考研数学一真题含解析

《考研数学一真题含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研数学一真题含解析（16页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、2005年考研数学一真题一、填空题 （本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 .把答案填在题中横线上）x 2（ 1）曲线 y斜渐近线方程为 _.2x 1（2）微分方程 xy2 yx ln x 满足 y(1)1 解为 . _.9（3 ） 设 函 数 u( x, y, z)1x2y 2z2， 单 位 向 量 n1 1,1,1， 则612183u=._.n(1,2,3)（4）设 是由锥面 zx 2y 2与半球面 zR2x 2y 2 围成空间区域，是 整个边界外侧，则xdydzydzdxzdxdy_.（5）设1 ,2 ,3 均为3 维列向量，记矩阵A(1,2 ,3)，B(123 ,12243

2、 ,13293)，如果A1 ，那么B.（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从 1,2, X中任取一个数，记为Y,则PY2=_.二、选择题 （本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前字母填在题后括号内）（7）设函数 f ( x)lim n 1x3n ，则 f(x) 在 (, ) 内n(A)处处可导 .(B)恰有一个不可导点 .(C)恰有两个不可导点 .(D)至少有三个不可导点 . （8）设 F(x) 是连续函数 f(x) 一个原函数， MN 表示“ M充分必要条件是 N”，则必有(A)F(x) 是偶函数f(x)是奇函数

3、 .（B） F(x) 是奇函数f(x) 是偶函数 .(C) F(x) 是周期函数f(x) 是周期函数 .(D) F(x)是单调函数f(x)是单调函数 .（9）设函数 u( x, y)( xy)x y(t)dt , 其中函数( x y)y具有二阶导数，具x有一阶导数，则必有(A)2 u2 u .（B）2u2 u .x2y2x2y 2(C)2 u2 u .(D)2 u2 u . x yy 2x yx 2（10）设有三元方程 xyz ln y exz1，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1) 一个邻域，在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数隐函数z=z(x,y).(B)可确定两个具有连续

4、偏导数隐函数x=x(y,z)和 z=z(x,y).(C)可确定两个具有连续偏导数隐函数y=y(x,z)和 z=z(x,y).(D)可确定两个具有连续偏导数隐函数x=x(y,z)和 y=y(x,z). （11）设 1,2 是矩阵 A 两个不同特征值，对应特征向量分别为1, 2，则1 ，A( 12 ) 线性无关充分必要条件是(A)10 .(B)20. (C)10.(D)20 .（12）设A 为n（ n2）阶可逆矩阵，交换A 第1 行与第2 行得矩阵B,A*,B*分别为 A,B 伴随矩阵，则(A)交换A*第1 列与第2列得 B*.(B)交换A*第1 行与第2行得 B*.(C)交换A*第1 列与第2

5、列得B*.(D)交换A*第1 行与第2 行得B*.（13）设二维随机变量 (X,Y)概率分布为XY0100.4a1b0.1已知随机事件 X 0 与 XY1 相互独立，则(A)a=0.2, b=0.3(B)a=0.4, b=0.1(C)a=0.3, b=0.2(D)a=0.1, b=0.4（14）设 X1, X2, X n (n2) 为来自总体 N(0,1)简单随机样本， X 为样本均值， S2 为样本方差，则(A)nX N (0,1)(B)nS 22 ( n).(C)(n1)X t( n 1)(D)( n n1)X12 F (1, n1).SX i2i 2三 、解答题（本题共 9 小题，满分

6、94 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 . ）（15）（本题满分 11 分）设 D(, )x2y22,x0,y0， 1 x22 表示不超过 1 x22最大整数 .x yyy计算二重积分xy1x2y 2 dxdy.D（16）（本题满分 12 分）求幂级数(1) n 1 (11)x 2 n 收敛区间与和函数 f(x).n1n(2n1)（17）（本题满分11 分）如图，曲线 C 方程为 y=f(x) ，点 (3,2)是它一个拐点，直线 l 1 与 l 2 分别是曲线 C 在点(0,0)与(3,2)处切线，其交点为 (2,4).设函数 f(x) 具有三阶连续导数，计算定积分32x) f(

