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1、直角三角形与勾股定理一、选择题1、(2011浙江杭州模拟14)如图折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处. 已知AB=, B=30, 则DE的长是( ).A. 6 B. 4 C. D. 2答案：B2.（2011湖北崇阳县城关中学模拟）直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（）A. 5 B. C. 7 D. 答案：A（第3题）3（2011年杭州市上城区一模）梯形ABCD中ABCD，ADC+BCD=90，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3 ，且S1 +S3 =4S2，则CD=（ ）A. 2.5AB B. 3AB C. 3.5AB D
2、. 4AB答案：B4（2011年浙江省杭州市模2）直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（）A. 5 B. C. 7 D. 答案：A二、填空题BACD1、（2011年北京四中三模）如图是一个艺术窗的一部分，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为5cm，则正方形A、B、C、D的面积和是 答案：25cm22（20102011学年度河北省三河市九年级数学第一次教学质量检测试题）如图是两个全等的三角形纸片，其三边长之比为3：4：5，按图中方法分别将其对折，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为SA，SB，已知
3、SA+SB=13，则纸片的面积是 .第2题图SASB答案：363、(2011浙江杭州模拟15)如图，将含30角的直角三角尺ABC绕点B顺时针旋转150后得到EBD，连结CD.若AB=4cm. 则BCD的面积为答案：第4题图ACEDBF30454(2011年宁夏银川)将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm，则阴影部分的面积_cm2答案：5.(2011浙江省杭州市8模)如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_；图2ABC图1ABC
4、 (第5题图)答案:766、（2011年浙江杭州二模）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知ABBD，CDBD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是 米.ABPDCC第6题图答案：87、（2011年浙江杭州八模）如图，小明在A时测得某树的影长为3米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_米.（第7题）A时B时图2ABC答案：6图1ABC 第8题图8、（2011年浙江杭州八模）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个
5、全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_；答案：769. (浙江省杭州市党山镇中2011年中考数学模拟试卷)如图，将边长为的等边ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交于点M、N，DFAB，垂足为D，AD1，则重叠部分的面积为 .答案： B组(第1题)1（ 2011年杭州三月月考）将一副三角板按如图1位置摆放,使得两块三角板的直角边AC和MD重合.已知AB=AC=8 cm,将MED绕点A(M)逆时针旋转60后(图2),两个三角形重叠（阴影）部分的面积是 cm2答案： 2
6、（2011年重庆江津区七校联考一模）一元二次方程的两根恰好是一直角三角形的两边长，则该直角三角形的面积为 。答案： 6或3、（2011年浠水模拟2）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个 直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_；图2ABC图1ABC答案：764. （2011年杭州市模拟）侧棱长为cm的直三棱柱的三个侧面面积分别为、和，则该棱柱上底面的面积为答案：5. （2011年海宁市盐官片一模）已知是直角三角形的三条边，且，斜边上的高为，则下列说法中正确的是 。（
7、只填序号）；由可以构成三角形；直角三角形的面积的最大值是.答案：6（2011北京四中一模）在数学活动课上名师带领学生去测量河两岸A，B两处之间的距离，先从A处出发与AB成90方向，向前走了10米到C处，在C处测得ACB60(如图所示)，那么A，B之间的距离约为 米（计算结果精确到0.1米)答案：177. （2011深圳市中考模拟五）等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于 答案: 15或75三、解答题1、(2011浙江杭州模拟14)如图，直角梯形ABCD中，ABDC，DAB=90，AD=2DC=4，AB=6动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度
8、，从点C沿折线C-D-A向点A运动当点M到达点B时，两点同时停止运动过点M作直线lAD，与折线A-C-B的交点为Q点M运动的时间为t（秒）（1）当时，求线段的长；（2）点M在线段AB上运动时，是否可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，若可以，请直接写出t的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由 （3）若PCQ的面积为y，请求y关于出t 的函数关系式及自变量的取值范围；答案：解：（1）由RtAQMRtCAD 2分 即， 1分（2）或或4 3分（3）当0t2时，点P在线段CD上，设直线l交CD于点E由（1）可得 即QM=2tQE=4-2t2分 SPQC =PCQE= 1分 即当2时，过
