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1、第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第2试一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面圆括号内1计算，得数是（）A9位数B10位数C11位数D12位数 2若，则代数式的值（）A等于B等于C等于或不存在D等于或不存在3The integer solutions of the inequalities about ：are then the number of integer pairs（）is（）A32B35C40D48（英汉词典：integer整数）4已知三角形三个内角的度数之比为且，则这个三角形是（）A锐角三角形B直角三
2、角形C钝角三角形D等腰三角形5如图1，三个凸六边形的六个内角都是，六条边的长分别为则下列等式中成立的是（）ABBC6在三边互不相等的三角形中，最长边的长为，最长的中线的长为，最长的高线的长为，则（）ABCD 7某次足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某球队参赛15场，积33分，若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情况可能有（）A15种B11种C5种D3种8若与成反比，则与（）A成正比B成反比C既不成正比，也不成反比D关系不确定9如图2，已知函数，点在正轴上，过点作轴，交两个函数的图象于点和，若，则的值是（）A6B3CD1010个人围成一圈做游戏，游戏的规则是：每个人
3、心里都想一个数，并把自己想的数告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图3所示，则报出来的数是3的人心里想的数是（）A2BC4D 二、填空题（每小题4分，共40分）11若则_12如图4，已知点，是原点，则点的坐标是_ 13已知，并且，则_（填“”、“”、“”或“”）14若，则代数式的值是_15将代数式分解因式，得_16三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时刻，在前，在后，在正中间，10分钟后，追上；又过了5分钟，追上则再过_分钟，追上17边长是整数，周长等于20的等腰三角形有_种，其中面积最大的三角形底边的长是_18如图5，在中，图中的数据说明_
4、19如图6，直线与轴、轴分别交于，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角在第二象限内有一点，且的面积与的面积相等，则的面积是_；_20Given the area of is ，and the length of its three sides are ，10 respectively And the perimeter of is 18，its area is Then the relationship between and is （fill in the blank with“”，“=”or “”）（英汉词典：area面积；length长度；perimeter周长）三、解答题每题都要写出推
5、算过程21（本题满分10分）解方程：【解析】 令，则 ，整理得 ，所以 或，即 ， 或 ， 由得 ，由得或经检验，知都是原方程的解22（本题满分15分）如图7，等腰直角的斜边上有两点，且满足，将绕着点顺时针旋转后，点的对应点分别为请画出旋转后的图形，并证明求的度数【解析】 将绕着点顺时针旋转，如图根据旋转前后的对应关系，可知所以 由色股定理，得，所以 又因为 是公共边，所以 因为顺时针旋转后得到所以 ，上面已证得 ，故23（本题满分15分）已知长方形的边长都是整数，将边长为2的正方形纸片放入长方形，要求正方形的边与长方形的边平行或重合，且任意两个正方形重叠部分的面积为0，放入的正方形越多越好如
6、果长方形的长是4，宽是3，那么最多可以放入多少个边长为2的正方形？长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是多少？如果长方形的长是，宽是，那么最多可以放入多少个边长为2的正方形？长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是多少？对于任意满足条件的长方形，使长方形被覆盖的面积小于整个长方形面积的55%求长方形边长的所有可能值（已知）【解析】 最多可以放入2个正方形，长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是当是偶数时，也是偶数，最多可以放入个正方形，长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是100%当是奇数时，也是奇数，最多可以放入个正方形，长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是设长
7、方形的宽与长分别是若都是偶数，则长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的100%，不符合题意若中一个是偶数，一个是奇数（是正整数），则解得没有满足此结果的正整数，这种情况也不符合题意因此，都是奇数令是正整数，则有 因为，所以 得 ，由于 是正整数，所以 代入式，得 ，解得 ，由于 是正整数，所以 或2故有 或5即长方形长为5，宽为3，或长与宽都是3第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案及评分标准初二 第2试一、选择题（每小题4分）题号121345678910答案BDBCCADADB二、填空题（每小题4分，第17、19题，每空2分）题号11121314151617181920答案-41154；6
8、2；1. ，得数是位数2. ， 将其代入代数式，得 当时，原式；当时，原式的值不存在3. 原不等式 于是， 所以有个不同的取值，有个不同的取值， 于是整数对共有个4. ，即，三角形为钝角三角形5. 如图，补三个等边三角形，则，于是6. 利用直角三角形中斜边大于直角边易得结论7. 设该球队胜、平、负的场数分别为、，则，于是，又能整除，于是对应的，共3种情况8. 与成反比，其中为非零常数于是，因此为定值而，结合为定值所以与成正比9. 与的纵坐标相等，即，10. 假设报出来的数是的人心里想的数是，则报出来的数12345678910心里想的数于是，解得11. 12. 过、作轴的垂线，利用弦图容易得到13. ，而，即14. ， 于是15. 16. 设当在、正中间是，则相对的速度为，相对的速度为，因此相对的速度为，故追上需要时间为分钟于是再过分钟，追上17. 设等腰三角形的腰长为，则底边长为，于是，有，的可能取值有，共4种其面积为，当时三角形面积最大，此时底边长为18. 在上取一点，使得，容易证明，于是19. ， 于是，解得20. 的面积不小于三边长分别为的三角形面积，于是；而的面积不大于周长为的正三角形面积，于是
第21希望杯初二第2试试题及答案