7、 x)dx.( x0（18）（本题满分12 分）已知函数 f(x)在0 ，1 上连续，在 (0,1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1.证明：（I ）存在( 0,1), 使得 f () 1；（ II）存在两个不同点,(0,1) ，使得 f ( ) f () 1.（19）（本题满分 12 分）设函数( y) 具有连续导数，在围绕原点任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分( y)dx2xydy值恒为同一常数 .L2x2y4（ I ）证明：对右半平面 x0 内任意分段光滑简单闭曲线C，有( y)dx2xydy0；C2x2y4（II ）求函数( y) 表达式 .（20）（本题满分 9 分）已知二次

8、型 f ( x1 , x2 , x3 )(1a) x12(1 a)x222 x322(1a)x1 x2 秩为 2.（ I ） 求 a 值；（ II ） 求正交变换 x Qy ，把 f (x1, x2 , x3 ) 化成标准形；（ III ） 求方程 f ( x1 , x2 , x3 ) =0 解 .（21）（本题满分 9 分）123已知 3 阶矩阵 A 第一行是 (a,b, c), a,b, c 不全为零，矩阵B246（k 为常数），36k且 AB=O, 求线性方程组 Ax=0通解 .（22）（本题满分 9 分）设二维随机变量 (X,Y) 概率密度为求：（I ）(X,Y)边缘概率密度f X(x

9、), fY ( y) ；（ II ） Z2XY 概率密度 f Z ( z).（23）（本题满分 9 分）设 X1 , X 2 , X n (n2) 为来 自总 体N(0,1)简单随机样本，X 为样本均值，记YiX iX , i1,2, n.求：（I ）Yi方差DYi , i1,2, n ；（II） Y1 与 Yn 协方差Cov(Y1 ,Yn ).2005 年考研数学一真题解析一、填空题 （本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 .把答案填在题中横线上）（ 1）曲线x2斜渐近线方程为y1 x1 .y2x124【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】f ( x

10、)limx 21，因为 a=limx2 x2x2xxb limf ( x)axlimx1 ，xx2(2x1)4于是所求斜渐近线方程为y1 x1 .24（2）微分方程 xy2 yx ln x 满足 y(1)1 解为 y1 x ln x1 x.939【分析】直接套用一阶线性微分方程yP(x) y Q( x) 通解公式：yP( x) dxP ( x) dxdxC ，e Q( x)e再由初始条件确定任意常数即可.【详解】 原方程等价为y2yln x ，x221dxdx2于是通解为xxy e ln xedxC x 2 x ln xdxC = 1 x ln x1 x C12 ，39x由 y(1)1 得 C

11、=0，故所求解为 y1 xln x1 x.939（3）设函数 u( x, y, z)1x 2y2z2，单位向量 n11,1,1 ，则 u(1,2 ,3)= 3 .612183n3【分析】 函数 u(x,y,z)沿单位向量 ncos,cos , cos 方向导数为：uu cosu cosu cosnxyz因此，本题直接用上述公式即可.【详解】因为uxx3，uyy6，uz ，于是所求方向导数为z9u= 1111113 .n(1,2 ,3)3333333（4）设是由锥面 zx 2y 2与半球面 zR2x 2y 2 围成空间区域，是整个边界外侧，则xdydzydzdxzdxdy2 (12)R3.2【分

12、析】本题 是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可 .【详解】xdydzydzdxzdxdy3dxdydz=R2 d4 sin d22 (12 )R3.3d0002（5）设1 ,2 ,3 均为 3 维列向量，记矩阵A (1,2,3)，B (123,122 43,13293)，如果 A1，那么B2.【分析】 将 B 写成用 A 右乘另一矩阵形式，再用方阵相乘行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有111=(1,2,3)123，149111于是有BA 123122.149（6）从数 1,2,3,4中任取一个数，记为 X, 再从 1,2, X 中任取

13、一个数，记为 Y, 则PY2 =13 .48【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式,且第一次试验各种两两互不相容结果即为完备事件组或样本空间划分 .【详解】P Y2 =P X1 PY2 X1 +PX 2 PY2X 2+P X3 PY2X 3+PX4PY 2X 4=1(0111 )13 .423448二、选择题 （本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分.每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前字母填在题后括号内）（7）设函数 f ( x)lim n 1 x3n ，则 f(x)在 (, ) 内n(A) 处处可导 .(B)恰有一个不可导点 .(C)恰有两个不可导点