9、点C作CFAB交AB于点F，交PQ于点H.由题意得， 四边形AMQP为矩形 PQCHPQ，HF=AP=6- t CH=AD=HF= t-2 1分SPQC =PQCH= 1分 即y=综上所述 或y= ( 2BC），ACB=900，CDAB，D为垂足， CM平分ACB,且BC、AC是方程x2-14x+48=0的两个根，求AD、MD的长。（2）请你用数形结合的“以形助数”思想来解： 设a、b、c、d都是正数，满足a：b=c：d,且a最大。求证：a+db+c（提示：不访设AB=a,CD=d,AC=b,BC=c，构造图1）答案：解：（1）显然，方程x2-14x+48=0的两根为6和8，1分又ACBCAC
10、=8，BC=6由勾股定理AB=10ACDABC，得AC2= ADABAD=6.4-2分CM平分ACBAM：MB=AC：CB解得，AM=-1分MD=AD-AM=-1分（2）解：不访设AB=a,CD=d,AC=b,BC=c由三角形面积公式，得ABCD=ACBC2ABCD=2ACBC -1分又勾股定理，得AB2=AC2+BC2AB2+2ABCD =AC2+BC2+2ACBC(等式性质)AB2+2ABCD =（AC+BC）2-1分AB2+2ABCD+CD2 （AC+BC）2-2分(AB+CD) 2 （AC+BC）2又AB、CD、AC、BC均大于零AB+CDAC+BC即a+db+c-1分3. （2011
11、年北京四中中考全真模拟17）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米. 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？1、探索勾股定理时，我们发现“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决线段和（或差）的有关问题，这种方法称为面积法。请你运用面积法求解下列问题：在等腰三角形ABC中，AB=AC,BD为腰AC上的高。(1)若BD=h，M时直线BC上的任意一点，M到AB、AC的距离分别为。 若M在线段BC上，请你结合图形证明：= h； 图yxEDOF 当点M在BC的延长线上时，h之间的关系为 .（请直接写出结论，不必证明） （2）如图，在平面直角坐标系中有两条直线
12、：y = x + 6 ； ：y = -3x+6 若上的一点M到的距离是3，请你利用以上结论求解点M的坐标。（1）证明：连结AM, EMAB , MFAC, BDAC AC.h = AB. + AC.yxEDOF又AB = AC h = + 2分 - = h 3分（2）由题意可知，DE = DF =10,EDF是等腰三角形。4分当点M在线段EF上时，依据（1）中结论，h = EO=6，M到DF（即x轴）的距离也为3.点M的纵坐标为3，此时可求得M(1,3)6分当点M在射线FE上时，依据（1）中结论h = EO=6，M到DF（即x轴）的距离也为9.点M的纵坐标为9，此时可求得M(-1,9)8分故点
13、M的坐标为(1,3)或(-1,9)4、（2011年江苏盐都中考模拟）解：原式=（4分）5（2011年黄冈中考调研六）(满分14分) 如图,以等边OAB的边OB所在直线为x轴,点O为坐标原点,使点A在第一象限建立平面直角坐标系，其中OAB边长为6个单位，点P从O点出发沿折线OAB向B点以3单位/秒的速度向B点运动,点Q从O点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA向A点运动，两点同时出发，运动时间为t（单位：秒），当两点相遇时运动停止。xyOABxyOABxyOAB 点A坐标为_，P、Q两点相遇时交点的坐标为_; 当t=2时，_;当t=3时，_; 设OPQ的面积为S，试求S关于t的函数关系式; 当OP
14、Q的面积最大时，试求在y轴上能否找一点M，使得以M、P、Q为顶点的三角形是Rt，若能找到请求出M点的坐标，若不能找到请简单说明理由。答案(1) A点坐标为、交点坐标为（(2) 当t=2时，； 当t=3时，(3)(4) 对（3）中的分段函数进行计算后得知当t=2，S有最大值，此时P与A重合，OP=6，OQ=4，过P作PCOB于C点，计算得OC=3，AC=，CQ=1，PQ= 如图，过P作PMPQ交y轴于M点，过M作MNAC于N，则MN=OC=3，易得RtPMNQPC，有即，得PN=，MO=NC=故M点坐标为 过Q作MQPQ交y轴于M点，通过MOQQCP，求得M坐标为 以PQ为直径作D，则D半径r为
15、，再过P作PEy轴于E点，过D作DFy轴于F点，由梯形中位线求得DF=，显然rDF，故D与y同无交点，那么此时在y轴上无M点使得MPQ为直角三角形.综上所述，满足要求的M点或6. (2011浙江省杭州市8模)（本题满分8分）某商场为了迎接“六一”儿童节的到来，制造了一个超大的“不倒翁”。小灵对“不倒翁”很感兴趣，原来“不倒翁”的底部是由一个空心的半球做成的，并在底部的中心（即图中的C处）固定一个重物，再从正中心立起一根杆子，在杆子上作些装饰，在重力和杠杆的作用下，“不倒翁”就会左摇右晃，又不会完全倒下去。小灵画出剖面图，进行细致研究：圆弧的圆心为点O，过点O的木杆CD长为260,OA、OB为圆
16、弧的半径长为90（作为木杆的支架），且OA、OB关于CD对称，弧AB的长为30。当木杆CD向右摆动使点B落在地面上（即圆弧与直线l相切于点B）时，木杆的顶端点D到直线l的距离DF是多少？OABDlACCDEBFO解：由弧AB的长可得，AOB60，从而BOECOB30，（2分）OB90cm，OEcm，（2分）DE170+ cm， （2分）DF180+ cm （2分）7.（2011广东南塘二模）如图，在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟30mBCA东西4560的速度沿着仰角为60的方向上升，20分钟后升到B处，这时气球上的人发现在A的正西方向俯角为45的C处有一着火点，求气球的升空点A与着火点C的
17、距离（结果保留根号）.答案：过B作BDCA于D，则AB600m，AD300m，BDCD300m，CA300(1)m。8. （2011深圳市全真中考模拟一）ABC中，BC，AC，ABc若，如图l，根据勾股定理，则。若ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论答案：解：若ABC是锐角三角形，则有 (1分) 若ABC是钝角三角形，为钝角，则有。 (2分) 当ABC是锐角三角形时，证明：过点A作ADBC，垂足为D，设CD为，则有BD（3分）根据勾股定理，得即。（5分），。（6分）当ABC是钝角三角形时，证明：过B作BDAC，交AC的延长线于D。设CD为，则有（7分）根据勾股定理，得即。（9分），。（10分）- 13 -
全国各地中考数学模拟题分类28直角三角形与勾股定理(含答案)
