，则等于ABCD第5题图2 在平面直
2、角坐标系中，已知角的顶点与点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为，则的值是AB0C D13 在等差数列中，若，则的值是ABCD4 若，则的大小关系为A BC D5 执行如图所示的程序框图，输出的值为AB1CD6 在棱长为3的正方体内任取一点，则点到该正方体的六个面的距离的最小值不大于1的概率为ABCD7 “直线垂直于平面”的一个必要不充分条件是A直线与平面内的任意一条直线垂直 B过直线的任意一个平面与平面垂直C存在平行于直线的直线与平面垂直 D经过直线的某一个平面与平面垂直第8题图8 已知是边长为1的正三角形，动点在平面内若，则的取值范围为ABCD9 若函数满足：，都有成立，则称对
3、于函数,有A且B且C且D且10 某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有16名无论是否把我算在内，下面说法都是对的在这些医务人员中：护士多于医生；女医生多于女护士；女护士多于男护士；至少有一名男医生”请你推断说话的人的性别与职业是A男医生B男护士C女医生D女护士第卷 （非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置上）11 已知，为虚数单位，若，则 12 展开式的常数项为，则正数 13 已知抛物线的焦点为，是的准线上一点，是直线与的一个交点若，则直线的方程为14 已知一组正数的方差，则数据的平均数为15 已知函数，有下列四个结论
4、： 函数的图象关于轴对称； 存在常数，对任意的实数，恒有成立； 对于任意给定的正数，都存在实数，使得； 函数的图象上至少存在三个点，使得该函数在这些点处的切线重合其中正确结论的序号是 (请把所有正确结论的序号都填上)三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16 （本小题满分13分）已知函数的图象与直线的相邻两个交点之间的距离为（）求函数的单调递增区间；（）设的内角所对的边分别是若，求角的大小17 （本小题满分13分）调查表明，中年人的成就感与收入、学历、职业的满意度的指标有极强的相关性现将这三项的满意度指标分别记为，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本
5、满意，2表示满意，再用综合指标的值评定中年人的成就感等级：若，则成就感为一级；若，则成就感为二级；若，则成就感为三级为了了解目前某群体中年人的成就感情况，研究人员随机采访了该群体的10名中年人，得到如下结果：人员编号人员编号（）在这10名被采访者中任取两人，求这两人的职业满意度指标相同的概率； （）从成就感等级是一级的被采访者中任取一人，其综合指标为，从成就感等级不是一级的被采访者中任取一人，其综合指标为，记随机变量，求的分布列及其数学期望18 （本小题满分13分）已知一个空间几何体的直观图和三视图（尺寸如图所示）（）设点为棱中点，求证：平面；（）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦
6、值等于？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由第19题图19 （本小题满分13分）如图，已知椭圆（）的离心率点分别为椭圆的左焦点和右顶点，且（）求椭圆的方程；（）过点作一条直线交椭圆于两点，点关于轴的对称点为若，求证：20 （本小题满分14分）已知函数，为自然对数的底数（）当时，求函数在点处的切线方程；（）设，比较与的大小，并加以证明21 本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分若多做，则按所做的前两题计分（1）（本小题满分7分）选修42：矩阵与变换已知矩阵的逆矩阵（）求矩阵；（）求曲线在矩阵所对应的线性变换作用下所得的曲线方程（2）（本小题满分7分
7、）选修44：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）把的参数方程化为极坐标方程；（）求与交点的极坐标（）（3）（本小题满分7分）选修45：不等式选讲已知定义在上的函数的最小值为（）求的值；（）求不等式的解集2015年福州市高中毕业班质量检测理科数学能力测试参考答案及评分细则第卷 （选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1 A 2 B 3 B 4 C 5 C 6D 7D 8 A 9 C 10 B第卷 （非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共2
8、0分）11 12 13或 14 15三、解答题（本大题共6小题，共80分)16本小题主要考查三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）、两角差的正弦公式、利用正弦定理解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想满分13分解：()因为，所以1分所以函数的最大值为22分因为函数的图象与直线的相邻两个交点之间的距离为，所以，3分所以，解得4分所以令，5分解得所以函数的单调递增区间是6分()由()知，在中，因为所以7分所以因为，所以9分因为，根据据正弦定理，有，10分所以，所以，11分因为，所以，所以，12分所以13分17本小题主要考查离散型随机变量的概率
9、、分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等满分13分解：（）设事件为“从10名被采访者中随机抽取两人，他们的职业满意度指标相同”职业满意度指标为0的有：；职业满意度指标为1的有：,；职业满意度指标为2的有：,从10名被采访者中随机抽取两人的所有可能结果数为，1分，2分职业满意度指标相同的所有可能结果数为3分，4分所以他们的职业满意度指标相同的概率5分（）计算10名被采访者的综合指标，可得下表：人员编号综合指标4462453513其中成就感是一级的（）有：、，共6名，成就感不是一级的（）有、，共4名随机变量的所有可能取值为：6分,