14、.(D)至少有三个不可导点. C 【分析】 先求出 f(x) 表达式，再讨论其可导情形 .【详解】当 x1 时， f ( x)lim n 13nx1 ；n当 x1 时， f ( x)lim n 111；n3113当 x1 时， f ( x)1)nlim x (3nx .nxx3 ,x1,即 f ( x)1,1x 1,可见 f(x)仅在 x=1 时不可导，故应选 (C).x 3 ,x1.（8）设 F(x) 是连续函数 f(x)一个原函数， MN 表示“ M充分必要条件是 N”，则必有(B) F(x) 是偶函数f(x) 是奇函数 .（B） F(x) 是奇函数f(x) 是偶函数 .(C) F(x)

15、是周期函数f(x) 是周期函数 .(D)F(x)是单调函数f(x)是单 调函数 . A 【分析】 本题可直接推证，但最简便方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 方法一：任一原函数可表示为 F ( x)xf (t) dtC ，且 F ( x)f ( x).0当 F(x) 为偶函数时，有 F ( x) F ( x) ，于是 F ( x) (1)F ( x) ，即f ( x)f ( x) ，也即f ( x)f (x) ，可见 f(x) 为奇函数；反过来，若 f(x)为奇函数，则xf (t) dt 为偶函数，从0而 F ( x)xf (t) dt C 为偶函数，可见 (A) 为正确选项 .0方法

16、二：令 f(x)=1,则取 F(x)=x+1, 排除 (B) 、(C);令 f(x)=x,则取 F(x)= 1x 2 , 排2除(D); 故应选 (A).（9）设函数 u( x, y)( xy) ( xy)x y(t)dt ,其中函数具有二阶导数，具x y有一阶导数，则必有(A)2u2 u. （B）2 u2u .x2y 2x2y 2(C)2 u2u .(D)2u2u .B x yy 2x yx2【分析】先分别求出2u、2u 、2u ，再比较答案即可 .x2y2x y【详解】因为 u( xy)( xy)(x y)( xy) ，xu( x y)(xy)( x y)(x y) ，y于是2 u( x

17、y)( x y)( x y)( x y) ，x 22 u( x y)( x y)( x y)( x y) ，x y2 u(xy)()(xy)(xy) ，y 2x y可见有2u2 u ，应选 (B).x2y 2（10）设有三元方程 xyz ln yexz1，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1) 一个邻域，在此邻域内该方程(E)只能确定一个具有连续偏导数隐函数z=z(x,y).(F)可确定两个具有连续偏导数隐函数x=x(y,z)和 z=z(x,y).(G)可确定两个具有连续偏导数隐函数y=y(x,z)和 z=z(x,y).(H)可确定两个具有连续偏导数隐函数x=x(y,z)和 y=y(x,z)

18、. D 【分析】 本题考查隐函数存在定理， 只需令 F(x,y,z)=xy zln y exz1 ,分别求出三个偏导数 Fz , Fx , F y ，再考虑在点 (0,1,1)处哪个偏导数不为0，则可确定相应隐函数 .【详解】 令 F(x,y,z)= xyzln yexz1 ,则Fxy exz z ， Fy xz ， Fzln y exz x ，y且 Fx (0,1,1) 2， Fy (0,1,1)1 ， Fz (0,1,1)0. 由此可确定相应隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). 故应选 (D).（11）设 1,2 是矩阵 A 两个不同特征值，对应特征向量分别为1 ,2 ，则1 ，A(

19、 12 ) 线性无关充分必要条件是(A)10.(B)20.(C)10.(D)20.B【分析】 讨论一组抽象向量线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】 方法一：令k11 k2 A( 12) 0，则k1 1k2 1 1 k2 2 20 ，(k1k2 1 ) 1k2 2 2 0 .由于1 , 2 线性无关，于是有当 2 0 时，显然有 k10,k 20，此时 1，A( 12 ) 线性无关；反过来，若 1 ，A( 12 ) 线性无关，则必然有 20(,否则， 1与 A( 12 ) = 1 1 线性相关 ) ，故应选 (B).方法二： 由于 1,A(12) 1,11 221,2101 ，21可

