上海高考理科数学试卷及答案word版

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1、2012年上海高考数学（理科）试卷 一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1计算：= （i为虚数单位）. 2若集合，则= . 3函数的值域是 . 4若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 5在的二项展开式中，常数项等于 . 6有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,Vn,，则 . 7已知函数（a为常数）.若在区间1,+)上是增函数，则a的取值范围是 . 8若一个圆锥的侧面展开图是面积为2p的半圆面，则该圆锥的体积为 . 9已知是奇函数，且.若，则 .xOMlaOMxla10如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角.若将

2、的极坐标方程写成的形式，则 .11三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.12在平行四边形ABCD中，A=, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是 .13已知函数的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(,5)，C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为 .ABCD14如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是 .二、选择题（本大题

3、共有4题，满分20分）15若是关于x的实系数方程的一个复数根，则（ ）（A）.（B）.（C）.（D）.16在中，若，则的形状是（ ）（A）锐角三角形.（B）直角三角形.（C）钝角三角形.（D）不能确定.17设，. 随机变量取值、的概率均为0.2，随机变量取值、的概率也为0.2. 若记、分别为、的方差，则（ ）（A）.（B）.（C）.（D）与的大小关系与、的取值有关.18设，. 在中，正数的个数是（ ）ABCDPE（A）25.（B）50.（C）75.（D）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中点.已知A

4、B=2，AD=2，PA=2.求：（1）三角形PCD的面积；（6分）（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）20已知函数. （1）若，求的取值范围；（6分） （2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.（8分）21海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海xOyPA里A处，如图. 现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为. （1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，

5、求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）22在平面直角坐标系中，已知双曲线. （1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（4分） （2）设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若l与圆相切，求证：OPOQ；（6分） （3）设椭圆. 若M、N分别是、上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离是定值.（6分）23对于数集，其中，定义向量集. 若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P. 例如具有性质P. （1）若x2，且，求x的值；（4分） （2）若X具有性质P，求证：1X，且当xn1时，x1=1；（6

6、分） （3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列的通项公式.（8分）2012年上海高考数学（理科）试卷解答 一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1计算：= 1-2i （i为虚数单位）. 2若集合，则= . 3函数的值域是 . 4若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 arctan2 （结果用反三角函数值表示）. 5在的二项展开式中，常数项等于 -160 . 6有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,Vn,，则 . 7已知函数（a为常数）.若在区间1,+)上是增函数，则a的取值范围是 (-, 1 . 8若一个圆锥的侧面展开图是

7、面积为2p的半圆面，则该圆锥的体积为 .xOMla 9已知是奇函数，且.若，则 -1 .10如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角.若将的极坐标方程写成的形式，则 .11三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.12在平行四边形ABCD中，A=, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是 2, 5 .ABCD13已知函数的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(,5)，C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为.14如图，AD与BC是四面体ABCD

8、中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15若是关于x的实系数方程的一个复数根，则（ B ）（A）.（B）.（C）.（D）.16在中，若，则的形状是（ C ）（A）锐角三角形.（B）直角三角形.（C）钝角三角形.（D）不能确定.17设，. 随机变量取值、的概率均为0.2，随机变量取值、的概率也为0.2. 若记、分别为、的方差，则（ A ）（A）.（B）.（C）.（D）与的大小关系与、的取值有关.18设，. 在中，正数的个数是（ D ）ABCDPE（A）25.（B）50

9、.（C）75.（D）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，AD=2，PA=2.求：（1）三角形PCD的面积；（6分）（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）解（1）因为PA底面ABCD，所以PACD，又ADCD，所以CD平面PAD， 从而CDPD. 3分ABCDPExyz 因为PD=，CD=2， 所以三角形PCD的面积为. 6分 （2）解法一如图所示，建立空间直角坐标系， 则B(2, 0, 0)，C(2, 2,0)，E(1, , 1)， ，. 8分 设与的夹角为q，则 ，q=

10、.ABCDPEF 由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是 12分 解法二取PB中点F，连接EF、AF，则 EFBC，从而AEF（或其补角）是异面直线 BC与AE所成的角 8分 在中，由EF=、AF=、AE=2 知是等腰直角三角形， 所以AEF=. 因此异面直线BC与AE所成的角的大小是 12分20已知函数. （1）若，求的取值范围；（6分） （2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.（8分）解（1）由，得. 由得. 3分 因为，所以，. 由得. 6分 （2）当x1,2时，2-x0,1，因此. 10分由单调性可得.因为，所以所求反函数是，. 14分21海事救援船对一艘失事船

11、进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴xOyPA正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图. 现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为. （1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）解（1）时，P的横坐标xP=，代入抛物线方程 中，得P的纵坐标yP=3. 2分 由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时. 4分 由tanOAP=，得OAP=a

12、rctan，故救援船速度的方向 为北偏东arctan弧度. 6分 （2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为. 由，整理得.10分 因为，当且仅当=1时等号成立， 所以，即. 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. 14分22在平面直角坐标系中，已知双曲线. （1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（4分） （2）设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若l与圆相切，求证：OPOQ；（6分） （3）设椭圆. 若M、N分别是、上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离是定值.（6分）解（1）双曲线，左顶点，渐近线方程：. 过

13、点A与渐近线平行的直线方程为，即. 解方程组，得. 2分 所以所求三角形的面积1为. 4分 （2）设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切， 故，即. 6分 由，得. 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则. 又2，所以 ，故OPOQ. 10分 （3）当直线ON垂直于x轴时， |ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为. 当直线ON不垂直于x轴时， 设直线ON的方程为（显然），则直线OM的方程为. 由，得，所以.同理. 13分 设O到直线MN的距离为d，因为， 所以，即d=. 综上，O到直线MN的距离是定值. 16分23对于数集，其中，定义向量集. 若对于任意，存在，使得，则称X具有

14、性质P. 例如具有性质P. （1）若x2，且，求x的值；（4分） （2）若X具有性质P，求证：1X，且当xn1时，x1=1；（6分） （3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列的通项公式.（8分）解（1）选取，Y中与垂直的元素必有形式. 2分 所以x=2b，从而x=4. 4分 （2）证明：取.设满足. 由得，所以、异号. 因为-1是X中唯一的负数，所以、中之一为-1，另一为1，故1X. 7分假设，其中，则.选取，并设满足，即，则、异号，从而、之中恰有一个为-1.若=-1，则2，矛盾；若=-1，则，矛盾.所以x1=1. 10分 （3）解法一猜测，i=1, 2, , n.

15、12分 记，k=2, 3, , n. 先证明：若具有性质P，则也具有性质P. 任取，、.当、中出现-1时，显然有满足； 当且时，、1. 因为具有性质P，所以有，、，使得，从而和中有一个是-1，不妨设=-1.假设且，则.由，得，与矛盾.所以.从而也具有性质P. 15分现用数学归纳法证明：，i=1, 2, , n.当n=2时，结论显然成立； 假设n=k时，有性质P，则，i=1, 2, , k； 当n=k+1时，若有性质P，则 也有性质P，所以. 取，并设满足，即.由此可得s与t中有且只有一个为-1. 若，则1，不可能； 所以，又，所以. 综上所述，i=1, 2, , n. 18分 解法二设，则等价于. 记，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于原点对称. 14分注意到-1是X中的唯一负数，共有n-1个数，所以也只有n-1个数.由于，已有n-1个数，对以下三角数阵 注意到，所以，从而数列的通项公式为 ，k=1, 2, , n. 18分