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1、利用“不动点”法巧解高考题由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键.与递推关系对 应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此我们可以利用对函数“不动点”问题 的研究结果，来简化对数列通项问题的探究。笔者在长期的教学实践中，不断总结探究反思， 对那些难求通项的数列综合问题，形成利用函数不动点知识探究的规律性总结，以期对同学们 解题有所帮助.1不动点的定义一般的，设f(x)的定义域为D,若存在X0 D,使f(Xo) X0成立，则称X0为f(x)的 不动点，或称(X0, X0)为f (x
2、)图像的不动点。2求线性递推数列的通项定理1 设f(X)aX b(a 0,1),且x0为f (x)的不动点，an满足递推关系an f(ani),n 2,3,L，证明an x0是公比为a的等比数列。证：: x0是f (x)的不动点，所以ax0 b x0,所以，所的等比数列。例1 (2010上海文数21题)已知数列an的前n项和为Sn,且& n 5a085, n N*(1)证明：an 1是等比数列；(2)求数列&的通项公式，并求出使得Sn1 Sn成立的最小正 整数n .证：(1)当 n 1 时，a1 14;当 n 2时，an Sn Sn 1 5an 5an 1 1,即 6an 5an 1 1 (n
3、 2)即5 1、一 51an-an1 一(n 2),记f (x) x-，令f (x) x ,求出不动点 x0 1 ,由小理 1知：6 6665an 1 -(an 1 1)(n 2),又a1 115肛所以数列an 1是等比数列。(2)解略。63求非线性递推数列的通项定理2设f(x)3一b(c 0, ad bc 0),且x1、X2是f (x)的不动点，数列an满足递推关系 cx dan f(am), n 2,3,L , (i)若为X2,则数列亘力是公比为里/正的等比数列；(五) an x2a x2cX, X2 X0 ,则数列 是公差为三的等差数列。an X0a d7证：（i ）由题设知塾一bcx
4、1 dx1dx 1cx 1x 1 dx 1 b同理 dx2 b (a cx2)x2.(acxi 同 b dxi(a cx2)anb dx2a cx1a cx2ananxi乂2所以数列亘是公比为 Ux1的等比数歹上an x2a cx2(ii)由题设知3L = x的解为cxx1x2a2cd 且 b dx0 =a cx0xo所以1an 1x。1 aa n b ca n dxo(acancx)andb dx0can(a cx)(andb dx)a cx0can(a cx)(an xo)can cx0 d cx0(a cx)(anx)a cx0d cx0a cx0anx0cx。 an xoan x02c
5、/J,所以数列 a da d 2ca c%0_da c2c_ anx0anx0、,2c一 、,）是公差为 上 的等差数列。a d例2为Sn（2006年全国II卷22题）设数列an的前n项和为Sn,且方程x2anx an0有一根1 (nN ）。求数列an的通项公式。解：依题a1L 且(Sn 1)22an (Sn 1)an 0,将 an SnSn 1代入上式,得Sn一,令f （x） x ,求出不动点x0 x1 ,由定理2（ ii）知:12Sn11 SnSn1所以数列1 一 、，占 是公差为 1的等差数列，所以 Sn -因此数列an的通项公式为an（2010年全国卷I 22题）已知数列an中，a1
6、1,an(I)设c 5,bn求数列bn的通项公式.2an 2取值范围.(H)求使不等式an ani 3成立的c的解：(I )依题an 15 15an 2-一，记 f(x)2 an 2an5x 21，令f (x) x ,求出不动点Xi - ,X2 2 ;2x2由定理2知：ani 22an1an Tc 112 , an 12an2 an1 an 22 a n两式相除得到1亘二，所以亘工是以1为公比,4114an 二an 二22a12a12为首项的等比数列，所以，同a nn 11一 ,an42一 J,从而bn2 4.(n)解略。定理3设f(x)2 ax2ax d(ax1、x2是f (x)的不动点,数
7、列an满足递推关系anf(an 1),2,3,L则有加an 1x2(a2x1)2.)x2a1x1a x20,则In a a,n乂2等比数列。x1、x2是 f (x)dx1 bax12 ,dx22ax2。an 1Xan 1x22 an2 anb (2aan d)x1b (2 a andM2a anb 2a2ax1 ban2 b 2a an x2 ax22 b/ 2 a(an2、2an x x1)a(a2 2an 飞 x2)(Onan上)2x2a1为ax20 ,则 anx10 ,anx2an 1 X Inan 1x22lnananX2lnanx1是公比为2的等比数歹上anx2例4 (2010东城区
8、二模试题)已知数列xn满足x1 4,xn 1x232xn 4.求证:xn3-求证:Xn 1 Xn ；求数列Xn的通项公式.证：、证略；依题Xn 1x2 3，记2Xn 4 f(x)x2 32x 4令f(X) X,求出不动点X1 1,x2 3;由定理3知:Xn2Xn2x,34(Xn 1)22XnXn 12Xn2Xn 4(Xn 3)22Xn 4所以1Xn 13Xn1X n3x11x133,所以logXn 11X n 132logXn 13 X 3令an1-,则数列an是首项为1 3公比为2的等比数列.所以an2n 1 .由 anXn l0g3 XnXn 1 人3an 1得3n 所以 xn -TOTX
9、n 33C2n 1 1/312n 1.31利用函数“不动点”法求解较复杂的递推数列的通项问题，并不局限于以上三种类型，基 于高考数列试题的难度，本文不再对更为复杂的递推数列进行论述，以下两个定理供有兴趣的 同学探究证明。定理4 设 f(X)2 aXu b2 2bbx 4a(a0),且X0是f(X)的最小不动点,数列an满足递推关系anf(an1) ， n2,3,L,则有anXo2 a(an 1 Xo).定理5 设 f(x)3 axbX2b2一 X 3ab327a2 (a 0),且Xo是f (x)的不动点,数列an满足 3a递推关系anf (an 1)2,3,L,则有 an Xo a(an 1 x。)3.
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