20、见1 ， A( 12 ) 线性无关充要条件是010.故应选 (B).22（12）设 A 为 n（ n2）阶可逆矩阵，交换A 第 1 行与第 2 行得矩阵 B,A* , B* 分别为 A,B 伴随矩阵，则(B)交换 A* 第 1列与第 2列得 B* .(B)交换 A* 第 1行与第 2行得 B* .(C)交换 A*第 1列与第 2列得B* .(D)交换 A*第 1行与第 2行得B* .C【分析】 本题考查初等变换概念与初等矩阵性质，只需利用初等变换与初等矩阵关系以及伴随矩阵性质进行分析即可 .【详解】 由题设，存在初等矩阵 E12（交换 n 阶单位矩阵第1 行与第 2 行所得），使得E12AB

21、，于是 B*(E12 A)*A*E*12A*1E12 E12A* E12 ，即A* E12B* , 可见应选 (C).（13）设二维随机变量 (X,Y)概率分布为XY0100.4a1b0.1已知随机事件 X0 与 XY1 相互独立，则(B) a=0.2, b=0.3(B)a=0.4, b=0.1(C) a=0.3,b=0.2(D)a=0.1,b=0.4B【分析】 首先所有概率求和为1，可得 a+b=0.5,其次，利用事件独立性又可得一等式，由此可确定 a,b 取值 .【详解】 由题设，知a+b=0.5又事件 X0 与 XY1 相互独立，于是有PX 0,XY1PX 0PXY1 ，即 a=( 0.

22、4 a)(ab) ,由此可解得 a=0.4, b=0.1,故应选 (B).（14）设 X1, X2, X n (n2) 为来自总体 N(0,1)简单随机样本， X 为样本均值， S2 为样本方差，则(B)nX N (0,1)(B)nS22 ().n(C)(n1)X t( n1)(D)( n n1)X12 F (1, n 1).D SX i2i 2【分析】 利用正态总体抽样分布性质和2 分布、 t分布及 F 分布定义进行讨论即可.【详解】 由正态总体抽样分布性质知，X0nX N (0,1) ，可排除 (A);1n又 X0nX t(n1) ，可排除 (C); 而 (n1) S2(n 1)S22 (

23、n 1) ，不能断定 (B)SnS12是正确选项 .nn因为 X12 2 (1),X i2 2 (n1)，且 X12 2 (1)与X i2 2 ( n 1) 相互独立，于是i2i2X12(n1) X1211).故应选 (D).nn F (1, nX i2X i2i 2i2n 1三 、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 . ）（15）（本题满分 11 分）设 D(, )x2y22,x0,y0， 1x22 表示不超过 1x22最大整数 .x yyy计算二重积分xy1x2y 2 dxdy.D【分析】 首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部

24、分即可.【详解】令D1(,)0x2y21,x0,y0，x yD2( x, y) 1x 2y22, x0, y0 .则xy1x 2y2 dxdy =xydxdy2xydxdyDD1D2=137 .848（16）（本题满分12 分）求幂级数(1) n 1 (111)x 2 n 收敛区间与和函数 f(x).n 1n(2n【分析】 先求收敛半径，进而可确定收敛区间 .而和函数可利用逐项求导得到 .【详解】因为 lim (n1)(2n1) 1n(2n1)1 ，所以当 x21 时，原级数绝对收n(n1)(2n1)n(2n1) 1敛，当 x21时，原级数发散，因此原级数收敛半径为1，收敛区间为（ 1,1 ）

25、(n1记S( x)1 )2n，x , x ( 1 , 1 )n 1 2n (n21 )则S (x)(1)n 1x2 n 1, x( 1,1)，n 12n1由于S( 0)S0,(0所以xx1S (x)0S (t )dt0 1 t 2 dtarctan x,又(n 1x2nx22 , x (1,1),n 11)1xx2从而f ( x)2S ( x )21x（17）（本题满分 11 分）如图，曲线C 方程为 y=f(x)，点 (3,2)是它一个拐点，直线 l 1 与 l 2 分别是曲线 C 在点(0,0)与(3,2)处切线，其交点为 (2,4).设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分3x) f