10、 7分，8分 ，9分 , 10分 ，11分所以的分布列为1234512分所以13分18本小题主要考查空间体的直观图与三视图、直线与平面的平行、线面所成角、探索性问题等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想满分13分（）证明：（方法一）由三视图知，两两垂直，故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系1分则,所以，易知平面的一个法向量等于，3分所以,所以，4分又平面，所以平面5分（方法二）由三视图知，两两垂直连结，其交点记为，连结,1分因为四边形为矩形，所以为中点因为为中点，所以，且2分又因为，且，所以,且=所
11、以四边形是平行四边形，所以4分因为平面，平面所以平面5分（）解：当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为6分理由如下：因为，设平面的法向量为，由得7分取，得平面的一个法向量8分假设线段上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值等于设，则，9分所以10分12分所以，解得或(舍去) 因此，线段上存在一点，当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值等于 13分19本小题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线与椭圆的位置关系、推理与证明等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等满分13分解:（）设椭圆的半焦距为，依题意，得2分解得3分所以椭圆的方程为4分（）方法一：依题意
12、得， 与坐标轴不垂直设因为点与点关于轴对称,所以由（）讨论可知， 因为，所以直线与直线的斜率相等，故，6分解得7分又因为点在椭圆上，所以，或8分由椭圆对称性，不妨取，则直线的斜率所以直线方程为9分由得点坐标为10分所以，11分12分所以13分方法二：依题意，得与坐标轴不垂直设方程为（），因为点与点关于轴对称,所以又因为椭圆关于轴对称，所以点也在椭圆上由消去得 5分所以6分因为，所以直线的方程为由消去得7分因为直线交椭圆于两点，所以，故8分所以，解得9分所以10分所以，12分所以13分方法三：依题意，得与坐标轴不垂直设方程为（），因为点与点关于轴对称,所以又因为椭圆关于轴对称，所以点也在椭圆上直
13、线过定点，5分理由如下：由消去得6分所以7分所以，9分因为，所以，11分所以，所以三点共线，即直线过定点12分因为为线段中点，所以13分方法四：依题意，得与坐标轴不垂直设方程为（），因为点与点关于轴对称,所以5分因为三点共线，所以与共线，所以6分因为，所以可设（），即，所以7分所以，即8分依题意，所以9分因为点在椭圆上，所以，解得 或10分由椭圆对称性，不妨取，则，因为点在椭圆上，所以，解得 或（舍去）12分所以，即13分方法六：依题意，得与坐标轴不垂直设方程为（），因为点与点关于轴对称,所以由消去得6分所以7分因为，所以直线的方程为由消去得，8分因为直线交椭圆于两点，所以，即9分设（），则，
14、所以10分所以，解得，12分所以13分20本小题主要考查导数的几何意义、导数的应用（单调性、最值）、用点斜式求直线方程、比较不等式、证明不等式、数学归纳法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、有限与无限思想等满分14分解：（）当时，函数，则，1分所以，且，2分于是在点处的切线方程为，3分故所求的切线方程为4分（）解法一：5分理由如下：因为，构造函数，6分所以，因为，所以，所以7分所以函数在上单调递增，且，所以，9分即当，且时，恒成立，所以10分取，得成立 11分所以，12分所以，13分所以成立 14分解法二：5分理由如下：因为，欲证成立
15、，只需证，只需证，6分即证8分构造函数，则10分因为，所以令，得；令，得所以函数在单调递增；在上单调递减所以函数的最大值为所以，11分所以，即，则，12分所以取，得成立 13分所以当时，成立 14分解法三：5分理由如下：因为，欲证成立，只需证，只需证，6分即证8分用数学归纳法证明如下：当时，成立，当时，假设成立，9分那么当时， ，下面只需证明，10分只需证明，因为，所以，所以只需证明，所以只需证明，只需证明，只需证明对恒成立即可 11分构造函数，因为在单调递增，所以12分所以当时，成立，由和可知，对一切，成立 13分所以当时，成立 14分解法四：4分理由如下：因为，欲证成立，只要证，只需证，6
16、分即证8分用数学归纳法证明如下：当时，成立，当时，假设成立，9分那么当时， ，下面只需证明，10分注意到且，则，12分所以当时，成立，由和可知，对一切，成立 13分所以当时，成立 14分21（1）本小题主要考查矩阵及其逆矩阵、求曲线在矩阵所对应的线性变换作用下的曲线的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想满分7分解：（）因为矩阵是矩阵的逆矩阵，且，2分所以3分（）解法一：设上任意一点在矩阵所对应的线性变换作用下的像为点，则，4分由此得5分代入方程，得.6分所以在矩阵所对应的线性变换作用下的曲线方程为7分解法二：设上任意一点在矩阵所对应的线性变换作用下的像为点，则，4分其坐标变换公
17、式为由此得5分代入方程，得.6分所以在矩阵所对应的线性变换作用下的曲线方程为7分（2）本小题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程、极点坐标等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想满分7分解：（）将消去参数，得，所以的普通方程为：1分将代入得，2分所以的极坐标方程为3分（）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程得：4分由5分解得或6分所以与交点的极坐标分别为或7分（3）本小题主要考查平均值不等式、解含有绝对值号的不等式等基础知识，考查推理论证能力, 考查化归与转化思想满分7分解：（）因为,，根据三个正数的算术几何平均不等式，得，当且仅当，即时等号成立，1分又因为函数的最小值为，所以，2分解得3分（）解法一：由（）得：原不等式等价于或或5分所以或或，6分解得所以原不等式解集为7分解法二：由（）得：由绝对值的几何意义，可知该不等式即求数轴上到点和点的距离之和不大于的点的集合5分故原不等式解集为7分24
福建省福州市高中毕业班第二次质量检测理科数学试题及答案