26、 ( x)dx.( x 20【分析】 题设图形相当于已知 f(x) 在 x=0 函数值与导数值，在 x=3 处函数值及一阶、二阶导数值 .【详解】 由题设图形知， f(0)=0,f (0) 2; f(3)=2,f (3)2, f (3) 0.由分部积分，知=3xdfxxfx33fx dx(21)(21)2( )(0()00=16 2 f (3)f (0)20.（18）（本题满分 12 分）已知函数 f(x) 在0 ，1 上连续，在 (0,1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1.证明：（I ）存在( 0,1), 使得 f ( )1；（ II ）存在两个不同点,(0,1) ，使得 f ( )

27、f ()1.【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论 .【详解】（ I ） 令 F ( x)f ( x)1 x ，则 F(x) 在0 ，1 上连续，且 F(0)=-10,于是由介值定理知，存在(0,1),使得 F ( ) 0 ，即 f ( ) 1.（ II ） 在 0, 和 ,1 上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同点(0,),( ,1) ，使得 f( )f ( )f(0) ， f ( )f (1)f ( )01于是f ( )1f ( )11.f ( ) f ( )11（19）（本题满分 12

28、 分）设函数( y) 具有连续导数，在围绕原点任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分L( y)dx2xydy 值恒为同一常数 .2x2y4（ I ）证明：对右半平面 x0 内任意分段光滑简单闭曲线C，有( y)dx2xydy0；2x2y4C（II ）求函数( y) 表达式 .【分析】 证明（I ）关键是如何将封闭曲线C与围绕原点任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分可加性将C进行分解讨论；而（ II ）中求( y) 表达式，显然应用积分与路径无关即可 .Y【详解】 （I）l2CoXl 3如图，将 C分解为： C l1l 2 ，另作一条曲线 l 3 围绕原点且与 C相接，则( y)dx2

29、xydy( y) dx2xydy( y)dx2xydy0.C2x2y4l1 l32x2y4l2 l32x2y4（II ）设 P( y)4 , Q2xyP,Q在单连通区域 x0内具有一阶连续偏导数， 由（）2x2y2x2y4 ，知，曲线积分( y)dx2xydy在该区域内与路径无关，故当x 0 时，总有 QP .L2 x2y4xyQ 2 y(2 x2y4 )4x 2xy4x2 y2y5x(2 x24)2(2 x2y4)2 ,yP( y)(2 x2y4 )4 ( y) y32x2( y)( y) y44( y) y3. y(2 x2y4 )2(2 x2y4 )2比较、两式右端，得( y)2 y,(

30、 y) y44 ( y) y32 y5. 由得( y)y2c ，将 ( y) 代入得2 y54cy32 y5 ,所以 c0 ，从而 ( y)y2.（20）（本题满分9 分）已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 )(1 a) x12(1a)x222 x322(1a)x1 x2 秩为 2.（ I ） 求 a 值；（ II ） 求正交变换 x Qy ，把 f (x1, x2 , x3 ) 化成标准形；（ III ） 求方程 f ( x1 , x2 , x3 ) =0 解 .【分析】 （ I ）根据二次型秩为2，可知对应矩阵行列式为0，从而可求a 值；（ II ）是常规问题，先求出特征值、特征

31、向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换；（ III ）利用第二步结果，通过标准形求解即可 .【详解】 （ I ） 二次型对应矩阵为1a1a0A 1a1a0，0021a1a0由二次型秩为 2，知A1a1a00 ，得 a=0.002110（II ）这里 A110， 可求出其特征值为 122, 3 0.002解 (2E A) x 0 ，得特征向量为：解 (0E A) x 0 ，得特征向量为：1011, 20，0113 1 .0由于 1,2 已经正交，直接将1 ,2 ，3 单位化，得：令 Q123 ，即为所求正交变换矩阵，由x=Qy，可化原二次型为标准形：f ( x1 , x2 , x3 ) =

32、2y122 y22 .（III） 由 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 y122y220，得 y10, y2 0, y3 k （k 为任意常数） .0c从而所求解为： x=Qy= 1230k 3c ，其中 c 为任意常数 .k0（21）（本题满分 9 分）123已知 3 阶矩阵 A 第一行是 (a,b, c), a,b, c 不全为零，矩阵B246（k 为常数），36k且 AB=O, 求线性方程组 Ax=0通解 .【分析】 AB=O, 相当于告之 B 每一列均为Ax=0 解，关键问题是Ax=0 基础解系所含解向量个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A 秩.【详解】 由 AB=O知， B 每一列均为 Ax=0 解，且 r ( A)